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第2章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 垂直
北师版 七年级 数学（下）
情景导入
观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
新课探究
垂直、垂线、垂足的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。
a
b
α
转动木条的同时观察其夹角的变化。
α
α
α
α
b
b
b
b
a 与 b 垂直
(1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
a
b
α
(2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？
此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
a
α
b
唯一一个
35°
145°
145°
35°
90°
90°
90°
90°
概念引入
表示方法：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。
它们的交点叫作垂足(如图O点)
C
D
A
B
O
①
如图① 记作：AB⊥CD
如图② 记作：l ⊥ m
O
②
l
m
生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？
窗户
黑板
墙角
栏杆
新课探究
垂直的判定与性质
如图，O为直线AB上一点。
(1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？
A
B
C
O
由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°，
可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？
所以 OC⊥ AB
可得∠AOC =∠BOC=90°
且∠AOC+∠BOC=180°
由∠AOC =∠BOC，
(已知条件)
(补角的性质)
(角的数量关系)
(垂直的定义)
(3)因为 OC⊥AB (已知)
所以 ∠AOC=∠BOC=90°
垂直的性质：
因为 AB⊥OC(已知) ，
所以∠AOC = 90°(垂直的定义)
垂直的判定：
因为∠AOC ＝ 90°(已知)，
所以 AB⊥OC (垂直的定义)
A
B
C
O
对应训练
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
解：这两条直线垂直。因为两条直线相交所成的四个角的和是360°，当这四个角都相等时，这四个角都为90°，由两直线垂直的定义可知两条直线垂直。
2.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是
（ ）
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
新课探究
垂直的判定与性质
问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？
点 A 在直线 l 上
A
点 A 在直线 l 外
A
l
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？
A
B
m
O
无数条
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
(4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
P
A
B
C
O
l
线段PO 的长度最短
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
P
A
B
O
l
C
线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
应用举例
【方法指导】运用垂线的概念求角度．
【例1】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝55°，求∠EOD的度数．
解：因为OE⊥AB(已知)，
所以∠EOB＝90°(垂直的定义)．
因为∠BOD＝∠1＝55°(对顶角相等)，
所以∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝90°＋55°＝145°.
【方法指导】运用垂线的概念判定两直线垂直．
【例2】如图，直线AB上有一点C，过点C引两条射线CE，CD，且∠ACE＝31°，∠DCB＝59°，则CE，CD有何位置关系？为什么？
解：因为∠ACE＝31°，∠DCB＝59°，
所以∠ECD＝180°－∠ACE－∠DCB＝180°－31°－59°＝90°，
所以CE⊥CD.
【例3】如图，已知∠ACB＝90°，即直线AC________BC；如果BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm，那么点B到直线AC的距离等于________，点A到直线BC的距离等于________，A，B两点间的距离等于________.你能求出点C到AB的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流．
【方法指导】运用点到直线的距离，直角三角形面积的计算解决问题．
解：AC⊥BC；点B到直线AC的距离等于4 cm；
点A到直线BC的距离等于3 cm；
A，B两点间的距离等于5 cm.
过点C作AB的垂线段CD，
S三角形ABC＝AC·BC＝AB·CD.
所以CD＝2.4 cm，
所以点C到AB的距离为2.4 cm.
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
概念
性质
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
随堂练习
1.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。
P
O
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PO的长度即为所求。
2.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。
l
l1
A
l
B
l
O
2.画一条直线 l，在直线l上取一点 A，在直线 l 外取一点B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。
3.下面是画在方格纸上的两个图形，请你分别找出图中互相垂直的线段。
OA⊥OC， OD⊥OB
DC⊥BC， DC⊥CE
A
B
C
D
O
（1）
A
B
C
D
E
（2）

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