资源简介

(共43张PPT)
第2章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第2课时 探索直线平行的条件(二)
北师版 七年级 数学（下）
情景导入
李老师有一块小画板(如图①)， 他想知道它的上、 下边缘是否平行， 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB 。
李老师身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、 下边缘是否平行， 你知道他是怎样做的吗？
①
②
新课探究
内错角和同旁内角的识别
C
D
A
B
l
1
3
2
问题1：观察右图中的∠1和∠2， ∠1和∠3，它们是同位角吗？
问题2：观察右图中的∠1和∠2，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的_____________。
2.都在截线 l 的__________。
之间(之内)
两侧(交错)
不是
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角。
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题3：尝试找出下图中内错角，并观察内错角的图形有什么特征。
∠4和∠6，∠3和∠5
α
β
α
β
4
6
3
5
总结
图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角。
C
D
A
B
l
1
3
2
问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的___________。
2.都在截线 l 的______________。
之间(之内)
同一旁(同侧)
具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。
新课探究
∠4和∠5，∠3和∠6
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。
α
β
α
β
4
5
3
6
总结
图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。
针对训练
1.如图，下列各组角中，是内错角的是（ ）
A.∠1和∠2 B.∠2和∠3
C.∠1和∠3 D.∠2和∠5
B
2.如图，∠1和∠2是由直线_____和_____被直线______所截形成的______角。
AB
CD
AC
内错
C
D
A
B
l
1
3
2
问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的___________。
2.都在截线 l 的______________。
之间(之内)
同一旁(同侧)
具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。
∠4和∠5，∠3和∠6
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。
α
β
α
β
4
5
3
6
总结
图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。
如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A.∠1和∠2
B.∠1和∠3
C.∠1和∠4
D.∠2和∠4
B
对应训练
回顾同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格。
角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征
同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________”
内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________”
同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________”
同侧
同侧
F
Z
U
两侧
之间
同侧
之间
①必有三条直线
②这三类角都没有公共顶点
③都表示角之间的位置关系
新课探究
平行线的判定
问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
a
b
l
3
2
1
解：当内错角相等时，两直线平行，
即当∠1=∠2时，a∥b。
因为∠1=∠3（对顶角相等），
当∠1=∠2时，
∠2 = ∠3 (等量代换)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
总结
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
几何语言：
因为∠1=∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
对应训练
1.如图是一条街道的两个拐角，若∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的位置关系是_________。
AB//CD
2.将两个相同的三角板如图摆放，画直线a，b，则a//b，理由是：_________________________。
内错角相等，两直线平行
解：当同旁内角互补时，两直线平行，
即当∠1+∠2=180°时，a∥b。
因为∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠2 = ∠3 (同角的补角相等)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
问题2：同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。
a
b
l
3
2
1
总结
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
几何语言：
因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
1.如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝110°，要使管道AB，CD保持平行，则∠BCD的度数为（ ）
A.110°
B.120°
C.70°
D.80°
C
对应训练
2.如图，一块折断的零件左边AC 断口整齐，右边BD形状不规则，工人小李测得左边∠A＝45°，∠C＝135°，他由此断定这个零件另外的一组对边AB∥CD，他的依据是_________________________。
同旁内角互补，两直线平行
思考探究
(1)如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
B
C
A
E
D
B
C
A
E
D
(2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？
BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC 是内错角，而且相等。
依据内错角相等，判断两直线平行。
B
C
A
E
D
(3)在图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流
