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第1章 整式的乘除
4 整式的除法
北师版 七年级 数学（下）
导入新课
快速口答：
x15÷x10=______；
(-c)13÷(-c) 11=______；
5a3·2a2b =______；
abc·b2c =______；
x5
c2
ab3c2
10a5b
ab3c2÷b2c =______；
10a5b÷5a3 =______。
除法是乘法的逆运算。
abc
2a2b
思考：如何计算(3×108)÷300?
方法1：类比分数约分的方法。
(3×108)÷300=????×????????????????????????
?
= ????????????????????????????????????????????????
?
=1000000
=1×106
方法2：因为除法是乘法的逆运算，从乘法角度思考。
因为 300×( ) =????×????????????，
?
即3×102×( ) =????×????????????，
?
所以(3×108)÷300= 1×106 。
?
1×106
1000000
= ????·????·????·????·????????·????·????·????
?
新课探究
计算下列各式，说说你的理由。
（1）x5y ÷ x2 ；
（2）8m2n2 ÷ 2m2n ；
（3）a4b2c ÷ 3a2b 。
你能类比上面的方法解答吗?
方法1：
（1）原式=
（2）原式=
=4n
（3）原式=
????????????????????
?
= ????·????·????·????·????????·????
?
????????????????????????????????????
?
????????????????????????????????????
?
= ????·????·????·????·????·????·????????·????·????·????
?
= ????·????·????·????????=????????????????????????
?
=x·x·x·x·y=x3y
计算下列各式，说说你的理由。
（1）x5y ÷ x2 ；
（2）8m2n2 ÷ 2m2n ；
（3）a4b2c ÷ 3a2b 。
方法2：
（1）x2·( )=x5y
x3y
x5y÷x2=x3y
（2）2m2n·( )=8m2n2
4n
8m2n2÷2m2n=4n
（3）3a2b·( )=a4b2c
新课探究
????????a2bc
?
a4b2c÷3a2b= ????????a2bc
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}被除式
除式
商式
商式的转化
x5y
x2
x3y
x5-2·y
8m2n2
2m2n
4n
(8÷2)·m2-2·n2-1
a4b2c
3a2b
????????a2bc
(1÷3)·a4-2·b2-1·c
分析上述计算过程，找出规律，并填写下表：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如何进行单项式除以单项式的运算?
思考探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
单项式相乘
单项式相除
第一步
系数相乘
系数相除
第二步
同底数幂相乘
同底数幂相除
第三步
其余字母不变连同其指数作为积的因式
只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式
对比学习
思考探究
法则实际分为三部分：
系数相除；
同底数幂相除；
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式.
结果仍为单项式
小结
例题精析
例1 计算：
（1）?????????x2y3÷3x2y ；
?
（2）10a4b3c2÷5a3bc ；
（3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ；
（4）(2a+b)4÷(2a+b)2 .
解：
（1）????????? x2y3 ÷ 3x2y =
?
(?????????÷3)x2-2y3-1
?
=-?????????y2
?
（2）10a4b3c2 ÷ 5a3bc =
(10÷5)a4-3b3-1c2-1
=2ab2c
（3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ；
（3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3
= 8x6y3·(-7xy2) ÷ 14x4y3
= -56x7y5÷ 14x4y3
= -4x3y2
注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减.
（4）(2a+b)4÷(2a+b)2 .
看成一个整体
（4）(2a+b)4÷(2a+b)2 =
(2a+b)4-2
= (2a+b)2
= 4a2 + 4ab + b2
新课探究
计算下列各式，说说你的理由。
（1）(ad + bd)÷d；
（2）(a2b + 3ab)÷a；
（3）(xy3－2xy)÷xy。
方法1：类比有理数的除法
(ad + bd)×????????
?
（1）(ad + bd)÷d=
=a+b
（2）(a2b + 3ab)÷a=
(a2b + 3ab)×????????
?
=ab+3b
（3）(xy3－2xy)÷xy=
(xy3－2xy)×????????????
?
=y2－2
计算下列各式，说说你的理由。
（1）(ad + bd)÷d；
（2）(a2b + 3ab)÷a；
（3）(xy3－2xy)÷xy。
方法2：
（1）因为( )·d= ad + bd，
a+b
（2）因为( )·a=a2b + 3ab，
ab+3b
（3）因为( )·xy=xy3－2xy，
y2－2
所以(ad + bd)÷d=a+b；
所以(a2b + 3ab)÷a=ab+3b；
所以(xy3－2xy)÷xy=y2－2。
你能总结出多项式除以单项式的法则吗?
