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第5章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
北师版 七年级 数学（下）
第3课时 角平分线的性质
情景导入
1.什么是角平分线
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
2.什么是点到直线的距离
过点作直线的垂线，垂线段的长度就是点到直线的距离。
3.下图中能表示点P到直线l
的距离的是____________。
线段PC的长
在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。
折痕与这个角有什么关系
折痕是这个角的平分线。
角是轴对称图形吗
它的对称轴是什么
角是轴对称图形。
角平分线所在的直线是它的对称轴。
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。
尝试思考
如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。
（1）线段CD和CD'之间有什么关系
说说你的理由。
CD = CD'。
理由如下：
因为OP是∠AOB的平分线，
所以∠POA=∠POB。
在△COD和△COD'中，
DO= D'O， ∠POA=∠POB ，CO=CO。
所以△CED≌△CED'(SAS)
所以CD=CD'。
（2）特别地，当CD⊥OA时，如图所示，CD'与OB有怎样的位置关系 为什么
CD'⊥OB。
理由如下:
因为 CD⊥OA，
所以∠ODC=90°。
由(1)可知，
∠OD'C=∠ODC=90°，
所以CD'⊥OB。
D'
（2）线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗
CD=CD'。
改变点C的位置，线段CD和CD'还相等吗
由此你能得到什么结论
D'
归纳总结
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质:
几何语言:
因为点C在∠AOB的平分线上，且CD⊥OA于点D，
CD′⊥OB于点D′。
所以CD=CD′。
思考交流
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
思路：
①利用性质确定角平分线上的一个点；
②连接这个点和顶点确定角平分线。
假设∠AOB的平分线已作出，那么
(1) 这条射线有什么特征
(2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点
这条射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等。
提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作。
例题解析
例 　如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。
作法：
1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使 OD = OE。
2.分别以点D和点E为圆心、以大于
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3.作射线 OC。
射线OC就是∠AOB的平分线。
请你说说这样作的道理。
思考交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的角平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点
作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线。
应用举例
【例1】如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【方法指导】因为AB是CD的垂直平分线，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的两部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正确，只有②AO＝BO错误．
C
【例2】如图，已知点D是AB的垂直平分线与AC的交点，如果AC＝2 cm，BC＝1.3 cm，那么△BDC的周长是多少？
【方法指导】要求△BDC的周长，已知BC的长，只需求CD＋DB的长度，根据垂直平分线的性质，得BD＝AD，所以AC＝CD＋DB.
解：因为点D在AB的垂直平分线上，
所以DA＝DB，
所以△BDC的周长＝CD＋DB＋BC
＝CD＋DA＋BC
＝AC＋BC
＝2＋1.3＝3.3(cm).
课堂小结
角平分线的性质
性质
尺规作图
应用
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则AP＋BP的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
B
2．如图，∠BAD＝∠CAD，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，连接AF，若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
解：∠CAF＝35°.
理由：在 Rt△ABC 中，∠C =90°，
所以 DC⊥BC。
因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，
所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
3.如图，BD是 Rt△ABC 的一条角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E。你认为DE与DC 相等吗 为什么
解：相等。
4.任意画一个角，用尺规将它四等分。

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