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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.2 不等式的性质
人教版 七年级 数学（下）
第2课时 不等式性质的应用
导入新课
小明就读的学校上午8点开始上第一节课．小明家距学校4 km，而他的步行速度为6 km/h.那么，小明最晚上午几点从家里出发才能保证不迟到？
2．这个不等式的解集是__________．
x ≤ 7
6(8－x) ≥ 4
1．若设小明上午x点从家里出发，则x应满足关系式是______________．
3．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？
用“<”或“>”填空：
(1)若x－2 > y－2，则x ______ y；
(2)若 < ，则x ______ y；
(3)若－3x > －3y，则x ______ y；
(4)若－ < －，则x ______ y.
>
<
<
>
探究新知
利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1；
解未知数为x的不等式
化为x＞m或x＜m的形式
目标
思路：
方法：不等式的性质1~3
解不等式，就是借助不等式的性质使不等式逐步化为 x＞m 或 x＜m （m为常数）的形式.
例 3
（3）x＞50； （4）-4x＞3.
解：x-7+7 ＞ 26+7，
x＞33.
0
33
用数轴表示为
解： 3x-2x ＜ 2x+1-2x，
x ＜ 1.
用数轴表示为
0
1
（1）x-7 ＞ 26； （2）3x ＜ 2x+1；
x＞75.
0
75
用数轴表示为
用数轴表示为
（3）x＞50； （4）-4x＞3.
解：x ＞，
解： ＜ ，
x ＜ -，
0
-
提出问题
(1)符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？请举例说明；
(2)符号“≤”与“＜”的意思有什么区别？请举例说明．
符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”.
符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”.
符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式 .
如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h.如果用 v（单位：km/h）表示汽车的速度，则 v 应满足：v ≥ 80且 v ≤ 100，或表示为 80≤v ≤100.
≥
≤
常见的不等式基本语言与符号表示：
基本语言 符号表示 基本语言 符号表示
a是正数 a＞0 a是负数 a＜0
a是非负数 a ≥ 0 a是非正数 a ≤ 0
a大于b a＞b a小于b a＜b
a不小于b a ≥ b a不大于b a ≤ b
a, b同号 ab>0 或 a, b异号 ab<0 或
超过 ＞ 不足 ＜
如图，一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽 3.5 dm，高 7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用 V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围并在数轴上表示.
分析：问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.
V新注入水 + V已有水 ≤ V容器，
体积不能为负数→V新注入水 ≥ 0.
1 dm
例 3
题目中的不等关系是什么？
V新注入水 + 10×3.5×1 ≤ 10×3.5×7
V新注入水 + 35 ≤ 245
V新注入水 ≥ 0
V新注入水 ≤ 210
0 ≤
V新注入水 + V已有水 ≤ V容器
在数轴上怎么表示？
0
210
注意:这是一个包含两端点的区间(闭区间).
1 dm
≤
V的取值范围应满足哪两个条件？为什么？
V新注入水
“≤” 能换成 “<” 吗？为什么？
用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别 不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示
实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数.
不等式的解集 用数轴表示 注意
x ≥ a 端点用实心圆，方向向右
x ≤ a 端点用实心圆，方向向左
a
a
(1) c的4倍大于或等于8；
(2) c的一半小于或等于3；
(3) d与e的和不小于0；
(4) d与e的差不大于－2.
例题与练习
例 1 用不等式表示下列关系：
解：4c ≥ 8；
解：c ≤ 3；
解：d＋e ≥ 0；
解：d－e ≤ －2.
例 2 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x＋3 > －1； (2)6x ≤ 5x－7；
解：(1) x>－4，解集在数轴上表示如图；
解：(2) x≤－7，解集在数轴上表示如图；
-4
0
-7
0
(3)－x < ； (4)4x ≥ －12.
解：(3) x>－2，解集在数轴上表示如图；
解：(4) x≥－3，解集在数轴上表示如图．
-2
0
-3
0
例 3 用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是4 m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外(不含100 m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？请将解集在数轴上表示出来．
解：设导火索的长度是x cm.
根据题意，得×4>100，解得x>20.
