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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
2. 数轴的定义是什么 数轴与实数有什么样的关系
1. 等式、方程的定义是什么
等式是指用“＝”表示相等关系的式子；
数轴是指规定了原点、正方向和单位长度的直线；
方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式.
一一对应
3．下列式子中哪些是等式？
4．两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续下去了，这是什么原因呢？
2x＋y
5a＋6＝3
4x＋5y＋4z＝0
5>3
探究新知
一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的A地 210 km，汽车要在 8:00 准时驶过 A 地，车速应满足什么条件？
2h
分析：
设车速是 x km/h.
行驶 210 km 所用的时间刚好 2 h.
行驶 2 h 的路程要刚好 210 km.
等量关系
方程
从时间上：
从路程上：
2x = 210
= 2
一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的A地 210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？
2h
分析：
设车速是 x km/h.
行驶 210 km 所用的时间不到 2 h.
行驶 2 h 的路程要超过 210 km.
从时间上：
从路程上：
2x > 210
< 2
不等量关系
？
提出问题
(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，可列出怎样的式子？
(2)从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，可列出怎样的式子？
(3)什么样的式子叫作不等式？
符号 ＞ ＜ ≠ ≥ ≤
名称 大于号 小于号 不等于号 大于等于号 小于等于号
实际意义 大于，超出 小于，不足 不相等 不小于，不低于，至少 不大于，不超过，至多
像 < 2，2x > 210这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 用“≠”“≥”或“≤”表示不等关系的式子也是不等式.
判断下列各式是不是不等式？
① a + 3≠1； ②x>2； ③ 3＜5； ④ 3x + 1；
⑤－2＞－1 ； ⑥<-1； ⑦ a + b＝b + a .
不等式中不一定要含有未知数.
一个式子是不等式的判定：
①含有不等号；
②表示不等关系，而与不等式是否成立无关；
③不等式中可以含有未知数,也可以不含未知数.
探究
x … 90 110 …
2x … 180 220 …
再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x > 210的解.
观察不等式2x > 210的解，它们都满足什么条件？
可以发现，当x > 105时，不等式2x > 210总成立；
而当x < 105或 x = 105时，不等式2x >210不成立.
提出问题
(1)方程 x ＝ 50的解是________．
x＝75
(2)举例说明：①小于75的数是不等式x > 50的解吗？②大于75的数是不等式x > 50的解吗？
(3)不等式x > 50的解有什么共同特征？
根据方程的解的概念给不等式的解下定义.
不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.
例如：75 是x > 50的解.
什么叫不等式的解集？
什么叫解不等式？
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程叫作解不等式.
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区别 定义 使不等式成立的未知数的值 使不等式成立的所有未知数的值
特点 个体 全体
形式 如：7是x+1＞5的一个解 如：x＞4是x+1＞5的解集
联系 所有的解组成解集，解集包含所有的解
知识归纳
1．用符号____________表示不等关系的式子，叫作不等式．用符号_______表示_______关系的式子也是不等式．
2．常见的不等符号：
符号 名称 实际意义 读法
< 小于号 小于、不足 小于
> 大于号 大于、高出 大于
≤ 小于或等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于
≥ 大于或等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于
≠ 不等于号 不相等 不等于
“<”或“>”
“≠”
不等
3．使不等式成立的未知数的______叫作不等式的解．
4．一般地，一个含有未知数的不等式的___________，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作__________．
值
所有的解
解不等式
例题与练习
例 1 下列式子中哪些是不等式？
(1)a＋b＝b＋a； (2)－3>－5；
(3)x≠1； (4)x＋3>6；
(5)2m例 2 根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x与2的和是负数；
(2)m与1的相反数的和是非负数；
(3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．
x＋2 < 0；
m－1 ≥ 0
a＋2 ≤ 3a
a2＋b2 ≥ 2ab
例 3 直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：
(1)x＋2<1的解集是________；
(2)4x>6的解集是________．
0
-1
1
0
-1
1
2
x <－1
x >
不包括-1这个点，则用空心圆圈表示,若包括这个点，则用实心圆圈表示.
大于向右，小于向左.
①a是正数；
② 5与x的和小于7；
③-4与m的积大于8；
1. 用不等式表示下列不等关系：
a > 0
找关键词
选不等号
列不等式
5+x < 7
-4m ＞ 8
正数
小于
大于
④m与1的差小于m的3倍；
⑤经检测，某公园的环境噪声在50dB（分贝）以下；
⑥某市有公交车12000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%.
m-1＜ 3m
p＜50（p为该公园的环境噪声）
＞ 66%（q为新能源公交车数量）
小于
以下
超过
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12
2. 下列数中哪些是不等式 x＋3＞6的解？哪些不是？
x＋3＞6
解得，x＞3
是不等式的解
不是不等式的解
x>3
（1）x＋3＞6；（2）2x＜8；（3）x－2＞0.
3. 直接说出下列不等式的解集：
0
4
0
3
0
2
x>2
x < 4
用数轴把它们表示出来.
4．给出下面5个式子：①3>0；②4x＋3y≠0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2<3. 其中是不等式的有(　 　)
A．2个　　 　　　B．3个　 　　　　
C．4个　　　　　 D．5个
B
5．下列数量关系用不等式表示错误的是(　 　)
A．若a是负数，则a<0
B．若m的值小于1，则m<1
C．若x与－1的和大于0，则x－1>0
D．若a的大于b，则a≠b
D
6．恩格尔系数n是指家庭日常饮食占家庭总支出的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的n值如下表所示：
家庭类型 贫困 温饱 小康 相对富裕 最富裕
n 59%以上 50%～59% 40%～49% 30%～39% 不到30%
如果用含n的不等式表示，那么贫困家庭为_________，最富裕家庭为__________；当某一家庭n＝0.6时，表明该家庭的实际生活水平是_______．
n>59%
n<30%
贫困
课堂小结
不等式及其解集
不等式解集的数轴表示
不等式的概念
不等式的解和解集
画数轴
找界点
定方向
随堂检测
1. 下列数中哪些是不等式 2x+3＞9的解？哪些不是？
-4，-2，0，3，3.01，4，6，100.
2x＋3＞9
解得，x＞3
是不等式的解
不是不等式的解
2. 用不等式表示下列不等关系：
① a 与 5 的和是正数；
② b 与 12 的差大于-5；
③ c 的 4 倍大于或等于 8；
④ 某市2021年空气质量为优良的天数比2017年的224天多出的天数超过了60.
5 + a > 0
b – 12 > -5
4c ≥ 8
x － 224 ＞ 60

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