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第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
人教版 七年级 数学（下）
第1课时 用代入消元法解二元一次方程组
导入新课
上节课我们学习了老牛和小马各驮了多少包裹的问题，得出了二元一次方程组?????????=??????①????+????=???????????????②那么老牛和小马各驮了多少包裹呢？这就需要解这个二元一次方程组．
?
一元一次方程我们会解，那么二元一次方程组如何解呢？
在篮球联赛中，某校七(1)班为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分，已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么七(1)班应该胜、负各几场？如果设该班胜x场，负y场，可列出什么样的方程组？
????+????=??????????①,????????+????=??????????②.
?
探究新知
解法一中的一元一次方程与解法二中的二元一次方程组有什么关系？
{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}
设一个未知数
设两个未知数
大型采棉机
x
x
小型采棉机
6 - x
y
等量关系式
2x + (6 - x) = 8
x+y = 6，
2x+y = 8
y = 6-x
提出问题
(1)若引言中只设一个未知数，你能列出相应的方程吗？
(2)二元一次方程组????+????=????,????????+????=???? 与一元一次方程2x＋(6－x)＝8有什么关系？
?
(4)什么叫作消元思想？
(5)什么叫作代入消元法？
(6)用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
(3)如何求(2)中方程组的解？
2x+ y = 8
y = 6 - x ，
(6 - x )
2x + (6 - x) = 8
①
②
转化
等量代换
y = 6 - x ，
你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程组吗？
解得
x = 2
代入①式
y = 4
所以方程组的解为
x = 2，
y = 4.
把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所得是否正确.
如何判断所得方程组的解是否正确?
解二元一次方程组的基本思路“消元”
转化
一元一次方程
二元一次方程组
消元
消元的目的就是:
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
2x + (6 - x) = 8
y= 6 - x
????+????=????,????????+????=????
?
用代入法解方程组
例 1
?????????=????,????①?????????????????=????????.?????②
?
…………………… 变形
…………代入
把③代入②，得 3(y + 3)-8y = 14.
解：由①，得 x = y + 3 . ③
代入时此处要带括号.
……………………求解
…………………回代
………………写解
所以这个方程组的解是????=????,????=?????.
?
把 y = -1代入③，得 x = 2.
解这个方程，得 y = -1.
为什么要把y＝－1代入③，有什么优点？
思考：把y=-1代入①或②可以吗？
思考：把③代入
①可以吗？
解:由①，得 y=x-3. ③
把③代入②，得 3x-8(x-3)=14.
解这个方程，得 x = 2.
把 x=2 代入③，得 y = -1.
所以这个方程组的解是????=????,????=?????.
?
?????????=????,??????????????????①?????????????????=????????.?????????????????②
?
把第一步由①得x＝y＋3换成由①得y＝x－3，记为③，然后代入求解，结果一样吗？
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
变形：用含有未知数的式子表示另一个未知数；
代入：把y=ax+b(或 x=ay+b)代入另一个没有变形的方程；
求解：解消元后的一元一次方程；
回代：把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中；
写解：把两个未知数的值用大括号联立起来.
知识归纳
1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_____________的式子表示出来，再代入_______方程，实现_____，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称________．这种将未知数的个数____________、逐一解决的思想，叫作_______思想．
另一个未知数
另一个
消元
代入法
由多化少
消元
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
(1)从方程组中选取系数为1的方程，把其中的一个未知数用______________________表示出来；
(2)把(1)中所得的式子代入另一个方程，消去一个未知数；
(3)解所得到的方程，求得一个未知数的值；
(4)把所求得的未知数的值代入(1)中的式子，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解．
含另一个未知数的式子
例题与练习
例1 用代入法解方程组
所以这个方程组的解是????=????????????=????
?
把 x = 11代入③，得 y = 6.
把③代入①，得 3x-5(2x -16)=3 .
解：由②，得 y =2x - 16 . ③
解这个方程，得 x = 11.
?????????????????=????????????①?????????????=????????????????②
?
思考:怎么在二元一次方程组中选择合适的方程进行变形呢?
解:由______得_______________，
将③代入_______，消去______.
解:由______得_______________，
将③代入_______，消去______.
解:由______得_______________，
将③代入_______，消去______.
