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第2章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第1课时　平行线的性质
北师版 七年级 数学（下）
复习导入
回顾：三种平行线的判定方法分别是什么
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
判定
两条直线平行
在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？
新课探究
平行线的性质
如图，直线 a 与直线 b 平行，截线 c 与这两条平行线相交。
问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等。
45°
135°
135°
45°
45°
135°
135°
45°
问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
能
(1) 改变直线 c 与直线 a 所成角的大小再试一试，你能得到相同的结论吗？
(2)当两直线不平行时，同位角是否相等呢？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
不相等
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
c
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
几何语言：
因为 a∥b（已知），
所以 ∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）。
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
小结
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为______。
2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°，则∠3=______。
120°
58°
针对训练
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等。
45°
135°
135°
45°
45°
135°
135°
45°
问题2：图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
你能结合图形，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
两条直线平行
同位角相等
内错角相等
转化
解：因为a∥b (已知)，
所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。
又因为∠1=∠4 (对顶角相等)，
所以∠4=∠5 (等量代换)。
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为( )。
A.25° B.30° C.35° D.55°
2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是______。
C
35°
针对训练
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补。
45°
135°
135°
45°
45°
135°
135°
45°
问题3：图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
结合图形，尝试写出推理的过程。
解：因为a∥b (已知)，
所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。
又因为∠1+∠3=180° (平角的定义)，
所以∠5+∠3=180°(等量代换)。
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：
因为 a∥b (已知)，
所以 ∠3+∠5=180°(两直线平行，同旁内角互补)。
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
小结
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A =100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度
解：因为AB∥DC，
所以∠A+∠D=180°，
∠B+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补)。
又因为∠A=100°，∠B=115°，
所以∠D=180°－∠A=180°－100°=80°，
∠C=180°－∠B=180°－115°=65°。
答：梯形的另外两个角分别是 80°和65°。
针对训练
如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。
1
A
B
C
D
E
F
2
3
4
(2) 反射光线 BC 与 EF 也平行吗？
(1)∠1 与∠3 的大小有什么
关系？∠2 与∠4 呢？
思考探究
下面是小颖的思路，你能说明小颖每一步的理由吗？
(1)由于AB∥DE，可以得到∠1=∠3；
由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4。
(2) 由∠2=∠4，可以得到BC∥EF。
(1)由于 AB∥DE，可以得到 ∠1=∠3；
(两直线平行，同位角相等)
由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4
(等量代换)
(同位角相等，两直线平行)
(2) 由∠2=∠4，可以得到 BC∥EF
1
A
B
C
D
E
F
2
3
4
应用举例
【例1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝100°，试求∠3的度数．
【方法指导】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等．
解：因为AB∥CD，
所以∠2＝∠1＝100°
(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠2＋∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°.
【例2】如图，AD∥BC，∠B＝∠D，则∠A与∠C相等吗？请说明理由．
【方法指导】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补．
解：∠A＝∠C.理由如下：
因为AD∥BC，
所以∠A＋∠B＝180°，
∠D＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又因为∠B＝∠D(已知)，
所以∠A＝∠C.
【例3】如图，一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)∠1与∠3有什么数量关系？∠2与∠4呢？
(2)反射光线BC与EF平行吗？
【方法指导】(1)平行线的性质1：两直线平行，同位角相等；
解：(1)因为AB∥DE，
所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠2＝∠4(等量代换)；
【例3】如图，一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(2)反射光线BC与EF平行吗？
(2)根据同位角相等，两直线平行判断BC与EF之间的位置关系．
(2)因为∠2＝∠4，
所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
性质
概念
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
性质
概念
性质
性质
概念
同位角
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
形如 ∠1与∠2 的位置关系
同位角相等，两直线平行。
概念
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
内错角
同旁内角
形如 ∠2与∠3 的位置关系
形如 ∠2与∠4 的位置关系
同旁内角互补，两直线平行。
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
随堂练习
1．如图．
因为AB∥CD(已知)，
所以∠B＝∠1(____________________________).
因为AD∥CB(已知)，
所以∠D＝∠1(___________________________).
因为AD∥BC(已知)，
所以∠BCD＋____＝180°(__________________________).
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
∠D
两直线平行，同旁内角互补
2．如图，AE∥CD，若∠1＝37°，∠D＝54°，求∠2和∠BAE的度数．
解：因为AE∥CD，
所以∠2＝∠1＝37°，∠BAE＝∠D＝54°.
3．如图，AB∥CD，HP∥GQ，分别找出与∠1相等或互补的角．
解：与∠1相等的角：∠FED，∠GFB，∠HMB，∠CNP，∠CEQ，∠MFE，∠AMP.
与∠1互补的角：∠MNC，∠ENP，∠FEN，∠DEQ，∠GFM，∠BFE，∠HMA，∠FMN.
4．如图，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，求∠1，∠A，∠ACB，∠BCD的度数．
解：因为AB∥CD，
所以∠1＝∠B＝42°，∠A＝∠2＝35°，
所以∠ACB＝180°－∠1－∠2＝180°－42°－35°＝103°，
∠BCD＝180°－∠1＝180°－42°＝138°.
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数．
解：因为AD∥BC，
所以∠BCD＝180°－∠D＝180°－120°＝60°，
所以∠BCA＝∠BCD－∠DCA＝60°－20°＝40°.
因为AD∥BC，
所以∠DAC＝∠BCA＝40°.

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