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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.1 圆的基本性质
圆 的 相 关 概 念 与 性 质 圆 的 相 关 概 念 具体内容 图示和注意事项
圆 ①形成性定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形，叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA 叫做半径. 注意： ①圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. ②半圆是弧，不是直径与其所分的两段弧组成的封闭图形. ③等弧所在圆的半径相等，长度相等的弧不一定是等弧. ④等圆的半径相等.
②集合定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.
弦 连接圆上任意两点的线段，叫做弦，如AC；经过圆心的弦叫做直径，如AB.
弧 ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如AC；圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆； ②大于半圆的弧叫做优弧，如 ③小于半圆的弧叫做劣弧，如AC； ④在同圆或等圆中，能够重合的弧叫等弧.
等圆 能够重合的两个圆叫等圆.
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠BOC.
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,如∠CAB.
圆 的 性 质 对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是圆心.
旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度后所得的图形都能与原图形重合.
弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 注意：弧、弦、圆心角关系成立的前提是“在同圆或等圆中”.
垂径定理及其推论 垂径 定理 具体内容
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
圆周角定理及其推论 圆周角定理 具体内容
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.常见图形如下，有
推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
概括 过圆心;(2)垂直弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧.这五项中任意两个结论成立，则另外三个结论一定成立，简称“知二推三”. 注意：被平分的弦不能是直径，任意两条直径都互相平分，但是不一定垂直，也不一定平分所对的弧.
圆内接四边形 圆内接四边形 具体内容
概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.
性质 ①圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 则∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°. ②圆内接四边形的外角等于内对角(其相邻内角的对角).
■考点一　圆的相关概念
◇典例1：下列命题中错误的有（ ）
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①弦是圆上任意两点之间的线段，故原说法错误；
②半径不是弦，故原说法错误；
③直径是一个圆中最长的弦，说法正确；
④弧不一定是半圆，半圆是弧，故原说法错误，
故选：C．
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．根据圆的弦、弧的概念判断即可．
◆变式训练
1.下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：直径所在的直线是圆的对称轴，所以①错误；
半径相等的两个半圆是等弧，所以②正确；
能完全重合的两条弧是等弧，所以③错误；
同圆或等圆中优弧一定大于劣弧，所以④错误．
故选A．
【分析】本题考查了圆的相关概念．根据圆的相关概念作答即可．
2.下列语句中：
①直径是弦，弦是直径；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
⑤相等的圆心角所对的弧长相等．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】①直径是弦，但弦不一定是直径，说法错误；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确；
⑤弧长由圆心角和半径决定，相等的圆心角所对的弧长不一定相等，说法错误．
故选：A．
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可．
■考点二 垂径定理及其应用
◇典例2：如图，的直径，弦，垂足为，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OA，
∵直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【分析】连接OA，根据线段比例关系求出OM的长，在中应用勾股定理求出AM的长度，利用垂径定理即可求解．
◆变式训练
1.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】连接，交于，
由题意得：（米），，
（米），，
在中，
（米），
米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
2.如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证；
（2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可．
■考点三 弧、弦、圆心角的关系
◇典例3：如图，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答．
◆变式训练
1.如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　．
【答案】．
【解析】【解答】解：连接OA，
∵，BC是直径，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，AB＝2，
∴OA＝OB，
∴BC＝2OA．
故答案为：．
【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．
2.如图，在中，．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】（1）证明：∵，
∴=,即，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴．
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由得出=,即，即可得证；
（2）证明，即可得证．
■考点四 圆周角
◇典例1：如图，在圆中，是直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到，再根据是直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
◆变式训练
1.如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，是上的三点，，
，
，
是等边三角形，
，的半径等于．
故选：D．
【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理求得，结合，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
2.如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，即
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明；
（2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可．
■考点五 圆内接四边形
◇典例1：如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是四边形的外接圆，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数．
◆变式训练
1.如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴
∵ 平分
∴
∵ 点是劣弧的中点
∴
∴ ．
故选：B．
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得到与的关系，进而求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90 ，∠A=60 ，AB=3，CD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长BC、AD交于点E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90 ，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=6，CE=2CD=4，
∴，
∴．
故选：C
【分析】延长BC、AD交于点E，根据圆内接四边形的性质可得∠ADC=90°，再由∠A=60°，可得∠E=30°，再根据直角三角形的性质，分别求出AE、DE的长，即可求解．
■考点六 圆的性质的综合运用
◇典例1：如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法： ；三角形是等边三角形； 的半径为； ；四边形最大面积是，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 平分，
，
，
，
故正确；
四边形是的内接四边形，
，
，
，
又，
是等边三角形，
故正确；
如下图所示，连接、，过点作，
则，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
的半径是，
故正确；
如下图所示，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
，
故正确；
如下图所示，设M为的中点，过点作，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，
，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
当点在的中点时的面积最大，
的半径为，
点到线段的最大距离是，
的最大面积是，
四边形的最大面积是，
故错误；
综上所述，正确的是．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是.
