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第1章 整式的乘除
3 乘法公式
第2课时 平方差公式的综合应用
北师版 七年级 数学（下）
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你还记得平方差公式吗
你能用文字表示这个公式吗
(a + b)(a - b) = a2 - b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
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如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
（1）请表示图中阴影部
分的面积。
a
b
a2 – b2
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(a + b) (a – b)
a-b
a
b
b
（3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗
a
b
a
b
阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b)
（4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法
a
b
把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。
阴影部分的面积：(a + b)(a – b)
a+b
a-b
例题解析
（1）计算下列各组算式：
7×9 =
8×8 =
11×13 =
12×12 =
79×81 =
80×80 =
63
64
143
144
6399
6400
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么
(a – 1)(a + 1) = a2 – 1。
（3）请用字母表示这一规律。
符合平方差公式。
例题解析
用平方差公式进行计算：
（1）103×97； （2）118×122 。
解：（1）103×97
=(100 + 3)(100 – 3)
= 1002 – 32
= 9 991；
（2）118×122
= (120 – 2)(120 + 2)
= 1202 – 22
= 14 396。
(103+97)÷2=100
(118+122)÷2=120
你有什么发现
分析与示例
命题角度1　利用平方差公式进行数字计算
利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．
【例1】用简便方法计算，则98×102变形正确的是( )
A．98×102＝1002＋22 B．98×102＝(100－2)2
C．98×102＝1002－22 D．98×102＝(100＋2)2
C
【例2】运用平方差公式简便计算：
(1)69×71;
解：(1)原式＝(70－1)×(70＋1)
＝702－12＝4 899；
(2)1 007×993.
解：(2)原式＝(1 000＋7)(1 000－7)
＝1 0002－72
＝999 951.
命题角度2　利用平方差公式整体求值
把相同的代数式看作一个整体，再利用平方差公式求值，注意有些代数值的非负性．
【例3】如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为( )
A．49 B．7 C．－7 D．7或－7
D
【例4】若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)－3＝0，则a2＋b2的值为____．
2
命题角度3　添项后运用平方差公式
此类题是通过适当添项变形成平方差公式的形式，从而进行简便计算．
【例5】先阅读理解，再解答问题．
如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1.
试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．
解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1
＝×(316－1)－1
＝ .
试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．
命题角度4　利用平方差公式计算图形的面积
图形面积的计算一般是通过分割图形，利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．
【例6】将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为( )
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D
【例7】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3 m，东西方向缩短3 m，则改造后长方形草坪的面积与原来正方形草坪的面积相比( )
A. 增加了6 m2 B．增加了9 m2
C．减少了9 m2 D．保持不变
C
应用举例
【例1】用平方差公式进行计算：
(1)103×97；
【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算；
解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)
＝1002－32
＝9 991；
(2)118×122.
(2)原式＝(120－2)(120＋2)
＝1202－22
＝14396.
(2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算．
【例2】用平方差公式进行计算：
(1)20×19；
【方法指导】(1)可改写成[20×[20，利用平方差公式计算；
解：(1)原式＝[20×[20
＝202－[2
＝399；
(2)13.2×12.8.
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝168.96.
【方法指导】 (2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算．
【方法指导】综合应用单项式(多项式)乘多项式计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便．
解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4；
(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).
(2)原式＝4x2－25－4x2＋6x
＝6x－25.
【例3】计算：
(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；
【例4】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是________________________．
图①
图②
【方法指导】因为图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
课堂小结
原理:等面积法
简便运算
方法:用不同方法表示
同一图形的面积
混合运算
平方差公式
验证公式
应用
随堂练习
1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是( )
A．(m－n)(－m－n) B．(－1＋mn)(1＋mn)
C．(－m＋n)(m－n) D．(3m－2)(3m＋2)
C
2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．2或－2 D．4
B
3．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，高为(2a－3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少．
解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b)
＝(4a2＋9b2)[(2a)2－(3b)2]
＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2)
＝(4a2)2－(9b2)2
＝16a4－81b4(m3).
答：这个游泳池的容积是(16a4－81b4)m3.

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