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第2章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、余角和补角
北师版 七年级 数学（下）
情景导入
铁轨
剪刀
武汉杨泗港桥
乡村农田
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
注意：平行线是指“两条直线”而不是两条线段或射线。线段或射线平行是指它们所在的直线平行。
新课探究
两直线相交 所成的角 顶点 边
问题1：观察图形，填写下表并说说你有什么发现
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1
O
OB和OD
∠2
O
OA和OC
∠3
O
OB和OC
∠4
O
OA和OD
1.有公共顶点
2.两边互为反向延长线。
对顶角、补角的概念
概念引入
A
C
B
D
O
1
4
3
2
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。
∠1 的对顶角是______；
∠2
∠3 的对顶角是______。
∠4
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
D
思路点拨：遇到角的辨析，需抓住定义做题。
针对训练
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
2.如图所示，直线AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是_______，∠4的对顶角是_______ .
∠AOD
∠3
问题2：用量角器测量每个角的度数，说说你有什么发现
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
概念引入
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。简称这两个角互补。
图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？
∠1 ＋∠2＝90°
E
A
2
B
C
D
F
1
O
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。
针对训练
下列说法正确的有 ____________（填序号）
①已知∠A = 40°，则∠A 的余角等于50°。
②若∠1+∠2 = 180°，则∠1和∠2互为补角。
③若∠1+∠2+∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3互补。
④若∠A = 40°26′，则∠A 的补角=139°34′。
⑤一个角的补角必为钝角。
⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°。
①②④⑥
新课探究
对顶角、补角、余角的性质
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
问题3：改变角度的大小，对顶角之间的数量关系仍然存在吗？如何证明？
方法一：改变角度，测量各个角的度数：
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
方法二：几何推导证明：
∵ ∠1 +∠3 =180°，∠3 +∠2 =180°，
∴ ∠1 =∠2 。
归纳总结
两直线相交，对顶角相等。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
问题4： 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。
(1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。
(2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
(1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
互为补角:
互为余角:
根据补角和余角的定义知：
∠1和∠3，∠2和∠4
∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？
你能说明理由吗？与同伴进行交流。
因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°
又因为 ∠1=∠2
所以 ∠3=∠4
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC
又因为∠BOC =∠AOD
所以 ∠AOC = ∠BOD
∠BOD=∠AOB+∠AOD
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。
应用举例
【例1】已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．
【方法指导】利用补角和余角的性质解答问题．
解：设这个角为x°.
根据题意，得180－x＝4(90－x)，
解得x＝60.
答：这个角的度数是60°.
【例2】如图，已知∠AOB在∠AOC的内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
【方法指导】根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．
解：因为∠AOB与∠COM互补，
所以∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠BOC＝180°.
因为∠BOC＝90°，所以∠AOB＋∠BOM＝90°.
因为OM是∠AOB的平分线，所以∠BOM＝∠AOB，
即∠AOB＋∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，
所以∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
因为ON平分∠AOC，所以∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.所以∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
【例2】如图，已知∠AOB在∠AOC的内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
随堂练习
1．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2与∠3的关系是( )
A．互余 B．互补
C．相等 D．以上都不对
C
2．已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是________．
29°28′
3．已知∠A＝45°，则∠A的补角是它余角的____倍．
3

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