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第1章 整式的乘除
2 整式的乘法
第2课时 单(多)项式乘多项式
北师版 七年级 数学（下）
知识回顾
1.同底数幂的乘法：
2.幂的乘方：
3.积的乘方：
aman=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
4.同底数幂的除法：
前面学习了哪些幂的运算 运算法则分别是什么
m，n都是正整数
am÷an=am+n
新课导入
一个长方形操场被划分成四个相同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示。如何计算整个操场的面积 你是怎么想的
A
B
C
D
a
b
从整体看，操场的面积为______;
2a·2b
从局部看，操场的面积为______。
操场由4个小长方形组成。
4ab
2a·2b=4ab
你发现了什么
一个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示。如何计算整个操场的面积 你是怎么想的
A
B
C
D
探究新知
思考
小明认为可以先分别计算四个小活动区域的面积，再求整个操场的面积。
A
B
C
D
A区域的面积: 2b·a
B区域的面积: 3a·a
C区域的面积: 3b·2b
D区域的面积: 3a·3b
你能求出A，B，C，D四个区域的面积吗
如何计算 在计算过程中你用到了哪些运算律或运算性质
=2ab
=3a2
=(3×2)·(b·b)
=6b2
=(3×3)·(a·b)
=9ab
乘法交换律、结合律
你能计算abc·b2c，3x2y·2xy3，5a2b2·(-2ab)吗
abc·b2c
= a·(b·b2)·(c·c)
= ab3c2
3x2y·2xy3
= (3×2)·(x2·x) ·(y·y3)
= 6x3y4
5a2b2·(-2ab)
= [5×(-2)]·(a2·a) ·(b2·b)
一般地，如何进行单项式乘单项式的运算
= -10a3b3
讨论探究
5abc·(– 3ab)=[5×(– 3)]·(a·__ )·(b·__ )·c = _________。
一般地，如何进行单项式乘单项式的运算
a
b
– 15a2b2c
1.积的系数等于各项系数的积。
2.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
3.只在一个单项式里含有的字母，一定要连同它的指数不变作为积的因式。
小结
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
注意:
①系数相乘；
②相同字母的幂相乘；
③其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
两相乘，一不变
应用举例
(2)－2a2b3·(－3a)；
(3)7xy2z·(2xyz)2；
(4)(4×105)·(5×104)；
(5)(x2y2)·(－4xy2).
【方法指导】运用幂的运算法则和单项式乘单项式的法则计算即可．
(2)原式＝6a3b3；
(3)原式＝28x3y4z3；
(4)原式＝20×109＝2×1010；
(5)原式＝－4x3y4.
【例1】计算：(1)2xy2·；
解：(1)原式＝x2y3；
【例2】已知－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
【方法指导】根据－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：因为－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，
所以3m＋1＋5m－3＝4，
2n＋5n－4＝1，
解得m＝，n＝.
所以m2＋n＝[]2＋＝.
【方法指导】先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
【例3】有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m2，
绿化的面积是x×y＝xy(m2)，
则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2).
课堂小结
单项式与
单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
运算法则
注意
不要漏乘系数
运算顺序
实质
转化
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
随堂检测
1．计算2a3·3a4的结果是( )
A．5a7 B．5a8 C．6a7 D．6a8
C
2．计算(8×104)×(5×103)的结果是( )
A．4×107 B．4×108 C．13×107 D．1.3×108
B
3．若(am+1bn+2)·(a2n-1·b)＝a5b3，求m＋n的值．
解：根据题意，
得m＋1＋2n－1＝5，
n＋2＋1＝3，
解得m＝5，n＝0.
所以m＋n＝5.