解:由______得_______________，
将③代入_______，消去______.
①
x=????????+????????
?
②
x
①
y=?????????????????
?
②
y
②
x=????+????????????
?
①
x
②
y=2x-16
①
y
?????????????????=????????????①?????????????=????????????????②
?
用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧:
① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形；
例 2 用代入法解下列方程组：
(1)????=???????????????①?????????????=???????②
?
解：把①代入②，得
2x－x＋1＝3.
解这个方程，得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝1.
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
(2)?????????????=????????????①????????+????????=???????????②
?
解：由(1)，得x＝2y＋2.③
把③代入②，得3(2y＋2)＋5y＝28.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝6.
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
例 3 将一批重490 t的货物分配给甲、乙两船运输，现甲船已运走其任务的????????，乙船已运走其任务的????????. 在已运走的货物中，甲船比乙船多运30 t，则分配给甲、乙两船的任务各为多少吨？
?
解：设分配给甲船的任务为x t，分配给乙船的任务为y t.
根据题意，得????+????=?????????????????①?????????????????????????=???????????②?
?
由①，得y＝490－x. ③
把③代入②，得????????x－????????(490－x)＝30.
?
解这个方程，得x＝210.
把x＝210代入③，得y＝280.
所以这个方程组的解是????=????????????????=????????????
?
答：分配给甲船的任务为210 t，分配给乙船的任务为280 t．
1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式：
（1）3x + y - 1= 0；
（2）2x - y = 3.
y = 1 - 3x
y = 2x - 3
2. 用代入法解下列方程组：
（1）?????????????=????????????+????????=????
?
①
②
所以这个方程组的解是????=????????=?????
?
把x=2代入③，得 y=-1.
解这个方程，得 x＝2.
把③代入②，得 3x＋4(2x-5)=2.
解：由①，得 y=2x-5.
③
（2）?????????????????=????????????+????=????
?
把x=3代入③，得 y=2.
解这个方程，得 x＝3.
把③代入①，得 3x-2(8-2x)=5.
解：由②，得 y=8-2x .
③
①
②
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
（3）?????????????????=????????????+????=????
?
把a=2代入③，得 b=1.
解这个方程，得 a＝2.
把③代入①，得 4a-3(5-2a)=5.
解：由②，得 b=5-2a .
③
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
①
②
把 t=1代入③，得 s=1.
解这个方程，得 t＝1.
把③代入②，得 (3t-2)+5t =6.
解：由①，得 s=3t-2
③
（4）?????????????=?????????+????????=????
?
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
①
②
3．用代入法解方程组????=??????????????????????=????时，代入正确的是(　 　)
　A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
　C．x－2＋x＝4 D．x－2＋2x＝4
?
D
4．用代入法解下列方程组：
(1)?????????????????=??????????①????+????????=????????????②　　　　
?
解：????=??????????=?????
?
(2)?????????????+????????=??????????①????????+????=???????????②　　　　
?
解：????=?????????=????
?
课堂小结
代入消元法
概念
基本思想
步骤
技巧
消元思想: 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想
①变形；
②代入；
③求解；
④回代；
⑤写解.
最后记得检验结果的正确性.
①变形的技巧；
②代入的技巧.
随堂检测
1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式:
(1) ???????? x+2y= 1；
?
(2) ???????? x+???????? y= 2；
?
(3) 5x-3y= x+2y；
(4) 2(3y-3) = 6x+4 .
解: y = ?????????????????x
?
解: y = ?????????????????x
?
解: y = ????????x
?
解: y = ????+????????
?
①
②
所以这个方程组的解是?????=???????????????=?????????
?
把 x = - ????????代入①，得 y = ????????.
?
解：把①代入②，得 7x + 5(x+3) = 9.
解这个方程，得 x = - ????????.
?
(1)????=????+????????????+????????=????
?
2.用代入法解下列方程组:
把 s = ????????????????代入③，得 t = ????????????????.
?
把③代入②，得 5s + 2(3s - 5) = 15.
解：由①，得 t = 3s - 5. ③
解这个方程，得 s = ????????????????.
?
(2)?????????????=????????????+????????=????????
?
①
②
所以这个方程组的解是?????=??????????????????????=?????????????????

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