◆变式训练
1.已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，求和的大小．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴；
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴；
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）由题意得垂直平分，推出得即可求解；
（2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合
2.如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分．
(1)求证：；
(2)若点B为的中点，时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，，
设，则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
同理可证明 ，
∴，
∴，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明；
（2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
1．（2025·连州模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．垂线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧
【答案】A
【解析】【解答】解：A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是一个基本的几何定理，该选项正确，故符合题意；
B．平行四边形沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，该选项错误，故不符合题意；
C．矩形的对角线相等，但一般情况下不互相垂直，菱形和正方形（特殊的矩形）的对角线才互相垂直，该选项错误，故不符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．当弦是直径时，任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定互相垂直，该选项错，故不符合题意；
故选：A．
【分析】依据垂线段性质、平行四边形对称性、矩形对角线性质、圆中弦与直径的关系逐项判断解答即可.
2．（2025·四会模拟）如图，点A、B、C在上，，则（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】所求角∠A是一个圆周角，可从圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角一半入手，在△OBC中，∠OBC=18°，由等边对等角可得∠OCB=18°，再由三角形内角和求得∠BOC=144°，最后由圆周角定理求得∠A=72°.
3．（2025·蓬江模拟）如图，，，三点在上，，则为（　　）
A．30° B．40° C．20° D．10°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，，求出得的度数，然后再根据圆周角定理，即可求解.
4．（2025·广州模拟）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是内接四边形，是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据是的直径，可知 ，然后再根据圆内接四边形的性质：对角互补，得到，最后再结合，即可求出的度数，进而即可求出的度数。
5．（2025·蓬江模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，
∵是上的一条弦，直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
连接，根据垂径定理得，再利用圆周角定理得，最后利用角度得和差运算，即可求解．
6．（2025·内江模拟）如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是( )
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点、、、在上，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
连接，，过点作于点，
∴，，
∴
∴点到的距离是，
故答案为：A．
【分析】利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数，可证得△ABD是等边三角形，连接，，过点作于点，利用垂径定理可求出BE的长，同时可求出∠BOE的度数；再利用解直角三角形求出OE的长.
7．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
8．（2025·永昌模拟）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】连接，设⊙O的半径为r，则，OD=（5-r）m，利用垂直弦的直径平分弦得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
9．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：．
【答案】证明：连接．
，
，
，
．
又，
，
．
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证．
10．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
【答案】（1）证明：连接CD
∵BD为直径
∴∠BCD=90°
∴∠CBE+∠BDC=90°，
∵AC平分∠BAF
∴∠ABC=∠CAF
又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=∠CAF
∵AF⊥BD
∴∠AEF+∠CAF=90°
∴∠AEF=∠CBD
∵∠AEF=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴BC=CE
（2）解：连接AD
如图，GE=OG+OE=1+1=2，
由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6
OD=3，DE=OD－OE=3－1=2
∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE
∴∠AEF=∠CAD
AD=DE=2
在△ABD中，由勾股定理得AB=
即
【解析】【分析】(1)连接CD，知∠BAC=∠BDC，再结合角平分线概念和互余关系可得∠CBE=∠BEC，即可得证；
(2)由等腰三角形的性质知BG=2，结合角度关系可得AD=DE，利用勾股定理即可得AB的长.
1．（2025·东莞模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵弧所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
故选：A ．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
2．（2025·台山模拟）如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，，
，
．
故选：C．
【分析】
根据平角等定义求出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
3．（2025·高州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
4．（2025·惠来模拟）如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，在上，，
∴∠AED+∠B=180°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
5．（2025·南海模拟）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，
∵半径为5，∴直径，
∴，
由勾股定理可知，，
故选：D．
【分析】由直径所对的圆周角等于可知，进而由勾股定理即可求得弦BC的长．
6．（2025·雷州模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】【解答】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理即可求出答案.
