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人教版 七年级 数学（下）
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
第2课时 用加减法解稍复杂的二元一次方程组
导入新课
赵老师昨天在水果批发市场买了2 kg苹果和4 kg梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了3 kg苹果和2 kg梨，共花了13元，梨每千克的售价是多少？
设苹果每千克的售价为x元，梨每千克的售价为y元.
如何解这个方程呢？
探究新知
解方程组
方程①②有没有系数的绝对值相等的未知数？
观察未知数的系数，你发现了什么？
如何消去x求解？
如果利用等式的基本性质，方程①②都变形，这种消去y的方法可行吗？
怎样将方程变形，再利用加减消元更为简单？
统一系数
最小公倍数
2和4的最小公倍数是4
能否使两个方程中x(或y)的系数相等(或互为相反数)呢
③－②，得－13y＝－65. y＝5.
解：①×2，得4x－10y＝－42. ③
所以这个方程组的解是
把y＝5代入①，得2x－25＝－21. x＝2.
② + ③，得
解：①×2，得
y = 1.
把 x = 2 代入①，得
6x - 4y = 8. ③
13x = 26，
x = 2.
3×2-2y = 4，
所以这个方程组的解是
………………变形
………………加减
………………求解
……………回代
……………写解
用加减法解方程组
例 6
解这个方程组时，可以先消去x吗 如果可以，结果一样吗
④ - ③，得
解：①×7，得
x = 2.
将 y = 1 代入①，得
21x - 14y = 28. ③
26y = 26，
y = 1.
3x-2×1 = 4，
②×3，得
21x +12y = 54. ④
所以这个方程组的解是
与消去y相比，哪个计算更简便
解方程组
当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数时，怎么办？
你能用去括号、去分母将方程组化为形式简单的方程组吗？
解：①×6，得3(x＋y)＋2(x－y)＝36. ③
②＋③，得6(x＋y)＝60. x＋y＝10. ④
③－②，得4(x－y)＝12. x－y＝3. ⑤
所以这个方程组的解是
④＋⑤，得2x＝13. x ＝ .
④－⑤，得2y＝7. y ＝ .
加减法求二元一次方程技巧：同一未知数
系数相等
(或互为相反数)
否
找最小公倍数，系数变得相同或互为相反数
是
两式相减(或加)
知识归纳
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)利用等式的性质，把方程组中同一个未知数的系数化为______________或________；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个_________方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)将求出的未知数的值代入方程组中的任意一个方程, 求出另外一个未知数的值, 就能得到方程组的解．
互为相反数
相等
一元一次
注意：用代入法和加减法解二元一次方程组时，它们都是通过______使方程组转化为_____________，只是______的方法不同．我们应该根据方程组的具体情况选择合适的解法．
消元
一元一次方程
消元
例题与练习
例 1 用加减法解下列方程组：
(1)
解：①×2，得4x＋2y＝10. ③
③－②，得3x＝6. x＝2.
把x＝2代入①，得4＋y＝5. y＝1.
所以这个方程组的解是
(2)
解：②×6，得3x－2y＝6. ③
所以这个方程组的解是
把y＝1代入①，得3x－5＝3. x＝.
③－①，得3y＝3，y＝1.
例 2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题: 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何
意思是:假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5 只羊，共值金8两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两
分析：
5头牛的钱数+2只羊的钱数=10
2头牛的钱数+5只羊的钱数=8
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.
5x+2y=10，
2x+5y= 8 .
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.
④ - ③ ，得
①×2，得
10x+4y=20. ③
21y =20，
y = .
②×5，得
10x+25y= 40. ④
将 y = 代入①，得
5x+2×=10 ，
所以这个方程组的解是
x = .
答：每头牛和每只羊分别值金两和两.
提出问题
(1)解方程组的基本思想是什么？
(2)消元的目的是什么？
(3)你会根据方程组的具体情况，灵活选择消元方法吗？
(1) 怎样解下面的方程
代入法
解得
加减法
解得
(2) 选择你认为简便的方法解决下面的问题.
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗 试找出问题的解.