答：这个导火索的长度应大于20 cm.
0
20
在数轴上表示x的取值范围如图所示．
1. 关于 x 的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集.
-2
0
3
0
（1）
（2）
（3）
解：（1）x ≥ -2
（2）x ＜ 3
（3）-1 ＜ x ≤ 4
0
4
-1
2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
x＞-6
-6
0
用数轴表示为
x ＜ 5
5
0
用数轴表示为
解：x+5-5 ＞ -1-5
解：4x-3x ＜ 3x+5-3x
（1）x + 5 > -1;
（2）4x < 3x + 5
x ≤ 6
0
6
用数轴表示为
用数轴表示为
解：-8x÷(-8) ＜ 10÷(-8)
0
-
（3） ;
（4）-8x > 10
解：
x ＜ -
3. 某日北京的最低气温是 19 ℃，最高气温是 28 ℃，用不等式表达这天的气温 t（单位：℃ ）的变化范围.
19 ≤ t ≤ 28
4. 不等式x－2≥0的解集在数轴上表示正确的是(　 )
B
5．小华拿27元钱购买圆珠笔和练习册，已知一本练习册2元，一支圆珠笔1元，他买了4本练习册，x支圆珠笔，则下列关于x的不等式表示正确的是(　 　)
A．2×4＋x＜27　 B．2×4＋x≤27　
C．2x＋4≤27　 D．2x＋4≥27
B
6．若不等式(2k＋1)x<2k＋1的解集是x>1，求k的取值范围，并将其解集在数轴上表示出来．
解：∵不等式(2k＋1)x<2k＋1的解集是x>1，
∴2k＋1<0，解得k<－.
在数轴上表示k的取值范围如图所示．
0
-
课堂小结
1．形如x≥a或x≤b的含义及在数轴上的表示方法．
2．不等式性质的运用．
随堂检测
1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） x + 3＞ -1 ； （2）6x ≤ 5x － 7；
解：x > -4.
0
-4
解：x ≤ -7.
0
-7
解：y < -2.
解：y ≥ -3.
0
-3
（3）- y ＞ ； （4）4y ≥ -12；
0
-2
2. 陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制. 我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如右表所示. 设窑内温度为 t ℃.
火焰色调 温度t/℃
最初赤红 475
最初赤红至暗赤 475~650
暗赤至樱桃红 650~750
樱桃红至鲜红 750~820
鲜红至橘黄 820~900
橘黄至黄色 900~1090
黄色至浅黄色 1090~1320
浅黄色至白色 1320~1540
灰白色 1540以上
650 ≤ t ≤ 750
（1）用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱桃红”时，窑内温度的范围；
火焰色调 温度t/℃
最初赤红 475
最初赤红至暗赤 475~650
暗赤至樱桃红 650~750
樱桃红至鲜红 750~820
鲜红至橘黄 820~900
橘黄至黄色 900~1090
黄色至浅黄色 1090~1320
浅黄色至白色 1320~1540
灰白色 1540以上
（2）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是1260≤t≤1310，窑内火焰的颜色是怎样的？
3. 已知 a ＞ b ，用“＜”或“＞”填空，并说明依据：
（1） 2a－5_____ 2b－5 ；
（2）-3.5b + 1 _____ -3.5a + 1.
＞
＞
不等式的性质1，2
不等式的性质3，1
4. 用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集：
（1）x 的 3 倍大于1；
（2）x 与 3 的和不小于7；
解：（1）3x > 1
解得：x >
0
（2）x + 3 ≥ 7
解得：x ≥ 4
0
4
（3）y 的小于或等于 -2；
（4）y 的 2 倍小于 y 与 1 的差.
（3） y ≤ -2
解得：y ≤ -8
0
-8
（4）2y ＜ y - 1
解得：y ＜ -1
0
-1
5. 如图是某机器零件的设计图纸（图中长度单位：mm），用不等式表示零件长度 L 的合格尺寸（L 的取值范围）.
解：40－0.02 ≤ L ≤ 40+0.02，
即39.98 ≤ L ≤ 40.02.

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