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(共22张PPT)
第4章 三角形
4 利用三角形全等测距离
北师版 七年级 数学（下）
情景导入
判定三角形全等有哪些方法？
①“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等。
②“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
新课探究
测碉堡的距离
阅读课本 P110 页的材料，你知道我军战士运用了什么知识测出我军阵地与敌军碉堡距离的吗？
“调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义是什么
“调整帽子”即可改变视角的大小。帽檐向上移动，视角变大，观察到的范围变大；帽檐向下移动，视角变小，观察到的范围变小。
“保持刚才的姿态”即保持视角不变。
新课探究
战士所讲述的方法中，已知条件是什么 要求的是什么
A
C
B
D
已知条件: ①战士的身高不变，AC=AC；
②战士与地面是垂直的 (AC⊥BD)；
③视角∠CAB=∠CAD。
要求的是: 敌碉堡 (B) 与我军阵地 (D) 的距离。
战士所讲述的方法中， 战士的结论是什么
战士的结论:只要按要求(如图)测得DC 的长度即可。
( BC = DC )
你能用数学的知识说明BC=DC吗
A
C
B
D
理由：在△ACB与△ACD 中，
∠BAC =∠DAC，
AC = AC（公共边），
∠ACB = ∠ACD = 90°，
△ACB≌△ACD（ASA）
所以BC = DC。
A
C
B
D
利用三角形全等可以测量两点之间的距离。
不可测量或不方便测量的线段
方便测量的线段
构造全等三角形
利用全等三角形的性质转移线段。
归纳总结
观察思考
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决问题吗？
A
B
A
B
先在地上取一个可以直接到达 A 和 B 点的点 C;
C
E
D
连接 AC 并延长到 D，使CD = CA；连接 BC 并延长到E，使 CE = CB，
连接 DE 并测量出它的长度即为AB 之间的距离.
方案一：
理由: 在△ACB与△DCE 中，
所以△ACB ≌ △DCE（SAS）
所以 AB = DE
(全等三角形的对应边相等)
∠BCA = ∠ECD ，
AC = CD ，
BC = CE ，
因为
A
B
C
E
D
A
B
C
D
方案二：
如图，先作三角形 ABC ，再找一点 D，使AD∥BC，并使AD = BC，连结 CD，量CD 的长即得 AB 之间的距离。
理由: 在△DAC与△BCA 中，
所以△DAC ≌ △BCA（SAS）
所以 AB = CD
(全等三角形的对应边相等)
∠DAC = ∠BCA ，
DA = BC，
AC = CA ，
因为
A
B
C
D
应用举例
【例2】小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面的夹角为∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面的夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36 m，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
【方法指导】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．
解：因为∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
所以∠DCP＝90°－∠CPD＝54°＝∠APB.
在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP＝∠PBA，DC＝BP，∠DCP＝∠BPA，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，
所以△CPD≌△PAB.
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以DP＝AB.
因为DB＝36 m，PB＝10 m，
所以AB＝DP＝DB－PB＝36－10＝26(m).
答：楼高AB是26 m．
课堂小结
利用三角形全等测距离
原理
方法
数学思想
全等三角形的对应边相等
构造全等三角形
用三角形全等构建数学模型解决实际问题
随堂练习
1．如图，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________Ｗ．
SAS
2．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发沿与AB成90°角方向，向前走50 m到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走17 m，到达E处，使A，C，E在同一直线上，那么A，B的距离为　　m.
17
3．如图，两根长12 m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面，请说明理由．
解：用卷尺测量出BD是否与CD相等．
理由如下：在△ABD和△ACD中，
因为AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ABD≌△ACD.
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠ADB＝∠ADC.
又因为∠ADB＋∠ADC＝180°，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC.
4.如图，把两根钢条 AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳 )。 只要量得 AC 的长度，就可知工件的内径 BD 是否符合标准。你明白其中的道理吗 与同伴进行交流。
A
B
D
C
解：因为点O是AB，CD的中点，
O
所以点AO=BO，CO=DO。
又因为在△AOC和△BOD中，
所以 △AOC≌△BOD (SAS)
所以AC=BD 。
AO = BO，∠AOC =∠BOC，
CO=DO ，

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