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第1章 整式的乘除
3 乘法公式
第3课时 完全平方公式的认识
北师版 七年级 数学（下）
导入新课
什么是多项式乘多项式法则
平方差公式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab
由下面的两个图形你能得到哪个公式
(a + b)(a – b)= a2 – b2
计算下列各式：
（1）(m + 3)2 ；
（2）(2+ 3x)2 。
（1）(m+3)2
=m2+6m+9
=(m+3)(m+3)
（2）(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+12x+9x2
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现
m2+2·3m+9
4+2·2·3x+9x2
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。
平方式，两项
首平方，尾平方，
积的2倍放中间
新课探究
你能再举一些类似的例子验证你的发现
（1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。
（1）(2x + y)2
=(2x + y)(2x + y)
= 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y
= 4x2 + 4xy + y2
（2）(3a + 2b)2
=(3a + 2b) (3a +2b)
= 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b
= 9a2 +12ab + 4b2
你能用字母表示你发现的规律吗
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
你能用下图解释这一公式吗
b
a
b
a
思考探究
b
a
b
a
= + +
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
如何计算(a – b)2 你是怎样做的
(a – b)2
= (a – b)(a – b)
= a2 – 2ab + b2
1
(a – b)2
= [a+(– b)]2
= a2 +2a(– b)+(– b)2
= a2 – 2ab + b2
2
用自己的语言叙述这一公式！
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
b
a
b
a
(a – b)2
a2
ab
ab
b2
= – +
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式。
探究思考
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
口诀:
首平方，尾平方，首尾二倍中间放。
完全平方公式
平方差公式
整式乘法公式
利用完全平方公式计算：
（1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2
解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32
（2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2
= 16x2 + 40xy + 25y2 ；
（3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2
= m2n2 – 2amn + a2。
(a -b)2
a2 - 2ab + b2
= 4x2–12x+9；
探究思考
如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
(a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1；
(a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1；
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1.
如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
按照这个规律可以继续将这个表写下去：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
杨辉三角
分析与示例
命题角度1　直接运用完全平方公式计算
完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，口诀记忆为：首平方，尾平方，2倍之积在中央．
【例1】计算(2x－y)2的结果是( )
A．4x2－4xy＋y2 B．4x2－2xy＋y2
C．4x2－y2 D．4x2＋y2
A
【例2】计算：(2a＋b)2.
解：(2a＋b)2
＝(2a)2＋2·2a·b＋b2
＝4a2＋4ab＋b2.
命题角度2　综合利用运算法则进行计算
整式乘除的法则比较多，准确地掌握各运算法则的结构特征才能灵活运用．
C
【例4】下列计算错误的是( )
A．x3÷x2＝x B．a3·a2＝a5
C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C
【例3】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(x＋y)2＝x2＋y2
C．(a5÷a2)2＝a6 D．(－3xy)2＝9xy2
命题角度3　综合运用乘法公式进行计算
(1)对于三项或三项以上的多项式乘法计算，如果具备乘法公式的特点，仍然可以用平方差公式或完全平方公式；(2)在此变形过程中，要运用加法交换律和结合律，正确添加括号，确定好a和b两项，套用公式计算．
【例5】为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是( )
A．[x－(3y＋1)]2
B．[x＋(3y＋1)]2
C．[x＋(3y－1)][x－(3y－1)]
D．[(x－3y)＋1][(x－3y)－1]
C
【例6】计算：(x－y－z)2＝
_______________________________．
x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz
命题角度4　利用乘法公式化简求值
整式的化简求值问题应注意：(1)运用公式时，括号前是负号的，去括号时要注意变号；(2)结果中有同类项的一定要合并同类项．
【例7】先化简，再求值：
(1)(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，
其中x＝，y＝1；
解：原式＝y2－3xy.
当x＝，y＝1时，原式＝12－3××1＝1－1＝0；
(2)(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝.
解：原式＝4ab.
当a＝－2，b＝时，
原式＝4×(－2)×＝－4.
应用举例
【例1】利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2；
(2)(4x＋5y)2；
【方法指导】引导学生利用公式特点写出解答过程，规范解答过程．
解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·3＋32
＝4x2－12x＋9；
(2)原式＝(4x)2＋2·4x·5y＋(5y)2
＝16x2＋40xy＋25y2；
(3)原式＝(mn)2－2·mn·a＋a2
＝m2n2－2amn＋a2.
(3)(mn－a)2.
【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【方法指导】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
所以m＋1＝±60，
所以m＝59或－61.
【例3】阅读下列材料并解答后面的问题：
对完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19.
问题解决：
(1)填空：(a＋b)2＝(a－b)2＋________；
(2)已知a＋＝6，则a2＋＝________；
【方法指导】(1)应用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2来解决；
(2)利用a＋＝6，[a＋]2＝a2＋2·a·＋＝a2＋＋2求出a2＋；
34　
4ab　
(3)已知a－b＝2，ab＝3，分别求a2＋b2，a4＋b4的值．
【方法指导】 (3)灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值．
解：(3)a2＋b2
＝(a－b)2＋2ab
＝22＋2×3
＝10，
a4＋b4＝
(a2＋b2)2－2a2b2
＝102－2(ab)2
＝102－2×32＝82.
课堂小结
（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2
完全平方公式：
语言叙述：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
1．下列各式中哪些不可以运用完全平方公式计算( )
A．(a＋b)(a＋b) B．(x＋y)(－y＋x)
C．(ab－3x)(－3x＋ab)
D．(－m－n)(m＋n)
随堂练习
B
2．指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a－1)2＝2a2－2a＋1；( )
(2)(2a＋1)2＝4a2＋1.( )
×
改正：(2a－1)2＝4a2－4a＋1；
改正：(2a＋1)2＝4a2＋4a＋1.
×
3．若a＋b＝7，求a2＋2ab＋b2的值．
解：a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2
＝72
＝49.

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