如何进行多项式除以单项式的运算?与同伴进行交流。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
注意：
（1）多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化；
（2）（合并同类项之前）商的项数与多项式的项数相同，不要漏项。
例题精析
例2 计算：
（1）(9x2y－6xy2)÷3xy；
（2）(3x2y－xy2 + ???????? xy)÷(??????????xy) .
?
解：（1）(9x2y－6xy2)÷3xy
= 9x2y ÷3xy －6xy2÷3xy
= 3x－2y
例2 计算：
（1）(9x2y－6xy2)÷3xy；
（2）(3x2y－xy2 + ???????? xy)÷(??????????xy) .
?
解：（2） (3x2y－xy2 + ???????? xy)÷(??????????xy)
?
= 3x2y ÷(??????????xy) －xy2÷(??????????xy) + ?????????xy ÷(??????????xy)
?
= ?6x+2y?1
?
应用举例
【例1】计算：
(1)－????????x2y3÷3x2y; ???
(2)10a4b3c2÷5a3bc；
?
解：(1)原式＝[－????????÷3]x2-2y3-1
?
解：(2)原式＝(10÷5)a4-3b3-1c2-1
【方法指导】(1)(2)直接运用单项式除法的运算法则；(3)要注意运算顺序：先乘方，再乘除；(4)鼓励学生悟出：将(2a＋b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
＝－????????y2；
?
＝2ab2c；
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷14x4y3; ???
(4)(2a＋b)4÷(2a＋b)2.
解：(3)原式＝8x6y3·(－7xy2)÷14x4y3
＝－56x7y5÷14x4y3＝－4x3y2；
＝－4x3y2；
解：(4)原式＝(2a＋b)4-2b2.
＝(2a＋b)2
＝4a2＋4ab＋b2.
【例2】光的速度约为3×108?m/s，一颗人造地球卫星的速度是8×103?m/s，则光的速度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？
【方法指导】要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转化为单项式相除问题．
解：(3×108)÷(8×103)
＝(3÷8)·(108÷103)
＝3.75×104.
答：光的速度是这颗人造地球卫星速度的3.75×104倍．
【例3】计算：
(1)(6ab＋8b)÷2b; ???(2)(27a3－15a2＋6a)÷3a；
解：(1)原式＝6ab÷2b＋8b÷2b
(2)原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a
＝3a＋4；
＝9a2－5a＋2；
(3)(9x2y－6xy2)÷3xy; ???
(4)[3x2y－xy2＋????????xy]÷[－????????xy].
?
(3)原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy
＝3x－2y；
(4)原式＝－3x2y÷????????xy＋xy2÷????????xy－????????xy÷????????xy
?
＝－6x＋2y－1.
【例4】小明在爬山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为????????v，所用时间为t2.下山时，小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
?
【方法指导】行程问题中时间＝路程速度，根据公式，上山路程＝下山路程＝vt1＋????????vt2，然后求下山所用的时间．
?
解：小明下山所用的时间为[vt1＋????????vt2]÷4v＝vt1÷4v＋????????vt2÷4v＝????????t1＋????????t2＝????????????＋????????????.
?
课堂小结
单项式除以单项式
多项式除以单项式
整式的除法
1．计算－6a6b3÷2a3b2的结果为( )
A．3a3b????B．－3a2b2????C．－3a3b????D．3a2b2
随堂练习
C
(2)(6a3b－12a2b2－18ab3)÷(－6ab)＝－a2＋2ab＋3b2；( )
2．判断正误，如果错误，应怎样改正？
(1)(2x2y－6xy)÷(－4xy)＝0.5x；( )
×
改正：(2x2y－6xy)÷(－4xy)＝－????????x＋????????；
?
√
(3)(2x2y－4xy2＋6y3)÷[－????????y]＝－x2＋2xy－3y2.( )
?
×
改正：(2x2y－4xy2＋6y3)÷[－????????y]＝－4x2＋8xy－12y2.
?
3．若(xmyn)4÷(xy2)2＝x6y4，则m＝____，n＝____．
2
2
4．先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 024，y＝2 025.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
＝x－y.
当x＝2 024，y＝2 025时，原式＝2 024－2 025＝－1.
解：原式＝[xy2－????????xy3]·????????x2y2
?
5．先化简，再求值：[xy2＋2xy5÷(－4y2)]·[－????????xy]2，其中(x－2)2＋|y＋1|＝0.
?
＝????????x3y4－????????x3y5.
?
因为(x－2)2＋|y＋1|＝0，且(x－2)2≥0，|y＋1|≥0，
所以(x－2)2＝0，|y＋1|＝0，
所以x－2＝0，y＋1＝0，
所以x＝2，y＝－1.
当x＝2，y＝－1时，
原式＝????????×23×(－1)4－????????×23×(－1)5＝2＋1＝3.

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