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(共34张PPT)
第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第2课时 实数的性质及运算
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如图，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10 m2，正方形卧室CEFG的面积为15 m2，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长
是多少米，你能帮他计算出来
吗？
探究新知
命题角度1　实数的性质
(1) 的相反数是_____；－π 的相反数是_____；
0 的相反数是_______；
π
0
填一填：
·
-π
·
π
(2) ＝______；|－π |＝_____；| 0 |＝_____.
π
0
(3) －5 的倒数为_____.
根据填空的内容，你能得出什么结论
·
-π
·
π
你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？
一般地，对于实数，同样有数a的相反数是-a ；
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
符号表示：设a为一个实数，则
|a|
a，当a > 0时;
0，当a = 0时;
-a，当a < 0时.
一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离。
例 (1) 分别写出 －，π－3.14 的相反数；
案
例
分
析
解：因为 －(－)＝，
所以 －π－3.14 的相反数分別为 ，3.14－π.
－(π－3.14)＝3.14－π.
解：因为－()＝－，
所以－，1－ 分別是 －1 的相反数.
(2) 指出 －，1－ 分别是什么数的相反数；
－(－1)＝1－ .
解：(3) 因为 ＝－＝－4.
所以 | |＝|－4|＝4.
解：(4) 因为 ||＝， |－ |＝.
所以绝对值为 的数是 或 －.
(3) 求 的绝对值；
(4) 已知一个数的绝对值是，求这个数.
1. 分别求出下列各数(式)的相反数和绝对值：
(1) (2) (3)
解：(1)－15，15.
2. 已知 | a | = ，则 a 的值为 .
练一练
(2)－ ，.
(3)，.
命题角度2　实数大小的比较
解：借助数轴进行比较
-1
-2
0
2
2
3
-3
4
对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
比较下面几个实数的大小，并用“<”连接：
2，π，，-3，
你还有其他方法比较这几个实数的大小吗？
-
解：取近似值进行比较
所以 -3 < -1.732 < 2 < 2.236 < 3.142
即 -3 < < 2 < < π
比较下面几个实数的大小，并用“<”连接：
2，π，，-3，
π≈3.142， ≈ -1.732， ≈2.236
（1）利用法则比较大小；
（2）利用估算（取近似值，估算范围）比较大小；
（3）利用平方法比较大小；
（4）利用数轴比较大小；
（5）利用作差法比较大小.
归纳总结
比较实数大小的常用方法
A
1. a，b是实数，它们在数轴上的对应点的位
置如图所示，把a，-a，b，-b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A. a＜-b＜b＜-a B. a＜b＜-b＜-a
C. a＜-b＜-a＜b D. -b＜a＜b＜-a
由图可知，a＜0＜b，|b|＜|a|，
所以0＜b＜-a，a＜-b＜0，所以a＜-b＜b＜-a．
练一练
2. 比较大小：
＞
＜
（1） ______
(2)-______-3.1
-3.1
-3.1
命题角度3　实数的运算
根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b = （加法交换律）；
（2）(a + b) + c = （加法结合律）；
（3）a + 0 = 0 + a = ；
（4）a + (-a) = (-a) + a = ；
（5）ab = （乘法交换律）；
（6）(ab)c = （乘法结合律）；
b + a
a + (b + c)
a
0
ba
a(bc)
（7） 1 · a = a · 1 = ；
a
（8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律），
(b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ；
（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满
足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿；
ab + ac
ba + ca
(-b)
倒数
（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b
= a · ；
（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，
那么 ab＿＿0.
≠
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算
时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
归纳总结
(1) 先算乘方、开方；
(2) 再算乘除，最后算加减；
(3) 如果遇到括号，先进行括号里的运算.
实数的运算顺序
(1) ()－
＝ －) (加法结合律)
＝ 0
＝ ；
(2)
(分配律)
.
案
例
分
析
计算下列各式的值：
（1）()－ （2）
(3) 2＋3－5－3；
练一练
(3) 2＋3－5－3
＝(2－5)＋(3－3)
＝－3.
(4) | 1－ |＋| |
＝－1＋－
＝－1.
(5) －(＋)＋
＝－＋
＝－3＋8
＝5.
(4) | 1－ |＋| － |；
(5) －(＋)＋.
＝ －＋
解：(1) ≈2.236－2.646＝－0.41
计算(结果保留小数点后两位)：
(1)－ (2) π·.
案
例
分
析
(2) π·≈3.142×1.442≈4.53.
归纳总结
在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时。 直接舍去要保留数位的下一位数字。
1.计算 (结果保留小数点后两位)：
案
例
分
析
(1)+π (2)
解：(1)+π ≈ 2.236+3.142 ≈ 5.38
(2) ≈ 1.732×1.414 ≈ 2.45
2.如图，小明将一个小正方形 ABCD 和一个大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面积为 2 dm ，大正方形的面积为 3 dm ，请问这两个正方形的边长之和是多少 (结果保留两位小数)
A
B
C
D
E
F
G
解：因为小正方形的面积为 2 dm2，
所以小正方形的边长 BC 为 dm.
因为大正方形的面积为 3 dm ，
所以大正方形的边长 CG 为 dm.
所以 边长之和为：
BC＋CG＝ ＋≈1.414＋1.732≈3.15 dm.
A
B
C
D
E
F
G
课堂小结
实数的简单运算
实数的运算
实数的运算律
实数的运算法则
实数的大小比较
同有理数
实数的运算顺序
数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大
随堂检测
1. － 的相反数为(　A　)
A. B.
A
2. 实数－ 的绝对值是(　B　)
A. 5 B.
B
3. 的倒数是(　C　)
A. 2 B. －2
C
C. 3 D. －3
C. － D.
C. D. －
4. 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下
列结论正确的是(　C　)
A. a＞b
B. ｜a｜＞｜b｜
C. －a＜b
D. a＋b＜0
C
5. 计算：
(1) －5；
解：原式＝2－5＝－3.
(2)｜3－π｜＋ ；
解：原式＝π－3＋4－π＝1.
(3) ＋｜ －2｜－ .
解：原式＝－3＋2－ － ＝－ － .
解：原式＝2－5＝－3.
解：原式＝π－3＋4－π＝1.
解：原式＝－3＋2－ － ＝－ － .
6.计算 (结果保留小数点后两位)：
（1）+
解：（1）+
4.123+4.690
8.81
（2）-
解：（2） -
1.817-2.449
-0.632
7. 已知x＋7的平方根是±3，2x－y－13的立方根是-2，求5x－6y的算术平方根.＝4.
解：因为x＋7的平方根是±3，
所以x＋7＝(±3)2＝9，解得x＝2.
因为2x－y－13的立方根是－2，
所以2x－y－13＝(－2)3＝－8.
即2×2－y－13＝－8，解得y＝－1.
所以5x－6y＝5×2－6×(－1)＝16.
则5x－6y的算术平方根为 ＝4.

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