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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.2 不等式的性质
人教版 七年级 数学（下）
第1课时 不等式的基本性质
导入新课
再过24年，我就比爸爸现在的年龄大了．
小刚的说法对吗？为什么？
小刚今年9岁
爸爸今年32岁
等式有哪些性质？
等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
探究新知
提出问题
(1)等式和不等式是对什么关系的刻画？
(2)如果a>b，a与b交换位置，可得到什么不等式？
(3)交换不等式两边，不等号方向怎么变？
(4)如果a>b，b>c，可以得到一个什么不等式？
(5)不等式性质的基本事实有哪些？
如果a=b， b=c，那么a=c.
类比等式的性质，你能猜想不等式有哪些性质吗？
如果a=b，那么b=a.
不等式的两个基本事实:
相等关系可以传递.
等式的两边可以交换.
如果a＞b，那么b＜a .
（2）不等关系可以传递:
如果a＞b， b＞c，那么a＞c .
（1）交换不等式两边，不等号的方向改变:
提出问题
(1)你能完成探究中的填空吗？
(2)通过填空，你有什么发现？
(3)不等式有哪些性质？
(4)不等式的性质与等式的性质有什么异同？
(5)如何解不等式？
用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
（1）5 > 3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2，
② 5 + 0______ 3 + 0，
③ 5 + (-2)______ 3 + (-2)；
（2）-1 < 3，
① -1 + 4 ______ 3 + 4，
② -1 + 0______ 3 + 0，
③ -1 +（-7）______ 3 + (-7).
>
>
<
<
发现：不等式两边加同一个数，不等号的方向________.
不变
>
<
对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立.
探究
-2
-2
-7
-7
不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
一般地，不等式具有如下性质：
即，如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c.
（1）6 > 2，
① 6×5 ______ 2×5.
② 6÷5 ______ 2÷5.
（2）-2 < 3，
① -2×4 ______ 3×4.
② -2÷4 ______ 3÷4.
>
<
发现：当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向________.
不变
>
<
用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
探究
即，如果 a ＞ b，c＞0，那么 ac ＞ bc（或 > ）.
一般地，不等式具有如下性质：
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
（1）6 > 2，
③6×(-5) ______ 2×(-5).
④ 6÷(-5) ______ 2÷(-5).
（2）-2 < 3，
③ - 2×(-0.5) ______ 3×(-0.5).
④ -2÷(-0.5) ______ 3÷(-0.5).
发现：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向_______.
改变
<
<
>
>
用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
探究
一般地，不等式具有如下性质：
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果 a ＞ b，c＜ 0，那么 ac ＜ bc（或 ＜ ）.
不等式性质2和不等式性质3有什么区别？
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 即，如果 a ＞ b，c＞0，那么 ac ＞ bc（或 > ）.
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即，如果 a ＞ b，c＜ 0，那么 ac ＜ bc（或 ＜ ）.
对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数正负不同，结果也不同.
不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点：
类别 不同点 相同点
不等式
等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等
①两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍成立；
②两边乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立。
知识归纳
1．不等式性质的基本事实
(1)交换不等式两边，不等号方向改变；
(2)不等关系可以传递．
2．不等式的性质：
(1)不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向________．即：如果a>b，那么a±c _____ b±c.
不变
>
(2)不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个______数，不等号的方向________．即：如果a>b，c>0，那么ac _____ bc (或 _____ ).
(3)不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个______数，不等号的方向________．即：如果a>b，c<0，那么ac _____ bc (或 _____ ).
正
不变
>
负
改变
<
>
<
例题与练习
例 1 下列推理正确的是(　 　)
A．因为aB．因为aC．因为a>b，所以a＋c>b＋c
D．因为a>b，所以a＋c>b－d
C
例 2 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
（1）a + 3 与 a + 3 ； （2）-2a 与 -2b.
解：(1)因为 a＞b，
所以 a+3＞b+3.
（不等式的性质1）
(2)因为 a＞b，
所以 -2a＜-2b.
（不等式的性质3）
例 3 根据不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)－3x ≤ 4x－1；
解：不等式的两边减4x，得－7x ≤ －1.
不等式的两边除以－7，得x ≥ .
把这个不等式的解集在数轴上表示如图；
0
(2)5－3x > 2.
解：不等式的两边减5，得－3x>－3.
不等式的两边除以－3，得x<1.
把这个不等式的解集在数轴上表示如图．
0
1
例 4 指出下列各式成立的条件．
(1)由ax(2)由a mb；
(3)由a>－5，得a2 ≤ －5a;
(4)由3x>4y，得3x－m > 4y－m.
a>0
m<0
－5m为任意实数
1. 已知p＞q，用“＞”或“＜”填空，并说明依据：
（2）p-2____ q-2；
（3）p+2m ____ q+2m；
（4）-5p ____ -5q；
（1）p+ ____ q+；
（5） ____ ；
（6）4p+1 ____ 4q+1.
＞
不等式的性质1
＞
不等式的性质1
＞
不等式的性质1
＜
不等式的性质3
＞
不等式的性质2
＞
不等式的性质1、2
（1）m+5；
（2）；
解：∵m ＞ 3，
∴m+5 ＞ 3+5，
即m+5 ＞ 8.
解：∵m ＞ 3，
∴ ＞ ，
即 ＞ .
2. 已知 m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
（3）-2m；
（4）3m-4.
解：∵m＞3，
∴-2m＜3×（-2），
即-2m＜-6.
解：∵m＞3，
∴3m＞3×3，
即3m＞9.
∴3m-4＞9-4，
即3m-4＞5.
3．若a>b，且amA．m＝0 B．m<0 C．m>0 D．m为任意实数
4．用“<”或“>”填空：
(1) 若a－c < b－c，则a______b；
(2) 若a > b，则a______b；
(3) 若－a > －b，则a______b；
(4) 若－2a＋1 < －2b＋1，则a______b.
B
<
>
<
>
5．利用不等式的性质，把下列不等式化为x>a或x(1)x－9>3； (2)－2x<4；
解：x>12;
解：x>－2；
解：x<；
解：x>9.
(3)－x>－； (4)x－2>4.
课堂小结
不等式的基本性质
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质3
如果 a＞b，
那么a ± c > b ± c.
如果 a＞b，c ＞ 0，
那么ac ＞ bc（或 > ）.
如果 a＞b， c ＜ 0，
那么ac ＜ bc（或 ＜ ）.
随堂检测
解：x ＞ 4；
解： x > 2.1；
1. 直接写出下列不等式的解集：
（1）x + 2 > 6；
（2）2x ＜ -8；
（3）x － 2 ＞ 0.1；
（4）-3x ＜ 10.
解：x ＜ -4；
解： x > -
2. 已知 m ＞ n ，用“＜”或“＞”填空，并说明依据：
（1） m－5_____ n－5； （2）6m _____ 6n；
（3）- m _____ - n； （4） m + 3n _____ 4n.
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不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质1

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