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第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
第2课时 定理与证明
人教版 七年级 数学（下）
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判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否是真命题．
(1)画射线AC；
(2)同位角相等吗？
(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
(4)任意两个直角都相等；
(5)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(6)若|x|＝|y|，则x＝y.
解：(1)(2)不是命题；
(3)题设是两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
结论是这两条直线平行，真命题；
(4)题设是任意两个直角，结论是这两个角相等．真命题；
(5)题设是两条直线相交，结论是只有一个交点，真命题；
(6)题设是|x|＝|y|，结论是x＝y，假命题．
探究新知
命题角度1　识别定理
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
学过的定理：
（1）补角的性质：同角或等角的补角相等.
（2）对顶角的性质：对顶角相等.
（3）平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行.
……
你还能想出学过的定理吗？
讨论：判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中
的一条，那么也垂直于另一条；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
上面练习中的(1)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.
(4)(5)是真命题，属于基本事实.
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
基本事实
不需要证明.
除了基本事实外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
思考2：你能举例说出几个学过的基本事实吗
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 两点之间线段最短.
1. 两点确定一条直线.
对顶角相等，内错角相等，两直线平行
思考1：你能举例说出几个学过的定理吗
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
命题角度2　证明
证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：直线a⊥b，b∥c ．
求证：a⊥c．
a
b
c
1
2
题设
结论
例 如图，已知直线a⊥b，b∥c ，求证a⊥c．
a
b
c
1
2
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90 （垂直的定义）.
∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=90 （等式的基本事实）.
∴ a⊥c（垂直的定义）.
①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
证明的一般步骤
思考：如何判定一个命题是假命题？
例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例：
举反例
在图中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2， 但它们不是对顶角．
1
2
A
O
C
B
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
练一练
1.在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（_________________________），
∴∠C+∠D=180°（_________________________）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2.指出下列命题的题设和结论：
（1）若a=b，则5a=5b；
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；
（4）两直线平行，同位角相等.
题设
题设
题设
题设
结论
结论
结论
结论
3.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：不正确.
如图，∠1和∠2是同位角， 但它们不相等．
课堂小结
命题
概念
组成
_____
_____
判断一件事情的语句
真命题
假命题
定理
举出一个____即可
如果
那么
题设
结论
反例
1. 请把下面证明过程补充完整.
如图，已知 AD⊥BC 于点 D，点 E 在 BA 的延长线上，EG⊥BC 于点 C，交 AC 于点 F，∠E =∠1.
求证：AD 平分∠BAC.
随堂检测
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ).
∴ AD∥EG ( ).
∴∠1=∠2( )，
∠E =∠3( ).
∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ).
∴AD 平分∠BAC ( ).
垂直的定义
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
1
等量代换
角平分线的定义
2. 如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD；
②∠B =∠C；③∠E =∠F. 请以其中 2 个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
(1) 你构造的是哪几个命题
(2) 请选择其中一个真命题加以证明.
解：(1)由①②得③；由①③得②；
由②③得①.
(2) 由①②得③，证明过程如下：
∵ AB∥CD，
又∵∠B =∠C，
∴CE∥BF.
∴∠EAB =∠C.
∴∠EAB = ∠B.
∴∠E =∠F. (答案不唯一)
3.如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，
③∠DAE=∠DEA 中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设：_______，结论：_______.
(均填写序号)
①②
③
证明:∵DG∥AC，
∴∠DEA=∠EAC．
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC.
∴∠DAE＝∠DEA．(答案不唯一)

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