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第4章 三角形
3　探索三角形全等的条件
北师版 七年级 数学（下）
第3课时 边角边
情景导入
到目前为止，我们学习了哪些判定三角形全等的方法
边边边（SSS）
A
B
C
D
E
F
几何语言：
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF (SSS)。
因为AB=DE，AC=DF，BC=EF，
角边角（ASA）
到目前为止，我们学习了哪些判定三角形全等的方法
A
B
C
D
E
F
几何语言：
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF (ASA)。
因为∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，
角角边（AAS）
到目前为止，我们学习了哪些判定三角形全等的方法
A
B
C
D
E
F
几何语言：
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF (AAS)。
因为∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢
每种情况下得到的三角形都全等吗
新课探究
两边及其夹角
①两边及夹角
②两边及其一边的对角
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢
如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。
α
a
c
尝试思考
作法：
1.作一条线段BC= a 。
2.以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α。
3.在射线BD上截取线段BA=c。
△ABC就是所要作的三角形。
α
a
c
4.连接AC。
B
C
A
D
你作的三角形与同伴作的一定全等吗
几何语言：
在△ABC 和△DEF 中，
因为AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，
所以△ABC ≌ △DEF（SAS）。
A
B
C
D
E
F
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 。
小结
尝试交流
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢
如图，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗
l
A
B
l
A
B
A
B
C
C′
A
B
C
A
B
C′
发现:顶点 C 可能存在两个位置。
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
应用举例
【例1】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE，那么BE与DF平行吗？请说明理由．
【方法指导】AB∥CD，根据平行线的性质可以得到∠A＝∠C，由AF＝CE可得AF＋FE＝CE＋FE，即AE＝CF，再根据AB＝CD，利用“SAS”判定△ABE≌△CDF，最后根据全等的性质得到∠AEB＝∠CFD，利用平行线的判断“内错角相等，两直线平行”得到BE∥DF.
解：因为AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠A＝∠C.
因为AF＝CE，所以AF＋EF＝CE＋EF，
即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
因为AB＝CD，∠A＝∠C，AE＝CF，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABE≌△CDF.
根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠AEB＝∠CFD.
根据“内错角相等，两直线平行”，所以BE∥DF.
【例1】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE，那么BE与DF平行吗？请说明理由．
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，那么∠B与∠C相等吗？请说明理由．
【方法指导】在△ACE中，AC与AE的夹角是∠CAE，在△ABD中，AB与AD的夹角是∠BAD.根据∠1＝∠2得到∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，根据AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，AE＝AD，利用“SAS”判定△ACE≌△ABD，最后利用全等的性质得到∠B＝∠C.
解：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
在△ACE和△ABD中，
因为AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，AE＝AD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ACE≌△ABD.
根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠B＝∠C.
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，那么∠B与∠C相等吗？请说明理由．
【例3】如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_______________________________________Ｗ．
【方法指导】由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD.又因为AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判定△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判定△ABC≌△AED；当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判定△ABC≌△AED.故答案为∠C＝∠D或∠B＝∠E或AC＝AD.
∠C＝∠D或∠B＝∠E或AC＝AD
课堂小结
三角形全等的判断定理
边角边
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
注意
已知两边，必须找“夹角”
已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
随堂练习
1.分别找出各图中的全等三角形，并说明理由。
解：(1) △ABC≌△EFD (SAS) ；
(2) △ABC≌△CDA (SAS) 。
2.小明做了一只如图所示的风筝，其中∠EDH =
∠FDH，ED = FD 。将上述条件标注在图中小明不用测量就知道EH = FH ，请你说明理由
解：在△DEH 和△DFH 中，
所以 △DEH ≌ △DFH（SAS）。
因为ED = FD，∠EDH = ∠FDH，
DH = DH，
所以 EH = FH 。
3．有两个三角形，下列条件能判定两个三角形全等的是( )
A．有两条边对应相等
B．有两边及一角对应相等
C．有三角对应相等
D．有两边及其夹角对应相等
D
4．如图，AB＝AC，根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，还需添加的条件是( )
A. BD＝CE
B．AE＝AD
C．BO＝CO
D．以上都不对
B

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