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第八章 实数
8．2　立方根
第1课时　立方根
导入新课
如图所示的魔方，体积为125 cm3，
你能计算出此魔方的棱长是多少吗？
(1)在这个实际问题中，提出了一个怎样的计算问题？
(2)你能找出一个数，使这个数的立方等于125吗？
(3)从这个问题中可以抽象出一个什么数学概念？
探究新知
命题角度1　立方根的性质
8
－8
0.125
－0.125
0
算一算
23＝ ；
(－2)3＝ ；
0.53＝ ；
(－0.5)3＝ ；
03＝ ；
＝ ；
＝ ；
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗
思考 4：开立方与立方是什么关系
立方根的概念
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，
那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根．
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
开立方
开立方与立方互为逆运算.
根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ 　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －，所以－ 的立方根是（ ）.
0
1
-2
0
-2
0.4
0.4
你能发现正数的立方根有什么特点吗
负数呢 0 的立方根是多少
互为逆运算
立方运算
开立方运算
如：( -2 )3＝－8
－8 的立方根是 ( -2 )
立方根的性质
性质1：正数的立方根是正数；
性质2：负数的立方根是负数，
性质3：0的立方根是0.
总结
立方根是它本身的数有 1，-1， 0；
平方根是它本身的数只有 0.
一个数 a 的立方根可以表示为：
根指数
被开方数
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
读作：三次根号 a，
x3 ＝5
立方根的表示
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
例 求下列各数的立方根：
(1) (－2)3； (2) 343；
解：(1) (－2)3 的立方根是－2，
(2) 因为 73 = 343，
命题角度2　求立方根的值
即 = －2；
所以 343 的立方根是7.
即 = 7；
(4)因为 = .
(3) 因为 (－4)3 = －64，
(4) ；
(3) －64；
所以 －64 的立方根是－4，
即 = －4；
所以 的立方根是 ，
即 = .
(3) 0.216；
(4) -5.
(4) -5 的立方根是
(1) ﹣27；
(2) 3
1. 求下列各数的立方根：
解：(1) 因为(-3)3 = -27，
所以 -27 的立方根是-3.
(2) 因为= ，
所以 的立方根是 .
(3) 因为(0.6)3 = 0.216，
所以 0.216 的立方根是0.6.
练一练
命题角度3　立方根与平方根有关的计算
1
2.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求b－2a＋1的立方根．
解：因为2a－1的平方根是±3，
所以2a－1＝9，解得a＝5.
因为3a＋b－1的算术平方根是4，
所以3a＋b－1＝16.
把a＝5代入，得3×5＋b－1＝16，
解得b＝2，
所以b－2a＋1＝2－10＋1＝－7，
所以b－2a＋1的立方根为
课堂小结
立方根
定义
性质
求一个数的立方根
如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或三次方根.
正数的立方根是_______；
负数的立方根是_______；
0的立方根是_______.
——开立方
立方根
正数
负数
0
随堂检测
1.求下列各式中的x的值：
(1)27x3－8＝0；
解：(1)因为27x3－8＝0，
所以27x3＝8，
所以x＝ ，
x3＝ ，
即x＝；
(2) (2x＋3)3＝54.
(2)因为(2x＋3)3＝54，
所以(2x＋3)3＝216，
所以2x＋3＝＝6，
即x＝.
2.已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：因为x－2的平方根是±2，
所以x－2＝4，
因为2x＋y＋7的立方根是3，
所以2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，
所以x2＋y2＝62＋82＝100.
所以x2＋y2的算术平方根为10.
解得x＝6
解得y＝8，

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