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第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2　两条直线垂直
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？
探究新知
命题角度1　垂线的画法
画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.
(1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，
这样的垂线能画几条
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
1.放
如图，已知直线 l，画 l 的垂线.
A
无数条
2.靠
3.画
…
l
O
A
B
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线.
1.放 2.靠
3.移 4.画
l
M
1.放 2.靠
3.移 4.画
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
l
N
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
概 念
【例】过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．
P
A
B
(1)
(2)
A
B
P
A
B
P
(3)
过点画射线或线段的垂线，是指画点与射线、线段所在的直线的垂线.
总 结
讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？
在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
l
P
命题角度2　垂线的性质
(2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
(3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？
为什么？
运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短.
这样的线段 PO 只有一条.
概 念
垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段 PO 的长度叫作点到直线的距离.
(4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
(5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长
(6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例.
图中 4.7 cm，实际 4700 m.
命题角度3　点到直线的距离的应用
如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm.
（1）点B到直线AC的距离是_____cm；
（2）点C到直线AB的距离是_____cm.
3
（1）连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
（2）垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
（3）垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
特别提醒
命题角度4　利用垂线的定义求角的度数
【例】在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．60°或120°
D
【例】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
解：（1）因为OA平分∠EOC
所以∠AOC=∠EOC=
所以
（2）因为∠EOC+∠EOD=180∠EOC=∠EOD
所以∠EOC
所以∠AOC=∠EOC=
所以∠
命题角度5　利用垂直的定义判定两直线垂直
①②④
【例】小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，有下列条件：①∠AOC＝90°；②∠BOC＝90°；③∠AOC＝∠BOD；④∠AOC＝∠BOC.其中能说明
AB⊥CD的是_________．(填序号)
【例】如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.
(1)求∠2的度数；
(2)AO与BO垂直吗？说明理由．
解：(1)因为DO⊥CO，
(2)AO⊥BO.理由如下：
因为∠3＝36°，∠2＝54°，
所以∠DOC＝90°.
所以∠2＝90°－36°＝54°；
因为∠1＝36°，
所以∠3＋∠2＝90°，即∠AOB＝90°，
所以AO⊥BO.
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系
垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系
归纳总结
课堂小结
最短
有且只有一条
垂线
垂线的定义
垂线
基本事实：在同一平面内，过一点_____________直线与已知直线垂直
性质:垂线段______
垂线的画法
一放二靠三移四画
1. 如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
思路点拨：紧扣定义解题
随堂检测
2. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( )
A
B
C
D
A
3.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小
道是( )
A. PA B. PB
C. PC D. PD
B
4. 如图，已知 AB 上 BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( )
A. 2.5 B. 3
C.4 D. 5
A
5.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
D
6. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 的长，
BC 的长是点 到直线 的距离.
AC
B
AC
7. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 处搭建最短.
B
8. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O .
(1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数；
(2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数.
A
B
C
D
O
解：(1) 因为 OC⊥OD，
因为∠AOB 是平角，
因为∠BOD = 32°，
所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°.
A
B
C
D
O
所以∠COD = 90°.
所以 ∠AOB = 180°.
(2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°，
所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°.
又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD.
所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°.
A
B
C
D
O

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