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第1章 整式的乘除
1　幂的乘除
第2课时 幂的乘方
北师版 七年级 数学（下）
知识回顾
完成下面的问题．
1．x3表示的意义是_________．
2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示的意义是_______________．
3．把a4·a4·a4＝a4+4+4写成比较简单的形式是a4·a4·a4＝________．
4．计算(a4)3的结果是_____．
x·x·x
a4·a4·a4
a4×3
a12
5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
(1)(22)2＝22×22＝2(____)；
(2)(22)3＝22×22×22＝2(____)；
(3)(a2)5＝a2·a2·a2·a2·a2＝a(____).
4
10
6
太阳的半径约为地球的 102 倍，它的体积约为地球的 (102)3 倍。
地球、木星、太阳可以近似地看成球体。木星、太阳的半径分别约为地球的 10 倍和 102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍
球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。
等于多少呢
木星的半径约为地球的 10 倍， 它的体积约为地球的 103 倍。
探究新知
幂的乘方
（1）(62)4=__×__×__×__=6( )+( )+( )+( )= 6( )×( ) = 6( )；
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，
观察计算的结果，你能发现什么规律
（2）(a2)3 =__×__×__=a( )+( )+( )= a( )×( ) = a( )；
（3）(am)2 =__×__=a( )+( )= 6( )×( ) = a ( ) 。
62
62
62
62
2
2
2
2
2
4
8
a2
a2
a2
2
2
2
2
3
6
am
am
m
m
m
2
2m
【猜想】 (am)n=_______。
amn
问题探究
(am)n = am · am· … · am · am
= am+m+…+m
= amn
n 个 am
n 个 m
如果m，n都是正整数，那么(am) n 等于什么
为什么
幂的乘方，底数_____，指数_____。
(am)n = amn（m，n 都是正整数）
幂的乘方法则:
不变
相乘
注意：底数(即上面公式中的a)既可以是单项式，也可以是多项式。
例
计算：
（1）(102)3； （2）(b5)5； （3）(an)3；
（4）– (x2)m；（5）(y2)3 · y；（6）2(a2)6 – (a3)4 。
解：（1） (102)3 = 102×3 = 106；
（2） (b5)5 = b5×5 = b25；
（3） (an)3 = an·3 = a3n；
（4） – (x2)m = – x2·m = – x2m ；
（5） (y2)3 · y = y2×3 · y = y6 · y = y7；
（6） 2(a2)6 – (a3)4 = 2a2×6 – a3×4 = a12 。
例题解析
分析与示例
【例1】计算(x3)2的结果为( )
A．x6 B．x8 C．x5 D．2x4
A
直接运用(am)n＝amn计算．
命题角度1　直接依据法则进行计算
【例2】计算：
(1)(a3)4＝____；
(2)[(m－n)2]5＝_______________．
a12
(m－n)10
命题角度2　幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算
幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算是常见的一种题型，同底数幂的乘法法则是底数不变，指数相加．幂的乘方法则是底数不变，指数相乘．
【例3】计算：
(1)(y4)2＋(y2)3·y2；
(2)5(a3)4－13(a6)2；
(3)－7x4·x5·x7＋5(x4)4－(x8)2.
解：(1)原式＝y8＋y6·y2＝y8＋y8＝2y8；
(2)原式＝5a12－13a12＝－8a12；
(3)原式＝－7x16＋5x16－x16＝－3x16.
命题角度3　逆用法则代入求值
逆用幂的乘方法则进行计算，使其能用含已知式的形式表示出来．常见的变形是amn＝(am)n或amn＝(an)m(m，n都是正整数)．
【例4】已知10a＝5，则100a的值是( )
A．25 B．50 C．250 D．500
A
【例5】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值．
(1)103m；(2)102n；(3)103m+2n.
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m+2n＝103m×102n＝27×4＝108.
命题角度4　逆用幂的乘方比较大小
解决此类题的思路：把需要比较大小的几个数化成指数相同的式子，然后比较底数的大小．
【例6】已知a＝240，b＝332，c＝424，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB
【例7】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25，375＝(33)25，
且24＝16，33＝27，16<27，
所以2100<375.
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．
解：因为3100＝(35)20，560＝(53)20，
且35＝243，53＝125，243>125，
所以3100>560.
不变 变化 符号表示
同底数幂的乘法
幂的乘方
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点
(am)n = amn
底数不变
am · an = am+n
指数相加
底数不变
指数相乘
(m，n都是正整数)
注意：两者不可混淆
思考
思考：下面这道题该怎么进行计算呢
[(a2)3]4
=(a6)4
=a24
[(am)n]p等于多少 (m，n，p都是正整数)
[(am)n]p=amnp。
例1 计算
(1)(102)3；　(2)(b5)5；　(3)(an)3；
(4)－(x2)m；　(5)(y2)3·y；　(6)2(a2)6－(a3)4.
解：(1)原式＝102×3＝106；
(3)原式＝an×3＝a3n；
(4)原式＝－x2×m＝－x2m；
应用举例
【方法指导】直接运用(am)n＝amn计算即可．
(2)原式＝b5×5＝b25；
(5)原式＝y6·y＝y7；
(6)原式＝2a12－a12＝a12.
例2 比较340与430的大小．
【方法指导】逆用幂的乘方比较大小：340＝(34)10，430＝(43)10，比较34与43的大小就可以得出340与430的大小．
解：因为340＝(34)10，430＝(43)10，
且34＝81，43＝64，81＞64，
所以(34)10＞(43)10，
即340＞430.
例3 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，则代数式x＋y的值为________．
【方法指导】根据幂的乘方的逆运算转化得到x和y的方程，求出x，y，再计算出代数式的值．
10
课堂小结
幂的乘方
(am)n = amn （m，n 都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
法则
注意
幂的乘方与同底数幂的乘方的区别：
幂的乘方法则的逆用:
amn=(am)n=(an)m
(am)n = amn
am · an = am+n
随堂检测
1．判断题，错误的予以改正．
(1)a4＋a4＝2a8；( )
×
改正：
a4＋a4＝2a4；
(2)(x3)3＝x6；( )
×
改正：
(x3)3＝x9；
(3)(－4)2·(－4)4＝(－4)6＝－46；( )
改正：
原式＝46；
×
(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0.( )
√
2．若(x2)m＝x10，则m＝____．
5
3．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
解：a3m+2n＝a3m·a2n
(am)3·(an)2
＝23×52
＝200.

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