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第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数的概念及分类
导入新课
问题1：把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
5，- ，，，，
这些分数都可以写成有限小数或无限循环小数．
问题2：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
任何一个无限循环小数都能化成分数．
命题角度1　无理数的识别
计算：把下列有理数写成小数的形式：
。
2.5
0.6
6.75
1.2
探究新知
思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现 请同学们自主讨论并得出自己的结论.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
思考 2：像 这样的无限不循环小数属于有理数吗 为什么
不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.不能化成有限小数或无限循环小数，所以不属于有理数.
思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 说说它属于哪一类数
无理数
无理数的 3 种常见的表现形式有：
(1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ；
(2) 具有特定意义的数(如 π)；
(3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 ).
类比有理数，我们将无限不循环小数叫作无理数.
我们将有理数和无理数统称为实数.
命题角度2　实数的分类
按概念分
按大小分
仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
思 考
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
按概念分
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
按大小分
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
按概念分
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
按大小分
实数分类的原则
分类可以有不同的方法，但要按同一标准，不重复不遗漏。
有理数与无理数的区别
有理数 无理数
是有限小数或无限循环小数
是无限不循环小数
都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）
不能写成分数的形式
将下列各数填入相应的括号内
无理数集合：
整数集合：
分数集合：
正实数集合：
负实数集合：
有理数集合：
π，，，，1.010010001…，0，2.3
，，0，2.3
π，，1.010010001…
，0，
π，，1.010010001…，
，2.3
，
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2) π及化简后含有π的式子，如π，2-π等；
(3)有规律但不循环的小数，如1.212212 221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等；
(4)有理数和无理数的和、差，如 1+，-1等；
常见的无理数有哪些
思 考
C
D
2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是（ ）.
输入x
取算术平方根
输入y
是无理数
是有理数
A. 9 B. C.3 D.
1.下列说法中，正确的是（ ）.
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
练一练
与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。
你能在数轴上画出π，吗？
0
2
1
3
-1
-2
正无理数a
a个单位长度
负无理数
- b(b>0)
b个单位长度
命题角度3　实数与数轴的关系
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少
O
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O′
思考 1： 点O′ 对应的数是多少
思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么
π
无理数 π 可以在数轴上表示
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 。(为什么？)
-1
-2
0
2
1
3
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的
一一对应
实数
实数
数轴上的点
一一对应
-1
-2
0
2
1
3
4
π
如图
-2
-3
-1
1
0
2
-4
(1) 在数轴上标出-π， ，所对应点的大致位置。
(2) 根据数轴比较-π， ，的大小。
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
案
例
分
析
-π< <
对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
负实数 ＜ 零 ＜ 正实数
归纳总结
要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.
要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
要点 3：
(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
(2)两个正数，绝对值大的数较大；
(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
例1 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题
1， ，，π ，
－＜－＜1＜＜π
1
-
π
-
例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．
解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和，
所以点 B 到点 A 的距离为1＋，则点 C 到点 A 的距离为 1＋.
设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为
－1－x，
所以－1－x ＝ 1＋，
所以 x ＝ －2－.
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 B 关于点 A 的对称点为点 C 时，点C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
归纳总结
1.判断题。
(1) 无限小数都是无理数；
(2) 无理数都是无限小数；
(3) 用根号表示的数都是无理数；
(4) 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。
×
无限循环小数是有理数
√
×
是有理数
×
数轴上的点表示有理数或无理数。
√
练一练
-2
-3
-1
1
0
2
-4
2.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)：
-2, ,-π
课堂小结
实数
概念
分类
实数的大小比较
实数与数轴上的点一一对应
无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无线循环小数
无限不循环小数
0
开方开不尽的数
π
有规律不循环的数
随堂检测
1. 下列实数中，是无理数的是(　C　)
C
2. 下列各数：3.14159，π， ，0.131131113…
(相邻的两个3之间依次多一个1)，－ ，－ ，
其中无理数有(　B　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
A. 0.2 B. C. D. －5
3. 下列说法中错误的是(　D　)
A. 是有理数 B. 是无理数
C. 是有理数 D. 是分数
4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为 和
4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 个.
D
3　

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