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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
第2课时 三元一次方程组的应用
人教版 七年级 数学（下）
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问题1：什么是三元一次方程组？
问题2：解三元一次方程组的一般思路是什么？
问题3：求解三元一次方程组有哪些方法？步骤有哪些？
复习
解下列三元一次方程组：
(1)????+????=???????????????①????+????+????=???????②??????????????=???????③ (2) ?????????????+????=??????????①????????+?????????????=???????②????+?????????????=??????????③
?
解：????=????????=????????=?????
?
解：????=????????????=????????????=????
?
探究新知
在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值.
把 a，b，c 看作未知数
把已知 x、y 值代入原式
a-b+c=0
4a+2b+c=3
25a+5b+c=60
分析：
例 2
已知x和y的值，可以把哪些字母看作未知数？
当把x，y的值代入等式中，会出现哪些方程？
你能解这个三元一次方程组吗？是用代入法简便还是加减法简便？
解：根据题意，列得三元一次方程组
?????????+????=??????????????????①????????+????????+????=?????????????②????????????+????????+????=????????????③
?
②-①，得
③-①，得
a+b=1. ④
4a+b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组????+????=????????????④????????+????=???????????⑤
?
解这个方程组，得????=????????=?????
?
把a=2，b=-2代入①，得
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
c=-5.
一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13. 如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99. 求这个三位数.
?
例 3
设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
x+y+z=14
2x-y = ????????z
?
100z+10y+x+99=100x+10y+z
分析：
三位数可以设几个未知数表示各数位上的数？
若把这个三位数各位上的数字看成三个未知数，可得到几个方程？
解: 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
解这个方程组，得????=????????=????????=????
?
因此这个三位数是473.
????+????+????=???????????????????????????????????????????????????????????????①?????????????=????????????????????????????????????????????????????????????????????????②????????????????+????????????+????+????????=????????????????+????????????+????????③
?
知识归纳
①审
②设
③列
④解
⑤验
⑥答
审题，找题目中的等量关系
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
设未知数
根据等量关系，列出相应的方程组
用“代入消元法”或“加减消元法”解方程组
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案(包括单位名称)
例题与练习
例 1 在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝－7；x＝1时，y＝－9；x＝－1时，y＝－3，求a，b，c的值．
解：根据题意，
把c＝－7分别代入②，③得????+????=??????????????=????
?
解这个方程组，得????=????????=?????
?
则a＝1，b＝－3，c＝－7.
列得三元一次方程组????=????????????????????????①????+????+????=????????②?????????+????=????????③
?
例 2 为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：A＝2a－b，B＝2b，C＝b＋c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.
(1)当发送方发出一组密码2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
解：根据题意，
得A＝2×2－3＝1，B＝2×3＝6，C＝3＋5＝8.
答：接收方收到的密码是1，6，8.
(2)当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
解：根据题意，
解这个方程组，得????=????????=????????=????
?
答：发送方发出的密码是3，4，7.
列得三元一次方程组?????????????=????????①????????=????????????????②????+????=????????????③
?
1. 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 ???????? 等于丙数的 ????????，求这三个数.
?
解: 设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.
根据题意，列得三元一次方程组????+????+????=????????????①????????=????+???????????????②????????????=?????????????????????????????③
?
解得????=????????????=????????????=????????
?
因此，甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.
2. 在等式 z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；求a，b，c的值.
解：根据题意，
解这个方程组，得????=?????????=???????????=????????
?
因此，a、b、c的值分别为-1，2，5.
列得三元一次方程组????+????????+????=????????①????????+????+????=?????????②??????????+????=????????③
?
3．若方程组????+????=?????????????????=???????? 中x是y的2倍，则z的值是( )
A．－9　　　　　　 B．8　　　　　　
C．－7　　　　　　 D．－6
?
D
4．某校组织课外活动小组一共50人，分A，B, C三组，B组人数是A，C两组人数和的????????，A组人数恰好是B，C两组人数之和，则A，B，C三组人数分别为_____________________．
?
25人，10人，15人
5. 有甲、乙、丙三种货物，用卖2个甲、1个乙的钱买13个丙，剩余100元；用卖3个甲、3个丙的钱买9个乙，钱正好用完；用卖6个乙、8个丙的钱买5个甲，还差600元钱，求甲、乙、丙三种货物的单价各是多少．
解：设甲的单价是x元，乙的单价是y元，丙的单价是z元．
根据题意，列得三元一次方程组
????????+????=????????????+????????????????????+????????=????????????????+????????=?????????????????????
?
解这个方程组，得????=????????????????=????????????????=????????
?
答：甲、乙、丙三种货物的单价各是450元、175元、75元．
课堂小结
三元一次方程组的应用
构造三元一次方程组确定待定系数
列三元一次方程组解决实际问题
随堂检测
1. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y = -2；当x = -1时, y=20；当x= ???????? 与x= ???????? 时，y的值相等. 求a，b，c的值.
?
解：根据题意，得三元一次方程组
解得????=?????????????????=????????????????=??????????????
?
因此a的值为6，b的值为-11，c的值为3.
????+????+????=??????????????????????????????????????????+????=????????????????????????????????????????????????+????????????+????=????????????+????????????+????
?
2.一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的14，且各数位上的数的和为11. 求这个三位数.
?
解: 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z .
根据题意，列得三元一次方程组????=?????????????????????=????????????????+????+????=????????
?
解得????=????????=????????=????
?
因此这个三位数是245.
甲
乙
3. 甲地到乙地全程是 3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成. 如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4km，下坡每小时走5 km，那从甲地到乙地需 51 min，从乙地到甲地需 53.4 min. 从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少?
全程是 3.3 km
3 km/h
4 km/h
5 km/h
51 min
53.4 min
解: 设从甲地到乙地时，上坡的路程是x km，平路的路程是y km，下坡的路程是 z km.
根据题意，列得三元一次方程组
解得????=????.????????=????.????????=????.????
?
答:从甲地到乙地时，上坡的路程是1.2 km，平路的路程是0.6 km，下坡的路程是1.5 km.
????+????+????=????.????????????+????????+????????=????????????????????????+????????+????????=????????.????????????

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