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第1章 整式的乘除
3 乘法公式
第1课时 平方差公式的认识
北师版 七年级 数学（下）
复习导入
完成下列各题，看谁做得又快又准确：
(1)(a＋b)(a－b)＝____________；
(2)(x＋1)(x－1)＝_________；
(3)(1＋2a)(1－2a)＝_________；
(4)(2x＋y)(2x－y)＝___________；
(5)多项式与多项式相乘，先用____________________乘_________________________，再把所得的________．
a2－b2
x2－1
1－4a2
4x2－y2
一个多项式的每一项
另一个多项式的每一项
积相加
新课导入
老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何 ”老王一听觉得没有吃亏就答应了。
你觉得老王吃亏了吗
探究新知
平方差公式的认识
（1）(x+2) (x–2)
（2）(1+3a)(1–3a)
（3）(x+5y)(1–5y)
（4）(2y+z)(2y–z)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
= 1 – 3a + 3a – 9a2
= 1 – 9a2
= x2 – 5xy + 5xy – 25y2
= x2 – 25y2
= 4y2 – 2yz + 2yz – z2
= 4y2 – z2
用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：
两数的___
两数的___
中间项抵消了
两数_____的___
和
差
差
平方
你发现了什么
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗
(a + b)(a - b) = a2 - b2
（1）(3m + 1)(3m - 1);
= 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。
= x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。
（2）(x2 + y)(x2 - y)
你能用字母表示你发现的规律吗
讨论探究
【例1】利用平方差公式计算：
(1)(5＋6x)(5－6x)；　 (2)(x－2y)(x＋2y)；　
(3)(－m＋n)(－m－n).
【方法指导】直接用平方差公式计算．
解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2；
(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2；
(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
(2)(ab＋8)(ab－8).
【方法指导】进一步理解平方差公式，ab在(2)中可以表示一个整式．
(2)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64.
x]2y2= x2
【例2】利用平方差公式计算：
(1)xy][ x
【例3】计算(a－1)(a＋1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＋1的结果是( )
A．2a8 B．a16 C．a8 D．a16－1
【方法指导】先观察算式符合平方差公式特点，(a－1)(a＋1)＝a2－1，再用(a2－1)(a2＋1)＝a4－1，(a4－1)(a4＋1)＝a8－1，(a8－1)(a8＋1)＝a16－1，a16－1＋1＝a16，得到结果是a16.
B
应用举例
(2)－2a2b3·(－3a)；
(3)7xy2z·(2xyz)2；
(4)(4×105)·(5×104)；
(5)(x2y2)·(－4xy2).
【方法指导】运用幂的运算法则和单项式乘单项式的法则计算即可．
(2)原式＝6a3b3；
(3)原式＝28x3y4z3；
(4)原式＝20×109＝2×1010；
(5)原式＝－4x3y4.
【例1]计算:(1)2xy2·[
解：原式=
【例2】已知－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
【方法指导】根据－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：因为－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，
所以3m＋1＋5m－3＝4，2n＋5n－4＝1，
解得m＝ ，n＝.
所以m2＋n＝
【方法指导】先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
【例3】有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m2，
绿化的面积是x×y＝xy(m2)，
则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2).
平方差公式的几何验证
如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图① 中阴影部分的面积.
a
b
图①
a2 b2
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )，
这个长方形的长和宽分别是多少
你能表示出它的面积吗
a
b
图② 中长：a + b，
宽：a b，
面积：(a + b)(a b).
证一证：
经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗
(a＋b)( a－b)＝a －b
图②
合作探究
还有其他的几何方法解释吗？
a
b
a+b
a-b
a
a-b
b
a
a
b
b
a-b
算一算！
课堂小结
平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b
随堂检测
1．判断正误，如果错误，应怎样改正？
(1)(－a－b)(a－b)＝－a2＋b2；( )
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2；( )
√
(3)(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9；( )
×
(4)(3x－1)(－3x－1)＝9x2－1.( )
改正：(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2；
×
×
改正：(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9；
改正：(3x－1)(－3x－1)＝1－9x2.
2．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
解：(1)原式＝a4－b4；
(2)[xy3m](－3m0.5xy)
(2)原式=9m2－x2y2

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