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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
第1课时 三元一次方程组的解法
人教版 七年级 数学（下）
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什么叫二元一次方程组?
有代入消元法和加减消元法.
解二元一次方程组的方法有哪些?
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
解下列二元一次方程组：
(1)????????+????=????,?????????①?????????????????=????????;???②　 (2)????=?????????????,???????????????①????????+????????=????????.????②
?
解：????=????,?????????=?????.　　　
?
解：????=????,?????????=????????.　　　
?
今年元旦晚会七、八、九三个年级一共选送了72个节目，八年级比七年级多选送了4个节目，七年级选送节目个数的2倍与八年级的和比九年级多26个．七、八、九三个年级各选送了多少个节目？
设七、八、九三个年级分别选送了x，y，z个节目，
可得方程组????+????+????=????????,?????????=????,????????+?????????=????????.
?
这样的方程和方程组叫什么呢？
探究新知
在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛. 积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2. 按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场?
①胜的场数 + 平的场数 + 负的场数 = 22；
②胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 = 47；
③胜的场数 = 负的场数 × 4 + 2.
等量关系:
该题中有几个等量关系？分别是什么？
胜的场数 + 平的场数 + 负的场数 = 22；
胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 = 47；
胜的场数 = 负的场数 × 4 + 2.
设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.
x + y + z = 22
3x + y = 47
x = 4z + 2
如果设这个足球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，那么可列出怎样的方程组？
所列出的方程组和二元一次方程组有什么区别？
x + y + z = 22
3x + y = 47
x = 4z + 2
二元一次方程
未知数的项的次数都是 1
未知数的项的次数都是 1
含两个未知数
含三个未知数
三元一次方程
都是整式
都是整式
观察列出的三个方程，你有什么发现?
一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
什么样的方程组叫作三元一次方程组？
三元一次方程组必须满足的三个条件：
方程组中一共含有三个未知数.
含有未知数的项的次数都是1.
含有三个整式方程.
(不一定每个方程都含有三个未知数)
x + y + z = 22，
3x + y = 47，
x = 4z + 2 .
怎么解三元一次方程组呢?
????+????+????=?????????????①????????+????=??????????????????②????=????????+?????????????????③
?
y+5z=20，
y+12z=41.
解这个方程组，得
y=5，
z=3，
把z=3代入③，得x=14.
因此，这个三元一次方程组的解为
y=5，
z=3.
x=14，
把③分别代入①②，得到关于y、z的二元一次方程组.
解:
能将三元一次方程组转化成二元一次方程组吗？
可以用什么方法消去哪个未知数组成二元一次方程组？
怎样求出x的值？
2x-z = 25. ④
③与④组成方程组?????????????=????????????=????????+????
?
解这个方程组，得????=????????????=????
?
把x=14代入②，得 y=5.
因此，这个三元一次方程组的解为????=????????????=????????=????
?
解: ②-①，得
????+????+????=?????????????①????????+????=??????????????????②????=????????+?????????????????③
?
还有其他解法吗?
解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元的方法
代入消元法
加减消元法
知识归纳
1．含有_____个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是_____，一共有_____个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“三元”化为“______”，使解三元一次方程组转化为解___________________，进而再转化为解__________________．
三
1
三
代入
加减
二元
二元一次方程组
一元一次方程
例题与练习
例 1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　 )
A．????????+????=?????????????????????=?????????????????=????　　B．?????????=?????????????=?????????????=????　　
C．????=????????=?????????????=????　　D．????????+????=????????+????????=????????????+????=????
?
C
例 2 解三元一次方程组
①
②
③
解:②×3+③，得
11x + 10z = 35. ④
①与④组成方程组????????+????????=????????????????+????????????=????????
?
解这个方程组，得????=????????=?????
?
把x=5，z=-2代入②，得
2×5+3y-2=9，
y = ????????.
?
因此，这个三元一次方程组的解为????=????????=????????????=?????
?
????????+????????=????????????+????????+????=?????????????????????+????????=????
?
????????+????????=????????????+????????+????=?????????????????????+????????=????
?
还有其他解法吗?
例 3 解三元一次方程组：?????:????=?????:??????????????????①?????:????=?????:??????????????????②????+????+????=??????????????③
?
解：由①，得x＝????????. ④
?
由②，得z＝????????y.⑤
?
把④⑤代入③，得????????＋y＋????????y＝－46，y＝－12.
?
则x＝－4，z＝－30，
因此，这个三元一次方程组的解为????=?????????=?????????????=?????????
?
1、解下列三元一次方程组:
（1）?????????????=??????????????=??????????????????+????=????????
?
（2）?????????????????=??????????????????????????+????+????????????=????????????+????????+????????=?????????
?
解得?????=????????????=?????????????????=????????????
?
解得?????=????????=?????????=????????
?
（3）????+????=????????+????=????????+????=????
?
（4）?????????????+????=?????????????????+?????????????=????????????+????+????=????????????
?
解得?????=????????=????????=????
?
解得?????=????????=????????=????
?
2．解方程组?????????????+????????=?????????????????+????+????????=????????????+?????????????=????????????若要使运算简便，消元的方法应该选取(　 　)
　A．先消去x B．先消去y
　C．先消去z D．以上说法皆可行
?
B
3．解下列三元一次方程组：
(1)????????+????????+????=????????????①????+????+????=?????????????????②????????+?????????????=??????????③
?
解：①－②，得2x＋y＝4. ④
①＋③，得5x＋5y＝15. ⑤
④与⑤组成方程组????????+????=????????????+????????=????????
?
解这个方程组，得????=????????=????
?
将x＝1，y＝2代入②，
得1＋2＋z＝10，z＝7.
因此，这个三元一次方程组的解为????=????????=????????=????
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(2) ????+????=???????????①????+????=?????????②????+????=???????????③
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解：②－①，得z－y＝－4. ④
③与④组成方程组????+????=?????????????=?????
?
解这个方程组，得????=????????=?????
?
把y＝2代入①，得x＋2＝3，x＝1.
因此，这个三元一次方程组的解为????=????????=????????=?????
?
课堂小结
三元一次方程组
概念
含未知数的项的次数都是 1
方程组中一共含有 3 个未知数
解法
化“ 三元 ”为“ 二元 ”
含有三个整式方程
消元
代入消元法
加减消元法
二元一次方程组
随堂检测
1. 解下列三元一次方程组:
(1) ????=??????????????????????????????????+????????+????????=?????????????????????=???????????????
?
(2) ????????+????????=?????????????????????????=????????????+????????=????????????
?
解得 ????=????????=?????????=????????
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解得 ????=?????????????=????????????=????
?
2. 解下列三元一次方程组:
(1) ????????=????????=?????????????????????????????????????+????????=????????
?
(2) ????????+????????+????????=?????????????????????+????????=?????????????????????????+????????=????????
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解得 ????=????????=????????=????????
?
解得 ????=?????????=????????????=????

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