AB∥EC。
理由:
因为∠BAC=∠ECA=90°，
所以 AB∥EC。(内错角相等，两直线平行)
思考探究
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行交流。
b
a
截线
利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据平行线的判定说明两条直线平行。
新课探究
用尺规过一点作已知直线的平行线
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且MN与AB 平行。
问题1：过点P的直线有多少条？
A
B
C
D
O
P
问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？
无数条
E
需要满足∠DPE=∠POB，可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。
1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。
2.以点 P 为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
A
B
P
O
C
D
M
N
因为∠DPN=∠DOB 且为同位角，利用同位角相等，得出两直线平行
问题3：你能在图中画出直道 MN 吗？
问题4：你能说说这样作的道理吗？
应用举例
【例1】如图，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是__________．
【方法指导】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有一边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的一边，它们所在的直线即为被截的线，同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
∠4和∠7
∠1和∠O
【例2】如图，以下条件能判定EG∥CH的是 ( )
A. ∠FEB＝∠ECD
B．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEC＝∠HCF
D．∠HCE＝∠AEG
【方法指导】利用内错角相等，判断两直线平行，∠GEC和∠HCF是内错角且相等．
C
【例3】如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠B＝50°.试说明：AB∥CD.
【方法指导】观察∠DCB与∠B的位置关系是同旁内角，数量关系是∠DCB＋∠B＝180°，利用同旁内角互补，证明直线AB与CD平行．
解：因为∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
所以∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋60°＝130°.
因为∠B＝50°，所以∠BCD＋∠B＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
问题2：小明按如图所示的方法画出已知直线的平行线， 请说明其中的道理．
同位角相等，两直线平行
问题3：如图，你能过直线 AB 外一点 C 画直线 AB 的平行线吗？ 能画出几条？
A
B
C
过点C平行于AB的直线只有一条。
总结
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
问题4：在图中，分别过点 C 和 D 画直线 AB 的 平行线EF和 GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？
A
B
C
D
E
F
G
H
EF∥GH
几何语言：
如果 b∥a，c∥a，
那么 b∥c。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
平行于同一直线的两条直线平行。
c
b
a
对应训练
1.下列说法：① 在同一平面内，与一条直线平行的直线只有一条；② 过一点与已知直线平行的直线只有一条；③ 因为a∥b，b∥d，所以c∥d；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
A
应用举例
【例1】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
A
B
C
D
【方法指导】选项A，B，D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．
C
【例2】如图，∠1＝∠2＝65°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
【方法指导】利用同位角判断两直线平行．
解：∠3＝65°.
因为∠3与∠2是对顶角，所以∠3＝∠2＝65°.
AB∥CD.因为∠1＝∠2＝65°，∠3＝65°，所以∠1＝∠3.
又因为∠1与∠3是同位角，由同位角相等，两直线平行可得AB与CD平行．
【例3】将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？
【方法指导】平行于同一条直线的两条直线平行．
解：因为CD∥EF，EF∥AB，
所以CD∥AB.
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
性质
概念
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
性质
概念
性质
性质
概念
同位角
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
形如 ∠1与∠2 的位置关系
同位角相等，两直线平行。
概念
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
随堂练习
1．填空：
(1)因为∠1＝∠C，所以____∥____，
理由：_____________________________；
(2)因为∠2＝∠C，所以____∥____，
理由：_______________________________．
DE
BC
同位角相等，两直线平行
DF
AC
同位角相等，两直线平行
2．如图，竖在地面上的两根旗杆，你能说明它们平行的道理吗？
解：同位角相等，两直线平行．
3．如图，找出图中互相平行的直线，并说明理由．
解：AB∥DE，BC∥EF.
理由：同位角相等，两直线平行．
4.找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段
A
B
C
D
E
F
G
H
解：
AB∥CD
EF∥GH
5.如图，∠1=∠2 = 55°，直线 AB 与 CD 平行吗？
A
B
C
D
1
2
解：
3
因为 ∠1=∠3（对顶角相等），
又因为 ∠1=∠2（已知条件），
所以 ∠3=∠2（等量代换），
所以 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
6.对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果 a 与 b 平行，c 与 a 相交，那么 c 与 b 的位置关系是相交还是平行？请画图说明。
答：c与b的位置关系是相交。
a
b
c
解

展开更多......

收起↑