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第2章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第2课时　平行线的性质与判定的综合
北师版 七年级 数学（下）
复习导入
类别 文字语言 符号语言 图形
判定 ①
② ③ 同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
因为∠1=∠5，
所以a∥b
因为∠3=∠6，
所以a∥b
因为∠3+∠5=180°，
所以a∥b
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
类别 文字语言 符号语言 图形
性质 ①
② ③ 两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
因为a∥b，
所以∠1=∠5
因为a∥b，
所以∠3=∠6
因为a∥b，
所以∠3+∠5=180°
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
新课探究
平行线的性质
例1 根据下图，回答下列问题：
A
B
C
D
F
M
E
3
2
1
解：∠1与∠2是内错角，
若∠1=∠2，则根据“内错角相等，两直线平行”，可得BF//CE。
问题2：若∠2=∠M，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
A
B
C
D
F
M
E
3
2
1
解：∠2 与∠M是同位角，
若∠2 = ∠M，
则根据“同位角相等，两直线平行”，可得AM//BF。
问题3：若∠2 +∠3 = 180°，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
A
B
C
D
F
M
E
3
2
1
解：∠2 与∠3是同旁内角，
若∠2 +∠3=180°，
则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 AC//MD。
新课探究
与平行线的性质与判定有关的两步推理
例2 如图，AB//CD，如果∠1=∠2，那么 EF 与 AB 平行吗？说说你的理由。
又因为 AB∥CD，
所以 EF∥AB。
(平行于同一条直线的两条直线平行)
D
E
A
B
F
C
1
2
解：因为∠1 = ∠2，
所以 EF∥CD 。
(内错角相等，两直线平行)
例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度数。
2
1
3
a
b
c
d
解：因为 a∥b，
所以 ∠2 = ∠1 = 107° 。
(两直线平行，内错角相等)
因为 c∥d，
所以 ∠1 ＋ ∠3 = 180°。
(两直线平行，同旁内角互补)
所以 ∠3 = 180°－∠1 = 180°－107° = 73° 。
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
判定
性质
角的数量关系
直线的位置关系
角的数量关系
判定：证平行，用判定
性质：知平行，用性质
小结
针对训练
1.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3=( )。
A.50° B.55° C.60° D.62°
B
2.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B。
(1) AB 与EF平行吗？为什么？
解：
平行。
因为∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠DFE=180°(补角的定义)，
所以∠2=∠DFE(同角的补角相等)。
所以 AB∥EF(内错角相等，两直线平行)。
解：由(1)可知AB∥EF，
所以 ∠3=∠ADE (两直线平行，内错角相等)。
又因为 ∠3=∠B (已知)，
所以 ∠ADE＝∠B (等量代换)。
所以 DE∥BC (同位角相等，两直线平行)，
所以 ∠EDG =∠BGD=55°(两直线平行，内错角相等)。因为 DE平分∠ADG (已知)，
所以 ∠ADG=2∠EDG=110°(角平分线的定义)。
又因为 AB∥EF，
所以 ∠1=∠ADG=110°(两直线平行，同位角相等)。
(2)若∠BGD=55°，DE平分∠ADG，求∠1的度数。
应用举例
【例1】如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说明你的理由．
【方法指导】平行线性质与判定的综合应用．
解：EF∥AB.理由如下：因为∠1＝∠2，
所以EF∥CD(内错角相等，两直线平行).
因为AB∥CD，
所以EF∥AB(平行于同一条直线的两条直线平行).
【例2】如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度数．
【方法指导】利用平行线性质求角的度数．
解：因为a∥b，
所以∠2＝∠1＝107°
(两直线平行，内错角相等).
因为c∥d，
所以∠3＝180°－∠1＝180°－107°＝73°
(两直线平行，同旁内角互补).
【例3】如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
【方法指导】平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.
理由如下：过点E作EG∥AB.
因为AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，
所以∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.
因为∠AED＝∠AEG＋∠DEG，
所以∠AED＝∠BAE＋∠CDE；
【例3】如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.
因为∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，
所以∠BAE＋∠CDE＝∠BAF＋ ∠CDF＝ (∠BAF＋∠CDF)＝ ∠AFD，
所以∠AED＝ ∠AFD.
(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
课堂小结
平行线的判定
平行线的性质
平行线的判定与平行线的性质的关系
直线的位置关系
两直线平行
直线的位置关系
角的数量关系
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
角的数量关系
判定
性质
随堂练习
1．如图，∠MON的一边OM为平面镜，∠MON＝36°，点A在ON上，从点A射出一束光线经OM上一点B反射，反射光线BC恰好与ON平行，则∠BAN的度数是____．
72°
2．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度数．
解：因为EF∥BC，
所以∠BAF＝180°－∠B＝180°－80°＝100°.
又因为AC平分∠BAF，
所以∠FAC＝∠BAF＝ ×100°＝50°.
因为EF∥BC，所以∠C＝∠FAC＝50°.
3. 如图，已知∠1 = 105°，∠2 = 75°，请说明a//b 。
a
b
1
2
3
4
解：由图可知
∠3 =∠1，∠4 =∠2 (对顶角相等) ，
所以 ∠3 +∠4 = ∠1 +∠2 = 180°，
所以 直线 a//b（同旁内角互补，两直线平行）。
4. 如图，AE//CD，∠1=37°，∠D=54°，求∠2 和∠BAE 的度数。
B
C
A
E
D
1
2
解：因为 AE//CD，
所以 ∠2 = ∠1 = 37°(两直线平行，内错角相等)，
∠BAE =∠D = 54°(两直线平行，同位角相等)。

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