7．（2025·河源模拟）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图：在圆上取一点D，连接，则，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵
∴，
∵，即，
∴，故C不符合题；
D、∵，
∴
∵，OB=OA，
．
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】
（1）由已知条件得到，再利用角的和差运算得，可判定A；如图：在圆上取一点D，连接，则根据圆周角定理可得，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得，即可判断B；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合，可判断C；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D；逐一判断即可解答．
8．（2025·天河模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
【答案】D
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），
∴OC＝＝＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，根据垂径定理可得AC＝BC＝AB＝75m，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·南沙模拟）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
则铅球的直径为：，
故答案为：。
【分析】根据垂径定理，可得及AC=BC， 在中，根据勾股定理得： ，代入数据，即可求出OA的值。
10．（2025·潮阳模拟）如图，的顶点在同一个圆上，点在上，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，交圆于点，连接．若为圆的直径，
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
。
（2）证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
即．
，，
。
【解析】【分析】（1）由圆周角定理和平行四边形的性质先证，得出，可求的度数；
（2） 连接交于 ，根据圆周角定理，易证四边形为矩形，然后再根据，易得四边形为正方形，进而可得，可得，最后再根据余弦三角函数的定义： ， ，据此即可证明。
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.1 圆的基本性质
圆 的 相 关 概 念 与 性 质 圆 的 相 关 概 念 具体内容 图示和注意事项
圆 ①形成性定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O ，另一个端点 A 所形成的图形，叫做圆，固定的端点叫做 ，线段OA 叫做 . 注意： ①圆心决定圆的 ，半径决定圆的 . ②半圆是弧，不是直径与其所分的两段弧组成的封闭图形. ③等弧所在圆的半径相等，长度相等的弧不一定是等弧. ④等圆的半径相等.
②集合定义：圆是所有到 的距离等于 的点的集合.
弦 连接圆上任意两点的 ，叫做弦，如AC；经过 叫做直径，如AB.
弧 ①圆上任意 叫做圆弧，简称弧，如AC；圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做 ； ② 半圆的弧叫做优弧，如 ③ 半圆的弧叫做劣弧，如AC； ④在同圆或等圆中，能够 叫等弧.
等圆 的两个圆叫等圆.
圆心角 顶点在 叫做圆心角，如∠BOC.
圆周角 顶点在 ，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,如∠CAB.
圆 的 性 质 对称性 圆是轴对称图形，任何 都是圆的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是 .
旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度后所得的图形都能与原图形 .
弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中， 的圆心角所对的弧相等，所对的 也相等. 注意：弧、弦、圆心角关系成立的前提是“ ”.
垂径定理及其推论 垂径 定理 具体内容
定理 垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的
推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 所对的两条弧； (2)平分弧的直径 这条弧所对的弦.
圆周角定理及其推论 圆周角定理 具体内容
定理 一条弧所对的 等于它所对的 .常见图形如下，有
推论 (1) 所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是
概括 过圆心;(2)垂直弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧.这五项中任意两个结论成立，则另外三个结论一定成立，简称“知二推三”. 注意：被平分的弦不能是直径，任意两条直径都互相平分，但是不一定垂直，也不一定平分所对的弧.
圆内接四边形 圆内接四边形 具体内容
概念 四个顶点均在 的四边形叫做圆内接四边形.
性质 ①圆内接四边形的对角 . 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 则∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°. ②圆内接四边形的外角等于 (其相邻内角的对角).
■考点一　圆的相关概念
◇典例1：下列命题中错误的有（ ）
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列语句中：
①直径是弦，弦是直径；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
⑤相等的圆心角所对的弧长相等．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点二 垂径定理及其应用
◇典例2：如图，的直径，弦，垂足为，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2.如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且．
(1)求证：；
(2)若，，求．
■考点三 弧、弦、圆心角的关系
◇典例3：如图，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　．
2.如图，在中，．
求证：
(1)；
(2)．
■考点四 圆周角
◇典例1：如图，在圆中，是直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
■考点五 圆内接四边形
◇典例1：如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90 ，∠A=60 ，AB=3，CD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．3
■考点六 圆的性质的综合运用
◇典例1：如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法： ；三角形是等边三角形； 的半径为； ；四边形最大面积是，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，求和的大小．
2.如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分．
(1)求证：；
(2)若点B为的中点，时，求的长．
1．（2025·连州模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．垂线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧
2．（2025·四会模拟）如图，点A、B、C在上，，则（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
3．（2025·蓬江模拟）如图，，，三点在上，，则为（　　）
A．30° B．40° C．20° D．10°
4．（2025·广州模拟）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·蓬江模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·内江模拟）如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是( )
A． B． C．3 D．4
7．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·永昌模拟）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为　 　．
9．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：．
10．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
1．（2025·东莞模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·台山模拟）如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·高州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．（2025·惠来模拟）如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
5．（2025·南海模拟）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2025·雷州模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
7．（2025·河源模拟）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·天河模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
9．（2025·南沙模拟）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为　 　．
10．（2025·潮阳模拟）如图，的顶点在同一个圆上，点在上，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，交圆于点，连接．若为圆的直径，
（1）求的度数；
（2）求证：．
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