第1章 整式的乘除
2 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
北师版 七年级 数学（下）
知识回顾
什么是单项式乘单项式法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
新课导入
A
B
C
D
如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积 你是怎么计算的
从整体看，A、B的面积为__________;
a·(2b+3a)
从局部看， A、B的面积为__________。
2ab+3a2
a·(2b+3a)=2ab+3a2
你可以用运算律解释吗
你发现了什么
单项式乘多项式运算
(2) a (2b+3a)=2ab+3a2，你能用运算律解释吗
a (2b+3a)=2ab + 3a2
乘法的分配律
p(a+b+c)=pa+pb+pc
当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立。
探究新知
思考
你能计算ab·(abc+2x) ， c2·(m+n–p)，(x2y+xy2)·(–xy) 吗
ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x
= a2b2c+2abx
c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p
(x2y+xy2)·(– xy) = –x3y2–x2y3
一般地，如何进行单项式乘多项式的运算
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式除以多项式的法则:
a (2b+3a)=2ab + 3a2
注意:
①依据是乘法分配律；
②积的项数与多项式的项数相同。
小结
应用举例
例1 计算：
(1) 2ab (5ab2 + 3a2b)；
(2) ( －2ab) · ；
解：原式 = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b
= 10a2b3 + 6a3b2.
解：原式 = ab2 · ab +(-2ab) · ab
=a2b3－a2b2
(3) 5m2n (2n + 3m－ n2)；
(4) 2(x + y2z + xy2z3) · xyz.
解：原式 = 5m2n · 2n + 5m2n · 3m + 5m2n · (－n2)
= 10m2n2 + 15m3n－ 5m2n3.
解： 原式 = (2x + 2y2z + 2xy2z3) · xyz
= 2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4.
【例2】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m，
下底宽(a＋2b) m，坝高a m.
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
【方法指导】(1)根据梯形面积公式，然后利用单项式乘多项式的运算法则计算；
解：(1)防洪堤坝的横断面面积
S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab(m2).
故防洪堤坝的横断面面积为[ a2＋ab]m2；
【例2】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m，
下底宽(a＋2b) m，坝高a m.
(2)如果防洪堤坝坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【方法指导】(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
(2)堤坝的体积V＝[a2＋ab]×100＝50a2＋50ab(m3).
故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab) m3.
新课导入
多项式乘多项式运算
问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示
m
n
图 1
m
n
a
b
图 2
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗
方法一：用不同的形式表示所拼图的面积：
m
n
a
b
① (m + a)( n + b)
③ m( n + b) + a( n + b)
② n(m + a) + b(m + a)
④ mn + mb + an + ab
于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a)
＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab
＝ mn + mb + an + ab.
或 (m + a)( n + b)
＝ m(n + b) + a( n + b)
方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律：
m
n
a
b
(m + a)( n + b)
＝(m + a)n + (m + a)b
＝ mn + mb + an + ab.
你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗
小结
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多
项式与多项式相乘的法则
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
【例3】计算：(1)(1－x)(0.6－x)；
【方法指导】直接利用多项式乘多项式法则进行计算．
(2)(2x＋y)(x－y).
解：原式＝1×0.6－1×x－x×0.6＋x·x
＝0.6－x－0.6x＋x2
＝x2－1.6x＋0.6；
解：原式＝2x·x－2x·y＋y·x－y·y
＝2x2－xy－y2.
应用举例
【例4】某小区的内坝是一块长为(3a＋b) m、宽为(2a＋b) m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【方法指导】根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题意，
得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(m2).
当a＝3，b＝2时，
5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(m2)，
故绿化的面积是63 m2.
课堂小结
多项式的乘法
单项式乘多项式
单项式乘单项式
多项式乘多项式
(a + b)(m + n) =
am + an + bm + bn
转化
转化
1．下列运算正确的是( )
A．3x2(5x2－x3)＝15x4－3x6
B．－a(4a－b)＝－4a2－ab
C．－3x(2x2y－3y)＝－6x3y＋9xy
D．－2(a－5b)＝－2a＋5b
2．先化简，再求值：x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝3.
解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1，
当x＝3时，原式＝9＋1＝10.
随堂检测
C
3．解方程：
(1)(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)＝3(x2－7x＋15)；
(2)(x－4)(6x＋7)＝(3x－2)(2x＋5)＋2.
解：（1）x＝
解：（2）x＝

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