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第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
第1课时 平行线的性质
人教版 七年级 数学（下）
7.2.3 平行线的性质
导入新课
如图，直线a与直线b平行，测量出这些角的度数．
(1)∠1和∠5是同位角，它们有什么数量关系？图中还有其他的同位角吗？它们的大小有什么关系？
(2)图中有几对内错角？
它们的大小有什么关系？同旁内角呢？
(3)换一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数.
1
2
3
7
5
6
4
8
c
a
b
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
探究新知
命题角度1　利用平行线的性质求角的度数
观察：在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？
同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.
1
2
3
7
5
6
4
8
c
a
b
猜想：两条平行线被第三条直线所截得的同位角_____.
相等
再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
a
b
d
活 动 1
如果两直线不平行，上述猜想还成立吗？
a
b
d
活 动 2
归纳
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）.
a
b
c
2
1
如图，直线a∥b，直线c与a，b相交.
若∠1=60°，则∠2的度数为______.
120°
3
直线a∥b
∠3=∠1=60°
∠2+∠3=180°
∠2=120°
分析：
练一练
前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了
“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
同位角
内错角
转化为
a
b
c
2
1
a
b
c
2
1
3
∠1与∠3是对顶角
如图，已知 a∥b，那么 2 与 3 相等吗？为什么？
解：∵ a∥b，(已知)
∴∠1=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等)
∴ ∠2=∠3.(等量代换)
a
b
c
2
1
3
归纳
性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，内错角相等）.
a
b
c
2
1
如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG
平分∠EFD.若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是_____.
35°
AB∥CD
∠EGF=∠GFD
FG平分∠EFD
∠EFD=2∠GFD
∠GFD=35°
∠EGF=35°
分析：
练一练
类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
同位角
同旁内角
转化为
a
b
c
2
1
a
b
c
2
1
4
∠1与∠4是邻补角
如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系呢？为什么？
解: ∵a//b ，(已知)
∴ 1= 2.(两直线平行，同位角相等)
∵ 1+ 4=180°，(邻补角的性质)
∴ 2+ 4=180°.(等量代换)
a
b
c
2
1
4
归纳
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
a
b
c
2
1
如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数是_____.
110°
直线l3∥l4
∠2=∠3
直线l1∥l2
∠1+∠3=180°
∠3=110°
∠2=110°
3
分析：
练一练
解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
可得∠A与∠D互补，∠B和∠C互补，
于是
∠D=180°－∠A=180°－100°=80°，
∠C=180°－∠B=180°－115°=65°.
所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°，65°.
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
A
B
C
D
案
例
分
析
命题角度2　利用平行线解决与三角尺或直尺有关的角度问题
【例1】将一副直角三角尺按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为_______.
75°
【例2】如图，直线DE∥BF，直角三角形ABC的顶点B在BF上．若∠CBF＝20°，则∠ADE的度数为____．
70°
命题角度3　过拐点作平行线解题
例1 如图，AB∥CD，∠BAE = ∠BCD，AE⊥DE，∠ABC = 35°，求∠CDE 的度数.
解：过点 E 作 EK∥CD.
∵AB∥CD，
∴∠CDE＋∠DEK＝180°，
∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵∠BAE＝∠BCD，
∵AE⊥DE，
∴∠CDE＝125°．
K
∴EK∥CD∥AB，
∴∠AEK＝∠ABC＝35°.
∴∠DEK＝90°－35°＝55°.
例2 （汉阳区期中）如图，∠1 = ∠2，∠E = ∠F ，
判断 AB 与 CD 的位置关系 ，说明理由.
M
分析：
判断 AB∥CD
与两条直线相截的第三条直线
延长 BE 交 DC 的延长线于M
先证BM∥FC
∠M = ∠1
∠M = ∠2
M
解：AB∥CD，理由如下：
如图，延长 BE 交 DC 的延长线于点 M，
∵∠BEF = ∠F，
∴BM∥FC.
∴∠M = ∠2.
∵∠1 = ∠2，
∴∠M = ∠1.
∴AB∥CD.
课堂小结
文字简述 符号语言 图示
两直线平行，同位角相等 ∵a∥b（已知），∴________
两直线平行，内错角相等 ∵a∥b（已知），∴________ 两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b（已知），∴______________ ∠1=∠4
∠1=∠2
∠1+∠3=180°
a
b
c
3
1
2
4
随堂检测
1．如图，直线 a∥b，∠1＝50°，则∠2 的度数是（ ）
A．130° B．50°
C．40° D．150°
B
2．如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC. 若∠1＝66°，则∠CBE的度数为（ ）
A．33° B．32°
C．22° D．56°
A
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠A＝110°，则∠B＝ °.
70
4. 如图，把一块含有 45° 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上. 如果∠1 = 20°，
那么∠2 的度数是______.
25°
5．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB＝ °.
90
6．(教材P20习题T10变式)如图，AB∥CD，
BE∥DF，∠B＝65°，求∠D 的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，
∴∠BED＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
7.如图，直线a // b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？
解：∵a∥b，∠1=54°，
∠3 =180°－∠4=180° － 54°=126°，
∵∠2 与∠1 是对顶角，
∴∠2=∠1= 54°.
∴∠4 =∠1 = 54°
（两直线平行，同位角相等）.
8.如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC 平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
解：（1）DE 和 BC平行.理由：
∵∠ADE=∠B.
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
（2）∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=40°
(两直线平行，同位角相等).
9. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图装置，则下列结论正确的是___________（填序号）.
①∠1=∠2；
②∠4+∠5=180°；
③∠1+∠4=90°；
④∠4+90°=∠3.
①②③④
1
3
2
4
5

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