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第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
问题1：假设老牛驮了x个包裹，则小马驮了(x－2)个包裹，可得到方程为____________________，则老牛驮了____个包裹，小马驮了____个包裹．
x＋1＝(x－2－1)×2
7
5
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
1．下列方程中，是一元一次方程的是(　 　)
A．x＋y＝2　　 B．x＋2＝3　　
C．x＋2y＋z＝0　　 D．4x2＝0
练一练
B
2．若x＝1是方程ax＋2x＝3的解，则a＝______．
3．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在14场比赛中得到26分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
1
探究新知
新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机. 1 h就完成了8 hm2棉田的采摘. 如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机. 1 h就完成了8 hm2棉田的采摘. 如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
这个问题包含哪些相等关系
① 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数，
② 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.
(1)引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些条件表示出来吗？
提出问题
(2)列出的方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
(3)什么样的方程叫作二元一次方程？
(4)什么叫作二元一次方程组？
你能用方程把这些相等关系表示出来吗
① 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数，
② 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.
方法一：设一个未知数.
方法二：设两个未知数.
设大型采棉机x台，则小型采棉机(6-x)台.
2x+(6-x)=8
设大型采棉机x台，小型采棉机y台.
怎么列式子
设大型采棉机x台，小型采棉机y台.
怎样列式子
大型 小型 合计
台数 6
1 h采摘面积 8
x
y
2x
y
x+y=6
2x+y=6
2x+(6-x)=8
一元一次方程
你能试着给它们起个名字吗
思考：第一个等式和后面两个等式有什么联系和区别
联系:
区别:
都是含有未知数的等式；
未知数的次数都是1；
第一个等式含有一个未知数；
后面的等式含有两个未知数.
x+y=6
2x+y=6
条件
含有两个未知数
所含未知数的项的次数都是1
方程的左右两边都是整式
方程含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程叫作二元一次方程.
(1)请完成探究中的填空；
提出问题
(2)什么叫二元一次方程的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程的解？
(3)什么叫二元一次方程组的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程组的解？
满足方程 x+y=6，且符合问题的实际意义的x，y 的值有哪些？把它们填入表中.
x
y
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
如果不考虑x，y的实际意义，x=-1，y=7；x=0.1，y=5.9；···也是这个方程的解.
上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=8
x
y
2x+y
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
7
8
9
10
11
x+y = 6，①
2x+y = 8 ②
x = 2，
y = 4.
公共解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
注意：
1. 二元一次方程的解是成对出现的；
2. 二元一次方程的解有无数个，与一元一次方程有显著区别. 而二元一次方程组的解一般只有一个.
知识归纳
1．含有_______个未知数(x和y)，且含有未知数的式子都是_______，含有未知数的项的次数都是_______，像这样的方程叫作二元一次方程．
两
整式
1
2．方程组中含有_______个未知数，且含有未知数的式子都是_______，含有未知数的项的次数都是______，一共有______个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
两
整式
1
两
3．一般地，使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫作二元一次方程的_____．
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的_________，叫作二元一次方程组的解．
相等
解
公共解
例题与练习
例 1 已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是二元一次方程，则m＋n的值是多少？
解：由题意，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，
解得m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝－1＋1＝0.
例 2 若 是二元一次方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．
解：将 代入方程4x－3y＝10，
得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，
解得m＝0.
例 3 甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2023＋(- b)2024的值．
解：由题意，将代入方程②，
得－12＋b＝－2，解得b＝10.
将代入方程①，得5a＋20＝15，
解得a＝－1.
∴ a2023＋(- b)2024 ＝(－1)2 023＋ (- ×10)2024 ＝－1＋1＝0.
1.某村乡村振兴项目计划把 28 t 黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t. 后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务. 这个项目改进加工方法前、后各用了多少天
解:这个项目改进加工方法前用了x天，改进后用了y天.
在方程①中，满足条件的x，y的值有
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 6 5 4 3 2 1
根据题意，得
也是方程②的解，
答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进后用了6天.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 6 5 4 3 2 1
则二元一次方程组的解为
2. 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分. 某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少
解:这个队的胜了x场、负了y场.
在方程①中，满足条件的x，y的值有
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
根据题意，得
也是方程②的解，
答：这个队的胜了6场、负了4场.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
则二元一次方程组的解是
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　 　)
A． B．
C． D．
A
4．已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
解：由题意，得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
(1)当m＝－2时，m＋2＝0，此时方程为一元一次方程－y＝3；
(2)当m＝2时，原方程可化为4x＋3y＝7，
(2)当m为何值时，它是二元一次方程？
此时方程为二元一次方程．
课堂小结
三个特征
二元一次方程（组）的解
应用二元一次方程（组）的解求特定字母的值
二元一次方程（组）
概念
构建二元一次方程（组）解决实际问题
应用
有两个未知数
含有未知数的项的次数都是1
是整式方程
随堂检测
1.填表，使上下每对x，y的值是方程 3x+y=5 的解.
x -2 0 0.4
y -1 -2 -2.5 -3
11
5
3.8
0
2
3.5
2.5
2.方程组 的解是（ ）.
C
A. A.
A. A.
3.如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°.
求:(1) x，y满足的关系式；
(2) 当x=90时，y的值；
(3) 当y=60时，x的值.
解：(1) x+2y=180；
(2) 当x=90时，y=45；
(3) 当y=60时，x=60.
4.我国古代数学著作《孙子算经》(成书于公元400年前后)中有“鸡免同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何. ” 你能用二元一次方程组表示问题中的数量关系吗 试找出问题的解.
解：设鸡有x只，兔有y只.
根据题意，得
此二元一次方程组的解为
5.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2m长和1m长的钢管各多少根 你能用二元一次方程来解决这个问题吗
解：设截得2m长的钢管有x根，截得1m长的钢管有y根.
根据题意，得2x+y=7，
且x，y都是正整数.
而适合2x+y=7的正整数解有
因此有三种截法保证不浪费.

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