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第1章 整式的乘除
1　幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法与负整数指数幂
北师版 七年级 数学（下）
情景导入
一种液体每升含有 1012 个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现 1 滴灭菌剂可以杀死 109 个有害细菌。要将 1 L 液体中的有害细菌全部杀死， 需要这种灭菌剂多少滴 你是怎样计算的
1012÷109
同底数幂的除法
同底数的幂相除，怎样计算呢
观察这个算式，它有何特点
是相同底数的幂相除。
探究新知
思考
1.计算下列各式，并说明理由(m＞n)。
（1）1012÷109；（2）10m÷10n；
（3）(-3)m ÷ (-3)n 。
（1）1012÷109
12 个 10
=
10×10×…×10
10×10×…×10
9 个 10
= 103
= 10×10×…×10
（12 – 9） 个10
由此，你发现了什么
1012÷109=1012-9
（2）10m÷10n
m 个 10
=
10×10×…×10
10×10×…×10
n 个 10
= 10m – n
= 10×10×…×10
(m – n) 个 10
由此，你发现了什么
10m÷10n=10m-n
（3）(– 3)m÷ (– 3) n
=
(– 3) × (– 3) ×…× (– 3)
(– 3) × (– 3) ×…× (– 3)
n 个 (– 3)
= (– 3) m – n
m 个 (– 3)
= (– 3) × (– 3) ×…× (– 3)
(m – n) 个 (– 3)
由此，你发现了什么
(-3)m÷(-3) n=(-3)m-n
2.如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么 你是怎样得到的
am÷an
m 个 a
=
a · a · … · a
a · a · … · a
n 个 a
= am – n
= a · a · … · a
(m – n) 个 a
即am÷an= am – n(m＞n，且m，n都是正整数)
am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）。
同底数幂相除，底数____，指数____ 。
不变
相减
同底数幂的除法:
同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验。
a可以是单项式或多项式，但不能为0。
小结
例题解析
计算：
（1） a7÷a4； （2） (– x)6÷(– x)3；
（3） (xy)4÷(xy)； （4） b2m+2÷b2 。
解：（1） a7÷a4 = a7 – 4 = a3；
（2） (– x)6÷(– x)3 = (– x)6 – 3 = (– x)3 = – x3；
（3） (xy)4÷(xy) = (xy)4–1 = (xy)3 = x3y3 ；
（4） b2m+2÷b2 = b2m+2–2 = b2m 。
我们已经得到了当m>n时，am÷an(a≠0) 的运算法则，其中m、n都是正整数。
那么当m≤n时，am÷an(a≠0) 又如何计算
思考
计算：（1）23÷23；（2）a3÷a3。
（1）23÷23=23-3=20，
（2）a3÷a3=a3-3=a0，
20=1
a0=1
根据除法意义计算：
根据同底数幂除法法则计算：
你能得出什么结论
思考
解：（1）23÷23=
（2）a3÷a3
我们规定:
任何一个不等于0的数的0次幂都等于1。
注意:
零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0。
数学语言:
a0=1(a≠0)
小结
思考
计算：（1）23÷25；（2）a3÷a5。
23÷25=23-5=2-2，
a3÷a5=a3-5=a-2。
根据除法意义计算：
根据同底数幂除法法则计算：
你能得出什么结论
解：（1）23÷25=
（2）a3÷a5=
2-2
-2
我们规定:
任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。
同底数幂的除法法则：
数学语言:
am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数）
小结
-P(a ≠ 0)
命题角度1　直接利用法则进行计算
分析与示例
计算同底数幂的除法时，只要按照“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个法则进行计算即可，但在计算中要注意符号的变化．
【例1】计算(－a)6÷a3的结果是( )
A．－a3 B．－a2 C．a3 D．a2
C
【例2】化简：
(1)a4÷a＝____； (2)(xy)4÷(xy)2＝____．
a3
x2y2
命题角度2　逆用法则进行计算
由am÷an＝am－n可得am－n＝am÷an(a≠0，m，n为正整数，且m>n)，因此逆用同底数幂的除法法则，可以进行一些计算或求值．
【例4】已知xa＝3，xb＝5，则x4a-3b＝____．
【例3】若am＝4，an＝7，则am－n的值为( )
A． B． C．－3 D．
A
【例6】若(x－π)0＝1，则x____．
命题角度3　零指数幂、负整数指数幂的综合应用
当幂的指数是负数时，既要关注法则的正确运用，又要关注底数不等于0这一要求．
≠π
【例5】计算|－8|－(－0的结果是( )
A．－7 B．7 C．7 D．9
B
应用举例
【例1】计算：
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2；
(5)(x－y)9÷(x－y)3.
【方法指导】直接运用同底数幂的除法计算．
解：(1)原式＝a7-4＝a3；
(2)原式＝(－x)6-3＝－x3；
(3)原式＝(xy)4-1＝(xy)3＝x3y3；
(4)原式＝b2m+2-2＝b2m；
(5)原式＝(x－y)9-3＝(x－y)6.
【例2】用小数或分数分别表示下列各数：
(1)10-3；(2)70×8-2；(3)1.6×10-4.
【方法指导】运用零指数幂和负整数指数幂的意义计算．
解：(1)原式＝＝0.001；
(2)原式＝1×＝；
(3)原式＝1.6×＝1.6×0.0001=0.00016.
【例3】声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
【方法指导】(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．
解：(1)因为1010÷105＝1010-5＝105，
所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；
解：(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，
汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，
所以喷气式飞机的声音是150分贝，
其声音的强度为1015，
所以1015÷1010＝1015-10＝105，
所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
课堂小结
同底数幂的除法
am ÷ an = am-n（a≠0，m，n 都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
性质
注意
底数相同时
直接应用法则
底数不相同时
先变成同底数再应用法则
逆用
随堂检测
1．填空：(1)a4÷a＝____；
(2)(－x7)÷(－x)2＝____；
(3)y16÷____＝y11；
(4)(x－y)6÷(x－y)2＝__________．
a3
－x5
y5
(x－y)4
解：(1)1；
(3)0.000 35；
(2)
(4)
2．用小数、分数或整数表示下列各数：
(1)； (2)(－4)-2；
(3)3.5×10-4; (4)6-3.

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