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第八章 实数
8.1 平方根
第1课时 平方根
导入新课
五一，妈妈带小玲到洪山公园玩，小玲发现公园里有好多正方形的草坪，好奇地问妈妈：“这些正方形草坪的边长是多少？”妈妈说：“每块草坪的面积都是a m2，你说边长是多少？”小玲说：“边长的平方是面积，把面积开平方，得到的数就是边长呗！”爸爸又问：“如果x2＝a，那么x就是边长？”小玲回答说：“对啊，不然呢？”
请问，小玲说得正确吗？
命题角度1　求一个数的平方根
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少
问题 2：填写下表：
x2 1 16 0.36 49
x
±1
±4
±0.6
±7
±
3或－3
探究新知
思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么
思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点
都有两个值，且这两个值互为相反数
x2 1 16 0.36 49
x
±1
±4
±0.6
±7
±
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根.
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
平方
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
开平方
比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？
互为逆运算
互为逆运算
平方运算
开平方运算
平方与开平方互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
归纳总结
解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，
所以 64 的平方根是 ±8；
(1) 64；
(2) 因为 = ，
(2)
(3) 0.01.
所以 的平方根是
(3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，
分别求下列各数的平方根：
拓展
提升
所以 0.01 的平方根是0.1.
1. 分别求下列各数的平方根：
(1)
(2) 1.44 (3) 121
(2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，
所以 1.44 的平方根是 ±1.2.
解：(1) 因为 = ，
所以 的平方根是 .
(3) 因为 ( ±11)2 = 121，
练一练
所以 121 的平方根是11.
2. 判断对错:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一个数的平方等于81，则这个数是 9. ( )
√
√
√
×
命题角度2　概念的双重应用
– 1
+1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
平方
–1
+ 1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
开平方
32 = 9
(-3)2 = 9
02 = 0
(±3)2 = 9
02 = 0
思考1：观察以上内容你有什么发现
思考3：0 的平方根是多少
思考2：1，4，9， 的平方根是多少 它们有什么特点？
思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少
没有平方根
0
±1，±2，±3，±
有两个平方根，且互为相反数
概念
性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数；
性质2：0 的平方根是 0；
性质3：负数没有平方根.
前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢
正数 a 的正的平方根记为“ ”，
读作“根号 a ”， a 叫作被开方数；
正数 a 的负的平方根记为“－ ”，
读作“负根号 a ”
a 的平方根可记为
0 的平方根记为
只有当 a ≥ 0 时 才有意义. 而当a ＜ 0 时 无意义.
x2 = a
平方根号
被开方数
读作：正、负根号 a
(a≥0)
(a≥0)
x 是非负数 a 的平方根
根指数为 2，省略不写
2
x =
下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
解：(1) 因为 0.36 是正数，
(2) 因为 －5 是负数，
(3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，
± = ± = ±4.
所以 0.36 有两个平方根，
± = ±0.6；
所以 －5 没有平方根；
所以 (－4)2 有两个平方根，
1. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －
B
分析：
因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，
则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
练一练
2. 求下列式子中 x 的值.
(1) x2 = 49 (2) 4x = 9
解：(1) x = ± ±7 .
(2) x = ， x = ± = ±.
课堂小结
平方根
平方根的概念(根据互逆关系求平方根)
平方根的性质
平方根的表示方法
随堂检测
1.16的平方根是(　C　)
C
A. 4
B. －4
C. ±4
D. ±8
2. 下列说法正确的是(　D　)
D
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
3. 求下列各数（式）的平方根：
(1)1 ；(2)0.0001；(3)(－2)2.　
解：(1)∵1 ＝ ，(± )2＝ ，
∴1 的平方根为± .
解：(1)因为1 ＝ ，(± )2＝ ，
所以1 的平方根为± .
(2)因为(±0.01)2＝0.0001，
所以0.0001的平方根是±0.01.
(3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，
所以(－2)2的平方根是±2.
4. 求下列各式中x的值：
(1)81x2－49＝0；　
解：(1)整理81x2－49＝0，得x2＝ ，
∴开平方得x＝± ＝± .
解：整理81x2－49＝0，
开平方得x＝± ＝± .
(2)49(x2＋1)＝50.
解：(2)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ，
∴开平方得x＝± ＝± .
解：整理49(x2＋1)＝50，
开平方得x＝± ＝± .
得x2＝ ，
得x2＝ ，
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数. ＝9.
解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和
a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
解得a＝1.

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