解：设笼中有鸡x只，兔子y只.
依题意，得
答：笼中有鸡23只，兔子12只.
解得
例 3 先阅读，再解方程组．
解方程组：时，
设a＝x＋y，b＝x－y，
则原方程组可变为
整理，得
解得 即 解得
所以原方程组的解是
请用这种方法解方程组：
解：设m＝x＋y，n＝x－y，
则原方程组可变为 解得
即 解得
所以原方程组的解是
1. 用加减法解下列方程组：
（1）
③ + ④，得
解: ①×3，得
y = -0.5.
将 x = 6 代入①，得
9x + 12y = 48. ③
19x = 114，
x = 6.
3×6+4y = 16，
所以这个方程组的解是
②
①
②×2，得
10x - 12y = 66. ④
③ - ④，得
解: ①×3，得
6x + 9y = -. ③
5y = -，
y = -.
②×2，得
6x + 4y = -. ④
（2）
②
①
将 y = - 代入①，得
2x+3×(-) = - ，
x = -.
所以这个方程组的解是
2. 周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子，已知鲈鱼每千克 35 元，茄子每千克 6 元. 王芳买的茄子比鲈鱼多 0.5 kg，共花费 44 元. 她买了鲈鱼和茄子各多少千克
分析:
茄子的重量-鲈鱼的重量 = 0.5，
茄子的总价+鲈鱼的总价 = 44.
解：设她买了茄子和鲈鱼各x千克 、y千克.
由①，得
把③代入②，得
x=y+0.5 ③
6(y+0.5)+35y=44.
解这个方程，得
y = 1.
把 y=1 代入③，得
x = 1.5 .
所以这个方程组得解是
答:她买了茄子1.5千克，鲈鱼1千克.
①
②
3．用加减法解方程组下列解法不正确的是(　　 )
A．①×3－②×2，消去x
B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x
D．①×2－②×(－3)，消去y
D
4．用加减法解下列方程组：
(1)
解：②×2，得2x＋4y＝－4. ③
③－①，得7y＝－7. y＝－1.
把y＝－1代入②，得x＝0.
所以这个方程组的解是
(2)
解：①×2，得x＋6y＝. ③
③－②，得y＝，y＝.
把y＝代入①，得x＋＝. x＝－2.
所以这个方程组的解是
课堂小结
实际问题
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
加减消元法
变形
随堂检测
把 x=5 代入①，得 y = 7.
解：将原方程组整理，得
把①代入②，得3x+20=5(3x-8).
解这个方程，得 x=5.
所以这个方程组的解是
1. 解下列方程组：（1）
把 v=2 代入①，得 8u +9×2 = 6，u = -.
解：将原方程组整理，
得
①×3，得24u+27v =18. ③
解这个方程，得 x=5.
所以这个方程组的解是
③-②，得2v=4，v=2.
（2）
2.《孙子算经》中有这样一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. ”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头, 木头剩余1尺, 问木头长多少尺. 请你解决这个问题.
解：设木头长 x 尺，绳子长 y 尺.
根据题意，列得方程组
答：木头长6.5尺.
解这个方程组，得
3. 某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3km，超过3 km的部分按一定标准另外收取里程费. 张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7km，起步价和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13km，起步价和里程费共计28元，你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准吗？
解：设出租车的起步价为 x 元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 y 元/km.
根据题意，列得方程组
答：出租车的起步价为 10元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 1.8元/km.
解这个方程组，得
4.为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级(1)班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级(2)班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元. 如果每套男、女生演出服的租用费分别相同, 每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？
解：设每套男、女生演出服的租用费各是 x 元、y 元.
根据题意，列得方程组
答：每套男、女生演出服的租用费各是 20元、30 元
解这个方程组，得
5. 两台大型收割机和 5 台小型收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大型收割机和 2 台小型收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2.1 台大型收割机和 1 台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷
解：设 1 台大型收割机每小时收割小麦 x hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 y hm2.
根据题意，列得方程组
答：1 台大型收割机每小时收割小麦 0.4 hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 0.2 hm2.
解这个方程组，得

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