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(共17张PPT)
第1章 整式的乘除
3 乘法公式
第4课时　完全平方公式的综合应用
北师版 七年级 数学（下）
复习导入
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
很久很久以前，有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里，两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主．国王要赏赐他们，这两个农夫原来各有一块边长为a m的正方形土地，第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b m的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊？”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b m就好了”．
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？”
复习导入
你认为他们的要求一样吗？
新课探究
(1) 1022=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
怎样计算1022，1972更简单呢
(2)1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
你是怎样做的
计算：
思考探究
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
解：
（1）(x+3)2-x2
=x2+6x+9-x2
=6x+9；
（2）(a+b+3) (a+b-3)
= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
= a2+2ab+b2-9
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
（4） [(a+b)(a-b)]2
= (a2- b2)2
= a4-2a2b2+b4。
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)
= x2+10x+25-(x2-5x+6)
= x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
解：
解：
利用整式乘法公式计算：
(1) 962
(2) (a-b-3) (a-b+3)
解：962
=(100-4)2
=1002-2×100×4+42
=10000-800+16
=9216
课堂练习
解：(a-b-3) (a-b+3)
=(a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。
…
1×1
2×2
3×3
新课探究
解:m×m 点阵中的点数:m2；
n×n 点阵中的点数:n2；
m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2；
(m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。
(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。
所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。
…
1×1
2×2
3×3
【例1】计算：
(1)(x＋3)2－x2；
(2)(a＋b＋3)(a＋b－3)；
应用举例
【方法指导】综合利用完全平方公式和平方差公式进行计算，注意公式的合理使用、运算顺序和符号的变化．
解：原式＝x2＋6x＋9－x2
＝6x＋9；
解：原式＝(a＋b)2－32
＝a2＋2ab＋b2－9；
(3)原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)
＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6
＝15x＋19.
(3)(x＋5)2－(x－2)(x－3).
【例2】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
【方法指导】空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
图甲
图乙
C
【例3】若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
(1)求＋的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
【方法指导】(1)先变形，再整体代入，即可求出答案；
解：(1)因为(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，
所以x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，
所以4xy＝9－1＝8，
所以xy＝2，
所以＋＝＝＝＝；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
【方法指导】(2)先去括号，再整体代入，即可求出答案．
(2)因为(x＋y)2＝9，xy＝2，
所以(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1
＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1
＝22＋9－2×2＋1＝10.
课堂小结
简便运算
混合运算
平方差公式的应用
实际应用:运用完全平方公式进行推理
随堂练习
1．计算(a＋3b)2－(3a＋b)2的结果是( )
A．8(a－b)2 B．8(a＋b)2
C．8b2－8a2 D．8a2－8b2
C
2．正方形原来的边长为a cm，将其边长增加6 cm，则正方形的面积增加了( )
A．36 cm2 B．12a cm2
C．(36＋12a)cm2 D．以上都不对
C
3．当a＝b＋3时，代数式2a2－4ab＋2b2的值为____．
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4．计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y).
解：(1)原式＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
解：(2)原式＝1－4x2＋4xy－y2

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