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第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.2 平行线的判定
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
同一平面内不重合的两条直线，有哪几种位置关系
相交或平行
在同一平面内，两条不相交的直线互相平行.
你还有其
他方法吗？
判定两条直线平行的方法有哪些呢
探究新知
命题角度1　根据图形隐含的角相等或互补的条件，
判定是哪两条直线平行
思考：还记得如何用三角尺和直尺画平行线的方法吗？
(1) 放
(2) 靠
(3) 推
(4) 画
b
A
2
1
a
B
问题1：画图过程中，三角尺起着什么作用？
问题2：直线 a，b 位置关系如何？
a∥b
保持∠1与∠2 相等
结 论
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
因为∠1=∠2 ,所以 a∥b.
同位角相等，两直线平行.
如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
A
B
C D
E F
案
例
分
析
【例1】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
练一练
A
D
【例2】如图，下列条件不能判定直线a∥b的是( )
A．∠1＝∠4
B．∠3＝∠5
C．∠2＋∠5＝180°
D．∠2＋∠4＝180°
【例3】如图，用直尺和三角尺作直线 AB，CD，从图中可知，直线 AB 与直线 CD 的位置关系是_________，理由是__________________________.
同位角相等，两直线平行
AB∥CD
命题角度2　根据要判定平行的直线，选择角相等或互补的条件
如图，依据刚刚学的知识我们知道，如果∠1 = ∠2，
那么 a // b.
问题 1：能否利用内错角来判定两直线平行呢
如图，如果∠2 = ∠3，那么 a 与 b 平行吗
因为∠2 = ∠3(已知条件)，
∠1 = ∠3(对顶角相等)，
所以∠2 = ∠1(等量代换).
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).
结 论
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
问题 2：能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢
如图，如果∠2+∠4 = 180°，那么 a 与 b 平行吗
因为∠2+∠4 = 180°，
∠1+∠4 = 180°(平角的定义)，
所以 ∠1 = ∠2，
所以 a∥b .
结 论
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
① ∵∠2 = ∠6 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
② ∵ ∠3 = ∠5 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
③ ∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
1. 根据条件完成填空.
∵→“因为”
∴→“所以”
练一练
讨论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗 为什么
分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行.
解：这两条直线平行. 理由如下：如图，∵ b丄a，
∴ ∠1 = 90°. 同理∠2=90°.
∴∠1 =∠2.
又∠1 和∠2 是同位角，
∴b∥c (同位角相等，两直线平行).
(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪两条直线平行
依据是什么
如图，BE 是 AB 的延长线.
AD∥BC，依据是同位角相等，两直线平行.
案
例
分
析
(2) 添加一个条件使 AE∥CD.
(3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪两条直线平行
依据是什么
AE∥CD. 依据是同旁内角互补，两直线平行.
∠CBE =∠C (答案不唯一)
如图，已知∠MCA = ∠A，∠MCA = ∠CDE，
那么 AB∥DE 吗？为什么？
分析：
∠MCA = ∠A
AB∥DE
∠MCA = ∠CDE
∠CDE = ∠A
练一练
∠MCA =∠CDE
解：
∵∠MCA = ∠ A（已知），
∴ ∠CDE = ∠A.
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
换种思路：已知 AB∥MC， DE∥MC，
试说明 AB∥DE.
结 论
遇到新问题，常把它转化为已知问题（或已解决）的问题.
命题角度3　灵活运用判定方法判定平行
轨枕
钢轨
1
2
在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.
如图，已知∠1和∠2是直角，你能判定两条钢轨平行吗？
轨枕
钢轨
1
2
1
2
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：
垂直
直角
证明平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
例1 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
b
c
a
1
2
已知条件：直线b与直线c都垂直于直线a.
要证明：直线b与直线c平行.
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，
同理 ∠2=90°.
∴∠1=∠2.
又∠1和∠2是同位角，
∴b∥c （同位角相等，两直线平行）
1
2
b
c
a
符号“∵”表示“因为”符号“∴”表示“所以”
同位角相等，两直线平行
方法一
∴∠1=90°.
1
2
b
c
a
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，∴∠1=90°.
同理 ∠2=90°.
