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第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72 kg, 体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端, 这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6 kg的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x kg.
(1)从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？
(2)你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？
2x＋x<72
2x＋x＋6>72
探究新知
某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围.
设用 x h 将污水抽完，你能列出几个不等式？
30x > 1200
①
30x < 1500
②
x 同时满足这两个不等式.
把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
什么叫一元一次不等式组？
① 每个不等式都是一元一次不等式；
② 只含有同一个未知数；
③ 不等式的个数最少是2.
特征
如何找不等式组 的解集？
类比方程组的求解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 可以取值的范围.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
0
40
50
所以不等式组中x 的取值范围为 40 < x < 50.
公共部分
由不等式①，解得 x > 40.
由不等式②，解得 x < 50.
由此可知，什么叫一元一次不等式组的解集？
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集. 解不等式组就是求它的解集.
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5
(1)
求下列不等式组的解集：你能发现什么规律
解：原不等式组的解集为 x＞5.
解：原不等式组的解集为 x＞2.
同大取大
(2)
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5
求下列不等式组的解集：你能发现什么规律
解：原不等式组的解集为 3＜x＜5.
解：原不等式组的解集为 -1＜x＜2.
大小小大
中间找
(1)
(2)
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5
求下列不等式组的解集：你能发现什么规律
解：原不等式组的解集为 x＜3.
解：原不等式组的解集为 x＜-1.
同小取小
(1)
(2)
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5
求下列不等式组的解集：你能发现什么规律
解：原不等式组的解集没有公共部分，无解.
解：原不等式组无解.
大大小小
无处找
(1)
(2)
a b
a b
a b
a b
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
x＞b
x＜a
a＜x＜b
无解
小 结
知识归纳
1．类似于方程组，把两个含有同一个未知数的一元一次不等式________，组成一个一元一次不等式组．
2．一般地，几个不等式的解集的____________，叫作由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．
合起来
公共部分
3．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的_______，再求出这些解集的__________，利用_______可以直观地确定不等式组的解集．
解集
公共部分
数轴
4．若ax>b
ax无解
例题与练习
例1 解下列不等式组：
解：解不等式①，得
2x -1 > x+1
x > 2
解不等式②，得
x-4x < -1-8
-3x < -9
x > 3
不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为 x > 3.
0
2
3
(1)
解：解不等式①，得 x ≥ 8，解不等式②，得 x < .
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解.
(2)
0
8
分析：使两个不等式都成立的 x 的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是 x 可取的整数值.
例 2 x 取哪些整数值时，不等式5x + 2 > 3(x -1)与 x 都成立？
解：解不等式组
所以 x 可取的整数值是 -2，-1，0，1，2，3，4.
得 - < x 4
例 3 解下列不等式组：
(1)
解：解不等式①，得x>1.　　
解不等式②，得x>5.
∴不等式组的解集为x>5.
(2)
解：解不等式①，得x>－2.
解不等式②，得x≤－1.
∴不等式组的解集为－2例 4 某公司有甲种原料260 kg，乙种原料270 kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8 kg、乙种原料5 kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料9 kg，可获利润1 100元．
(1)安排生产A，B两种产品的件数有几种方案？
(2)哪种方案利润最大？
解：设生产A种产品x件，则生产B种产品(40－x)件．
根据题意，得 解得22.5≤x≤25.
∵x为正整数，∴x的值可取为23，24，25，
∴共有三种方案：
方案一：生产A种产品23件，B种产品17件；
方案二：生产A种产品24件，B种产品16件；
方案三：生产A种产品25件，B种产品15件；
(1)安排生产A，B两种产品的件数有几种方案？
(2)哪种方案利润最大？
(2)方案一利润：900×23＋1 100×17＝39 400(元)；
方案二利润：900×24＋1 100×16＝39 200(元)；
方案三利润：900×25＋1 100×15＝39 000(元).
∵39 400 > 39 200 > 39 000，
∴方案一利润最大．
1. 解下列不等式组：
(1)
①
②
解：解不等式①，得x > .　　
解不等式②，得x > 1.
∴不等式组的解集为x > 1.
(2)
①
解：解不等式①，得x ＜ -6.　　
解不等式②，得x ≥ 2.
∴这个不等式组无解.
②
(3)
①
②
解：解不等式①，得x > - .　　
解不等式②，得x ≤ .
∴不等式组的解集为- ＜ x ≤ .
2. x 取哪些整数值时，不等式 x+3 > 6 与 2x -1<10 都成立？
解：不等式 x+3>6 的解集为x>3，
不等式 2x-1<10 的解集为x < 5.5.
它们解集的公共部分为3< x<5.5.
所以x取4，5 时，不等式 x+3>6与2x-1<10都成立.
3. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　 　)
4．不等式组 的最小整数解是_________．
C
x＝－2
5．已知关于x，y的方程组 的解都是负数．
(1)求m的取值范围；
解：(1)解原方程组得
由x，y都是负数，得
解得－1< m <1；
(2)∵－1∴|m－3|＋|m＋1|＝3－m＋m＋1＝4.
∴m－3<0，m＋1>0，
(2)化简|m－3|＋|m＋1|.
课堂小结
一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念
解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集
解各个不等式
写出不等式组的解集
利用数轴法或口诀法找出各解集的公共部分
应用
（步骤）
随堂检测
1. 解下列不等式组：
解：（1） 解不等式①得x < 4，解不等式②得x < 2，
所以不等式组的解集为x < 2.
（2） 解不等式①得x > 4，解不等式②得x > 2，
所以不等式组的解集为x > 4.
(1)
①
②
(2)
①
②
（3） 解不等式①得x < 4，解不等式②得x > 2，
所以不等式组的解集为2 < x < 4.
（4） 解不等式①得x > 4，解不等式②得x < 2，
所以不等式组无解.
(3)
①
②
(4)
①
②
2. 解下列不等式组：
解：（1） 解不等式①得x > ，
解不等式②得x ≤ 2，
所以不等式组解集为 < x ≤ 2.
(1)
①
②
（2） 解不等式①得x > 5，
解不等式②得x > -，
所以不等式组解集为x > 5.
(2)
①
②
（3）解不等式①得x ≤ 1，
解不等式②得x < 4，
所以不等式组解集为x ≤ 1.
(3)
①
②
（4）解不等式①得x<0，
解不等式②得x > 0，
所以不等式组无解.
(4)
①
②
3. x 取哪些整数值时，不等式 4(x - 0.3) < 0.5x + 5.8 与3+x > 都成立？
解： 不等式 4(x - 0.3) < 0.5x + 5.8的解集为x < 2.
不等式3 + x > x + 1的解集为x > -4.
两个不等式的解集为 -4 < x < 2.
所以 x 可取-3，-2，-1，0，1.
4. x 取哪些整数值时，2 ≤ 3x-7 < 8 成立？
解： 把不等式 2 ≤ 3x-7＜8 看作一个不等式组
解得
所以不等式组的解集为 3 ≤ x < 5.
故 x 取3，4时， 2 ≤ 3x-7 < 8 成立.
5. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么剩余 8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分到了书但不到 3 本. 这些书有多少本？共有多名同学？
解：设共有 x 名同学，则有（3x + 8）本书.
由题意得
解不等式①，得x<6.5，解不等式②，得x>5.
所以这个不等式组的解集为5因为x为整数，所以x=6. 所以3x+8=3×6+8=26.
答：这些书有26本，共有6名同学.

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