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第4章 三角形
3　探索三角形全等的条件
北师版 七年级 数学（下）
第4课时 全等三角形判定的综合运用
新课导入
1.全等三角形的性质有哪些
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
A
B
C
D
E
F
2.如图所示，添加什么样的三个条件能够使这
两个三角形全等
△ABC≌△DEF (SSS)
AB=DE ，
AC=DF ，
BC=EF 。
A
B
C
D
E
F
△ABC≌△DEF (ASA)
∠B=∠E，
BC=EF，
∠C=∠F。
2.如图所示，添加什么样的三个条件能够使这
两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
△ABC≌△DEF (AAS)
∠A=∠D，
∠B=∠E，
BC=EF。
2.如图所示，添加什么样的三个条件能够使这
两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
△ABC≌△DEF (SAS)
AB=DE，
∠B=∠E，
BC=EF。
2.如图所示，添加什么样的三个条件能够使这
两个三角形全等
新课探究
挖掘隐藏条件证明两个三角形全等
例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD
与△CDB 全等吗 请说明理由。
分析:
①已知条件:
AB=CD
②隐含条件:
公共边 BD
③可以考虑哪个定理判定：
SAS
④缺少的条件：
∠1=∠2
AB∥CD
两直线平行，内错角相等
解：因为AB∥CD，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠1=∠2。
在△ABD和△CDB 中，
因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABD≌△CDB。
例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD
与△CDB 全等吗 请说明理由。
例题解析
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（1）△AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
分析：①已知条件:
②隐含条件:
OA=OB，OC=OD
∠AOD=∠BOC
③可以用于判定的定理：
边角边
解：(1)因为∠AOD与∠BOC 是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以∠AOD=∠BOC。
在△AOD和△BOC 中，
因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC ，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌△ BOC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（1）△AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
△AOD≌△ BOC
AD=BC，
DC=CD，
AC=BD，
△ACD≌△ BDC
分析：
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
(2) 由(1)可知，△AOD≌△ BOC ，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以AD=BC。
因为OA=OB，OC=OD，
AC=OA+OC，BD=OB+OD，
所以AC=BD。
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，AC=BD，DC=CD，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
你还能根据其他的判断条件，判定这两个三角形全等吗
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，∠A=∠B，AC=BD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，∠A=∠B，AC=BD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
在△ACD和△BDC 中，
因为∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDC，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
说明一个结论正确与否时，需要给出充分的理由，你是如何找到说理思路的 对此你积累了哪些经验
回顾反思
应用举例
【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．
【方法指导】根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用“ASA”可判定△ADF≌△CBE.
解：因为AD∥BC，BE∥DF，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.
因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
因为∠A＝∠C，AF＝CE，∠DFA＝∠BEC，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ADF≌△CBE.
【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．
【例2】如图，AD，BC交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，过O的直线MN交AB于点M，交CD于点N.OM与ON相等吗？为什么？
【方法指导】利用“SAS”判定△OAB≌△ODC得到∠B＝∠C，再利用“ASA”判定△OBM≌△OCN得到OM＝ON.
解：在△OAB和△ODC中，
因为OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△OAB≌△ODC.
根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠B＝∠C.
在△OBM和△OCN中，
因为∠B＝∠C，OB＝OC，∠BOM＝∠CON，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，
所以△OBM≌△OCN.
根据“全等三角形的对应边相等”，所以OM＝ON.
【例2】如图，AD，BC交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，过O的直线MN交AB于点M，交CD于点N.OM与ON相等吗？为什么？
课堂小结
性质
全等三角形
全等三角形的对应边相等，对应角相等
判定条件
边边边(SSS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
边角边(SAS)
随堂练习
1.如图，∠A，∠D为直角，AC与DB相交于点E，BE与EC相等，在图中找出两对全等三角形。
△ABE≌△ DCE ；
△ABC≌△ DCB 。
2．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出( )
A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD
C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE
B
3．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．BC＝DE
C．AB＝AD D．∠B＝∠D
B
4．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD＝DE＋CE；
解：(1)因为△BAD≌△ACE，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以BD＝AE，AD＝CE，
所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，
即BD＝DE＋CE；
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由如下：因为△BAD≌△ACE，
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠E＝∠ADB＝90°
（添加的条件是∠ADB＝90°），
所以∠BDE＝180°－90°＝90°＝∠E.
根据“内错角相等，两直线平行”，所以BD∥CE.
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？写出结论并说明理由．
5．如图，AB＝AC，根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，还需添加的条件是( )
A. BD＝CE
B．AE＝AD
C．BO＝CO
D．以上都不对
B

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