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第八章 实数
8.1 平方根
第2课时 算术平方根
导入新课
2024年10月30日04时27分，搭载神舟十九号
载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒
泉卫星发射中心成功点火发射．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道正常运行的速度是在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s)．v1，v2的大小满足v＝gR，v＝2gR(g，R是固定的常量)．怎样求v1，v2的值呢？
这就要用到算术平方根的概念.
探究新知
命题角度1　求一个数的算术平方根
计算下表中各正方形的边长：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长
与面积之间有什么关系
问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系
正方形的边长是面积值的正平方根.
面积越大，边长越大.
算术平方根的概念
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 来表示 .
规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为
性质 1：一个正数的算术平方根是正数.
性质 2：0 的算术平方根是 0.
性质 3：负数没有算术平方根.
性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
基本条件：
(a≥0 ， ≥0).
数的角度：
是一个非负数.
关系的角度：
的平方是 a；
是 a 的算术平方根；
形的角度：
不计入 0，是一个面积为正数 a 的正方形的边长.
归纳总结·怎么理解
咱俩都是非负数；
我是你的方，你是我的根；
根号我就是你；
我是完全平方数，你就是有理数，
否则，根号我就是你的样子
(x≥0，a≥0)
= 5
(0)
解：(1) 因为 102 = 100，
(2) 因为 = ，
(3)因为 0.012 = 0.000 1，
例 求下列各数的算术平方根：
(2) ；
(1) 100；
(3) 0.000 1.
即 = .
即 = .
即 = .
从小到大
所以100 的算术平方根是10，
所以 的算术平方根是 ，
所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01，
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
算术平方根 平方根
区 别 概念 不同 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的
算术平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根
个数 不同 正数的算术平方根有_______个 正数的平方根有_______个
表示方法不同 正数 a 的算术平方根表示为_______ 正数 a 的平方根表示为_______
结果 不同 正数的算术平方根一定是_______ 正数的平方根为________，二者互为________
1
2
正数
一正一负
相反数
小结
算术平方根 平方根
联 系 具有包含关系 同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是这个正数正的平方根。 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0
1. 求下列各数的算术平方根.
(3) ；
(1) 121；
(4) 0.25.
(2) 0；
解：(1) 11.
2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 .
22
练一练
(3) .
(2) 0 .
(4)0.5.
命题角度2　已知算术平方根求原数
1.(1)若一个数的算术平方根是4，则这个数是____；
(2)若一个数的算术平方根是，则这个数是____ .
16
2.3＋a的算术平方根是5，则a的值为____．
22
命题角度3　求算术平方根的算术平方根
想一想：被开方数a可以是负数吗？
答：不可以，因为任意一个数的平方都不可能是负数.
既a是一个非负数
想一想：被开方数 可以是负数吗？
答:不可以，由算术平方根的定义可得正数x= ，即
>0，又 =0 所以 也是一个非负数。
具有双重非负性:
(1)被开方数a是非负数;
(2)非负数a的算术平方根是非负数.
负数不存在算术平方根
（1）
（2）
（3）
判断以下各式是否有意义，为什么？
有意义
无意义
有意义
案
例
分
析
解：
(2) 因为(=，
(1) 因为0.32=0.09，
(3) 因为52=25，
1.求下列各数的算数平方根：
(1) 0.09;
(3) 52.
练一练
所以0.09的算数平方根是0.3，
即。
所以的算数平方根是，
即。
即=5 。
所以52的算数平方根是5，
1.求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有事半功倍的效果；
11 =121 12 =144 13 =169 14 =196 15 =225 16 =256 17 =289 18 =324 19 =324 20 =400
归纳总结
2.在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，则a的算术平方根就不带根号;若a不是有理数的平方，则a的算术平方根就带有根号，如
3.被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
命题角度4　利用算术平方根的非负性求值
1.求、的值，你有什么发现？
=3，
=0
，
a>0, =a
a<0, =-a
a=0, =0
由此发现:对于任意数a，都有=|a|.
算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0.
=0
2.求、 的值，你有什么发现？
由此发现:对于任意非负数a，都有=a
、
=25
=36
=0
命题角度5　估算算术平方根
怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形。
设大正方形的边长为x dm，则
x2=2
由边长的实际意义可知
所以大正方形的边长为 dm。
小正方形的对角线的长是多少呢？
有多大呢？
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
因为 12=1，22=4 ，12< 2 < 22，
所以
1
4
确定 在哪 2 个连续的整数之间。
a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
a2
1.21
1.44
1.69
1.96
2.25
2.56
2.89
3.24
3.61
因为 1.42=1.96，1.52=2.25 ，1.42< 2 < 1.52
所以
1.96
2.25
确定 在哪 2 个连续的一位小数之间。
a 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49
a2
1.9881
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164 ，1.412< 2 < 1.422，
所以
2.0164
2.0449
2.0736
2.1025
2.1316
2.1609
2.1904
2.2201
1.9881
2.0164
确定 在哪 2 个连续的两位小数之间。
a 1.412 1.413 1.414 1.415 1.46
a2
因为 1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225 ，
1.4142 < 2 < 1.4152
所以
1.993 744
1.996 569
1.999 396
2.002 225
2.005 056
如此进行下去，可以得到 更精确的估计范围。
此种方法叫“夹逼法”
1.999 396
2.002 225
它是一个无限不循环小数。
①小数位数无限；
② 小数部分不循环。
你还见过哪些这样的数？
π
用“夹逼法”求 近似值的步骤:
(1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间；
(2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间；
(3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间；
......
如此反复，可求得 更精确的估计范围.
归纳总结
例 (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？
解：因为 32 = 9，42 = 16，
所以与最接近的两个整数是 3 和 4.
案
例
分
析
所以 3 < < 4．
例 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？
解：因为 3 < < 4，
而 3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .
所以最接近的整数是 3 .
太小
太大
1. 估计 的值在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
B
解析：因为32=9，42=16，所以3＜ ＜4.
练一练
课堂小结
算术平方根
定义
表示
特征
如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________.
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；
负数没有算术平方根.
x2 = a
根号 a
被开方数
0
随堂检测
1.4的算术平方根是(　B　)
A. ±2 B. 2 C. －2 D.
2. 化简 的结果为(　D　)
A. ±5 B. 25 C. －5 D. 5
B
D
3. 下列说法正确的是(　A　)
A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根
C. ±3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根
A
4. 计算：(1)－ ＝ ；
(2) ＋ ＝ .
5. (1)若 ＋｜n｜＝0，则m＝ ，n＝ ；
(2)已知 ＋ ＝0，则(a－b)2025的值为 .
－0.1　
9.2　
0　
0　
0　
6. 求下列各数(式）的算术平方根：
(1)121；(2)2 ；　 (3) .∴121的算术平方根是11.
解：(1)因为112＝121，
所以121的算术平方根是11.
(2)因为( )2＝ ＝2 ，
所以2 的算术平方根是 .
(3) ＝ ，
又因为92＝81，
的算术平方根是3.
＝9.
而32＝9，

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