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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第3课时 一元一次不等式的应用(2)
人教版 七年级 数学（下）
导入新课
1．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料种类 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/kg-1 500 200
现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4 100单位的维生素C. 若所需甲种原料的质量为x kg，则x应满足的不等式为( )
A．500x＋200(10－x)≥4 100 B．200x＋500(100－x)≤4 100
C．500x＋200(10－x)≤4 100 D．200x＋500(100－x)≥4 100
A
2．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作．根据图中给出的信息，量筒中至少放入______个小球时有水溢出．
10
探究新知
甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
例 4
在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.
顾客到哪家超市购物花费较少？
提出问题
(1)在甲超市超过100元后享受优惠，在乙超市超过50元后享受优惠，需要分几种情况讨论？
(2)设顾客购物金额为x元，当x≤50时，应怎样选择购物，为什么？
(3)当50(4)当x>100时，怎样选择购物，为什么？
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0 < x ≤ 50
50 < x ≤ 100
x > 100
x
x
x
100 + 0.9(x-100)
50 + 0.95(x-50)
50 + 0.95(x-50)
分 析：
设累计购物花费x元.
（1）当 0< x ≤ 50 时，在两家超市购物花费_____，因为__________________.
（2）当 50 < x ≤ 100 时，在____超市购物花费少，因为__________________________.
一样
都不享受优惠
乙
乙超市有优惠，甲超市没有
解：
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0 < x ≤ 50 x x
50 < x ≤ 100 x 50 + 0.95(x-50)
x > 100 100 + 0.9(x-100) 50 + 0.95(x-50)
②若到乙超市购物花费较少，则__________________
___________，解得 ________. 即______________时，到乙超市购物花费较少.
①若到甲超市购物花费较少，则__________________
___________，解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少.
（3）当累计购物超过100元，即 x > 100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.
100+0.9(x-100) ＜ 50 + 0.95(x-50)
x > 150
x > 150
100+0.9(x-100) > 50 + 0.95(x-50)
x < 150
100＜x < 150
③若到两超市购物花费相同，则__________________
_______________，解得 ________. 即________时，到甲、乙两超市购物花费相同.
x = 150
x = 150
答：当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.
100+0.9(x-100) = 50 + 0.95(x-50)
数学模型
实际问题
答
验
解
厘清数量
审
列
设
符号化
工具
条件限制
抽象
解决
本质
寻找不等关系
设确定未知数
小 结：
知识归纳
购物享受优惠问题包括不打折费用和超过一定范围打折费用，解决此类方案问题要将现实生活中的事件与数学思想联系起来，确定分段讨论方案后再建立不等式关系进行比较最后确定最优花费方案．
例题与练习
例 1 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型 B型
价格/(万元/台) 12 10
处理污水量/(吨/月) 240 200
年消耗费/(万元/台) 1 1
(1)该企业有几种购买方案？
解：设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．
根据题意，得12x＋10(10－x)≤105.
解得x≤2.5.
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
有三种购买方案：购A型0台，B型10台；购A型1台，B型9台；购A型2台，B型8台；
A型 B型
价格/(万元/台) 12 10
处理污水量/(吨/月) 240 200
年消耗费/(万元/台) 1 1
(2)若企业每月产生的污水量为2 040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
解：根据题意，得240x＋200 (10－x)≥2 040.
由(1)得，x为1或2.
当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；
当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元).
因为102<104，所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
A型 B型
价格/(万元/台) 12 10
处理污水量/(吨/月) 240 200
年消耗费/(万元/台) 1 1
解得x≥1.
例 2 某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A B
进价/(万元/套) 1.5 1.2
售价/(万元/套) 1.65 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
解：设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套、y套．
根据题意，得
解得
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套、30套；
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
A B
进价/(万元/套) 1.5 1.2
售价/(万元/套) 1.65 1.4
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套．
根据题意，得1.5×(20－a)＋1.2×(30＋1.5a)≤69，
解得a≤10.
答：A种设备购进数量至多减少10套．
A B
进价/(万元/套) 1.5 1.2
售价/(万元/套) 1.65 1.4
1. 学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生. 笔记本的价格为 16元/个，中性笔的价格为 4 元/支.如果学校一共要购买 100 件奖品，总费用不能超过 900 元，那么学校最多能买多少个笔记本？
解：设学校买 x 个笔记本，则能买(100-x)支中性笔.
根据题意，列得不等式 16x + 4(100-x)≤900，
解得 x ≤.
由 x 应为正整数，可得 x 最多为 41.
答：学校最多能买41个笔记本.
2. 一家水果店花费 10 000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 kg，计划分别以 39 元/kg和 29 元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了 20%. 若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的 90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
解：设大樱桃的售价定为每千克 x 元.
根据题意，列得不等式
200×(1-20%)x+200×29-10000 ≥ [(39+29)×200-10000]×90%，
解得 x ≥ 46.5.
答：大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元.
3．某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/min；方案B：不收月租费，本地通话话费0.3元/min.设婷婷的爸爸一个月通话时间为x(min)，婷婷的爸爸一个月通话时间超过________min时，选择方案A比方案B优惠．
200
4．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话．
(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个；
解：(1)设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x＋1)个．
根据题意，得10(x＋1)×0.85＝10x－17.解得x＝17.
答：小明原计划购买文具袋17个；
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予八折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
(2)设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔(50－y)支．
根据题意，得[8y＋6(50－y)]×80%≤400－(10×17－17).
解得y ≤ 4.375.
∵y为自然数，∴y最大＝4.
答：小明最多可购买钢笔4支．
课堂小结
列一元一次不等式解稍复杂的实际问题
方案选择问题
分段计费问题
随堂检测
1. 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的 1.7 倍. 升级后，这条生产线 8 个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来 12 个月的生产量至少多 1000 万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？
解：设这条生产线原来平均每月的产量是 x 万盒.
由题意，得1.7x×8－12x ≥ 1000.
解不等式，得 x ≥ 625.
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是 625 万盒.
2. 某校七年级 560 名学生和 11 位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆. 客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示.
学校计划租用 11 辆客车，那么
车型 A 型 B 型
载客量/人 40 56
租金/元 1000 1200
解：设租 x 辆 A 型客车，
（1）最多可以租用多少辆 A 型客车？
车型 A 型 B 型
载客量/人 40 56
租金/元 1000 1200
则租（11-x） 辆 B 型客车.
由题意，得40x + 56（11－x）≥ 560 + 11.
解不等式，得 x ≤ .
由x应为非负整数，可得x最多为2.
答：最多可以租 2 辆 A 型客车.
解：由（1）可知共有三种租车方案.
方案1：租2辆A型客车，9辆B型客车，共需租金为 1000×2+1200×9=12800（元）.
方案2：租1辆 A 型客车，10辆B型客车，共需租金为 1000×1+1200×10=13000（元）.
方案3：不租A型客车，租11辆B型客车，共需租金为 1200×11=13200（元）.
因为12800<13000<13200，所以租2辆A型客车，9辆 B型客车的方案的租金最低.
（2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？

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