∴∠1=∠2.
又∠1和∠2是内错角，
∴b∥c （内错角相等，两直线平行）
内错角相等，两直线平行
方法二
1
2
b
c
a
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，
同理 ∠2=90°.
∴∠1+∠2=180°.
又∠1和∠2是同旁内角，
∴b∥c （同旁内角互补，两直线平行）
同旁内角互补，两直线平行
方法三
∴∠1=90°.
b
c
a
符号语言：
∵b⊥a，c⊥a（已知），
∴ b∥c（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.
总 结
在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.
简单说成：
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
命题角度4　通过阅读推理过程填空
1.如图，下列推理中正确的是________.（填序号）
①∵∠B=∠BEF，∴AB∥EF；
②∵∠B=∠CDE，∴AB∥CD；
③∵∠DCE+∠AEF=180°，∴AB∥EF；
④∵∠A+∠AEF=180°，∴AB∥EF.
①②④
CD∥EF
内错角
同位角
同旁内角
2.完成下面的说理过程，并在括号里中填上适当的理由.
如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°. 试说明：DE∥BC.
解：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+________=90°（ ）.
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴________=∠2（ ）.
∴DE∥BC（ ）.
∠CDE
垂直的定义
∠CDE
同角的余角相等
内错角相等，两直线平行
3.如图，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E.
（1）AD与BC平行吗？为什么？
解：AD∥BC. 理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF. ∴AD∥BC.
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
解：AB∥EF. 理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC.
又∠ABC= 2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠ABE=∠E.
∴AB∥EF.
方法指导
在判定两直线平行时，往往已知角并不是所需的同位角、内错角、同旁内角，这时要挖掘题目或图形中的其他条件，如角平分线、对顶角、邻补角等来进行转化.
4.一副直角三角尺叠放如图（1）所示，现将含 45° 的三角尺 ADE 固定不动，将含 30° 的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图（2），当∠BAD =15°时，BC//DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和 135°
B．45°、60°、105°和 135°
C．30°和 45°
D．以上都有可能
B
拓展提升
解析：如图(3)，当∠BAD =∠DAE =45° 时， AC∥DE ；
如图(4)，当 ∠DAB =∠B =60° 时， BC∥AD ；
如图(5)，当 ∠EAB =∠B =60° 时， BC∥AE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；
如图(6)，当 ∠E =∠EAB =90° 时， AB∥DE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°．
(3)
(4)
(5)
(6)
课堂小结
平行线的判定
判定方法
__________，两直线平行
定义法
同一个平面内，两条直线_______
同位角相等
___________，两直线平行
同旁内角互补
不相交
__________，两直线平行
内错角相等
随堂检测
1.如图，E 是 AB 上一点，F 是 DC 上一点，G 是 BC 延长线上一点.
(1)如果∠B=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
A
B
D
C
E
F
G
(1) AB∥CD，同位角相等，两直线平行.
(2)如果∠D=∠DCG，那么可以判断
哪两条直线平行？ 为什么？
(3)如果∠D+∠DFE=180°，
那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
A
B
D
C
E
F
G
(2) AD∥BC，内错角相等，两直线平行.
(3) AD∥EF，同旁内角互补，两直线平行.
2. 如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
解：∵∠BAC=∠DCE.
∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行）
A
B
C
D
E
3. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
轨枕
钢轨
解：①可度量∠3 的度数，因为∠3 与∠2 是同旁内角，
若∠3=90°，则∠3+∠2=180°.根据“同旁内角互补，
两直线平行”可得两条钢轨平行.
②也可度量∠4 的度数，因为∠4 与∠2 是同位角，
若∠4=90°.则∠4=∠2.根据“同位角相等，
两直线平行”可得两条钢轨平行.
③还可度量∠5 的度数，因为∠5与∠2是内错角，若∠5=90°，则∠5=∠2.根据“内错角相等，两直线平行”可得两条钢轨平行
轨枕
钢轨
4.如图是两条道路相互垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出这两条
道路成45°角的交叉路口的平面
示意图吗？
解：两条道路互相垂直时如图①所示.
两条道路成45°角时如图②所示.
①
②
45°

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