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人教版 七年级 数学（下）
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第2课时 代入法解稍复杂的二元一次方程组
导入新课
????个茶杯+????瓶可乐=????????元????个茶杯+????瓶可乐=????????元
?
????个茶杯+????瓶可乐=????????元????个茶杯+????瓶可乐=????????元
?
小明说乙商场的茶杯和可乐的单价比甲商场贵一些，小红说两个商场的茶杯和可乐的单价相同，你认为呢？
甲商场：
乙商场：
什么叫作代入法？
用代入法解下列方程组．
(1)?????????=????????①????????+????=????????②
?
解：????=?????????=????
?
(2)????+????????=??????????????①?????????????????=?????????②
?
解：????=????????=????
?
小强和小红购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小强买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小红买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意所列方程组
是________________．
你会解这个方程组吗？
????????????+????????=????????????????+????????=????????
?
探究新知
提出问题
(1)这与上节课代入法解方程组有什么异同？
(2)能直接把①代入②中或把②代入①中吗？
用代入法解方程组?????????????????=???????????①????????+????????=??????????????②
?
(3)观察方程①②，选择哪一个方程将一个未知数用另一个未知数表示，为什么？
(4)在方程①中，怎样用含y的式子表示x.
用代入法解方程组?????????????????=???????????①????????+????????=??????????????②
?
①
②
方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
用代入法解方程组
例 3
?????????????????=?????????????????+????????=????????
?
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
把 y = 3 代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 9(???????? y - ????????????)+7y = 39.
?
解：由①，得 x = ???????? y - ???????????? . ③
?
解这个方程，得 y = 3.
把 x = 2 代入③，得 y = 3.
把③代入②，得 9x + 7(???????? x + ????????????) = 39.
?
解：由①，得 y =???????? x + ???????????? . ③
?
解这个方程，得 x = 2.
?????????????????=???????????①????????+????????=??????????????②
?
解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧:
① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形；
③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形.
二元一次方程组
2x - 5y = -11
x = _______
变形
______
______
解得x
2x - 5y = -11
代入
_________________
消去x
解得
???????? y - ????????????
?
x = 2
y = 3
9(???????? y - ????????????) + 7y = 39
?
知识归纳
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)从方程组中选一个系数绝对值最小的方程，把其中的一个未知数用_____________________表示出来；
(2)把(1)所得式子代入______________，消去一个未知数；
含另一个未知数的式子
另一个方程
(3)解所得到的___________方程；
(4)将所得未知数的值代入(1)所得式子中，求出另一个__________的值得到方程组的______．
一元一次
未知数
解
例题与练习
例 1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
例 1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
120x+45y=270，
90x+25y=185.
由①，得
①
②
x=???????? - ???????? y
?
③
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
所以这个方程组的解是????=????.????????=????
?
答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
把③代入②，得
90(???????? - ???????? y)+25y=185.
?
解这个方程，得
y = 2.
把 y=2 代入③，得
x = 1.5 .
思考：从实际问题抽象出二元一次方程组的一般步骤是什么？
(1)审题；
(2)找出两个相等关系；
(3)设未知数；
(4)列出两个方程，组成方程组；
(5)解方程组．
例 2 用代入法解下列方程组：
(1)????????+????=??????????????????????????①????????+?????????=??????????②
?
解：由①，得x＋3＝3y，即x＝3y－3. ③
由②，得2x－y＝4. ④
把③代入④，得2(3y－3)－y＝4.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝3.
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
(2)?????????????????=???????????①????+????????=????+????????????????????②
?
解：将原方程组整理，
得?????????????????=??????????????③?????????????????=????????????④
?
由③，得3y＝2x－1. ⑤
把⑤代入④，得4x－(2x－1)＝－5.
解这个方程，得x＝－3.
把x＝－3代入⑤，得y＝－????????.
?
所以这个方程组的解是????=?????????=－????????
?
例 3 阅读材料：
善于思考的小军在解方程组????????+????????=?????????①????????+????????????=???????② 时，采用了一种“整体代换”的解法．
?
解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5 ③.
把方程①代入③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
所以这个方程组的解是????=????????=?????
?
请仿照上述方法解方程组?????????????????=??????????①?????????????????=????????????②
?
解：把方程②变形为3(3x－2y)＋2y＝19 ③.
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入①，得x＝3.
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
1.用代入法解下列方程组：
（1）????????????????????=???????????????+??????????=?????????
?
①
②
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
把 x = 1 代入③，得 y = 2.
把③代入②，得 5x + 4(???????? x + ????????) = 13.
?
解：由①，得 y = ???????? x + ???????? . ③
?
解这个方程，得 x = 1.
①
②
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
把 m = 3 代入③，得 n = 4.
把③代入②，得 2m - 3(-???????? m + ????????????) +6=0.
?
解：由①，得 n =-???????? m + ???????????? . ③
?
解这个方程，得 m = 3.
（2）????????+????????=?????????????????????????+????=????
?
2. 一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒，4 小盒共装 108 瓶，2 大盒，3 小盒共装 76 瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶?
分析:
3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108，
2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76.
解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶.
由②，得x=38- ???????? y ③
?
????????+????????=???????????????①????????+????????=???????????②
?
分析:
3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108，
2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76.
把③代入①，得3(38- ???????? y)+4y=108.
?
解这个方程，得y = 12.
把 y=12 代入③，得x = 20 .
所以这个方程组得解是????=????????????=????????
?
答:大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装 12 瓶.
3．由????????－????????＝1，可以得到用x表示y的式子是( )
A．y＝????????????????? B．y＝????????????－????????
C．y＝????????????－2 D．y＝2－????????????
?
C
4．若方程组?????????????????=????????????+????????=???? 的解x与y的值相等，则k的值为_______．
?
1
5．用代入法解下列方程组：
(1) ?????????????=????????????①????????????+????????????=???????????????②
?
(2) ?????????????=??????????????????①?????????????=??????????????????②
?
解：????=????????=????
?
解：????=?????????????=?????????
?
课堂小结
实际问题
转化
代入
求解
回代
写解
检验
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
随堂检测
1. 用代入法解下列方程组:
①
②
所以这个方程组的解是????=????????=?????
?
把 y = -3 代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 3(- ????????y - ???????? )- 4y = 18.
?
解：由①，得x = - ????????y - ???????? . ③
?
解这个方程，得 y = -3.
（1）????????+????????=??????????????????????=????????
?
把③代入②，得 3(- ????????????+????????)- 2t = 28.
?
由①，得s = - ????????????+????????. ③
?
解这个方程，得 t = 4.
解：令 s=x+y , t=x-y
则方程组可化为????????+????????=???????????①?????????????????=???????????②
?
（2）????+????????+?????????????=????????(????+????)?????(?????????)=????????
?
把 y = 4 代入⑥，得 x= 8.
把⑥代入⑤，得 12-y-y =4.
由④，得 x=12-y. ⑥
解这个方程，得 y = 4.
所以????+????=???????????④?????????=?????????⑤
?
所以这个方程组的解是????=????????=????
?
把 t = 4 代入③，得 s = 12.
2.某旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游.经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的2倍少1. 到这两地旅游的人数各是多少?
解：设到花果岭旅游的人数是x，到云水洞旅游的人数是 y.
根据题意，列得方程组????+????=????????????????=?????????????
?
答：到花果岭旅游的人数是133，到云水洞旅游的人数是67.
解这个方程组，得????=????????????????=????????

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