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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
题型二　函数的实际应用
分层精讲本
2026湖北数学
类型一　面积问题
(省卷：2024.22)
1. 如图，用长为22米的篱笆，靠墙(墙的最大可用长度为15米)围成
中间隔有一道篱笆，并且在平行于墙面的篱笆上留两道1米宽的门的矩形
花圃.设AB的长为m米，矩形花圃的面积为S平方米.
(1)求S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
解：(1)∵AB的长为m米，则BC的长为22－3m＋2＝(24－3m)米，
根据题意得S＝m(24－3m)＝－3m2＋24m＝－3(m－4)2＋48，
∵墙的最大可用长度为15米，
∴24－3m≤15，解得m≥3，
又∵24－3m＞2，
∴m＜ ，
∴S与m之间的函数解析式为S＝－3(m－4)2＋48(3≤m＜ )；
设AB的长为m米，矩形花圃的面积为S平方米.
(2)当m为多少时，S取得最大值，最大为多少平方米；
解：(2)由(1)知S与m之间的函数解析式为S＝－3(m－4)2＋48，
∵－3＜0且3≤m＜ ，
∴当m＝4时，S取得最大值，最大为48平方米；
设AB的长为m米，矩形花圃的面积为S平方米.
(3)当围成的花圃面积最大时，在花园中种植甲、乙两种花卉，且种植甲
种花卉的面积不小于乙种花卉的2倍，已知种植甲种和乙种花卉的费用分
别为每平方米100元和每平方米50元，则最少需要花费多少元？
解：(3)由(2)可知，花圃面积最大为48平方米，
设种植甲种花卉的面积为x平方米，则种植乙种花卉的面积为(48－x)平
方米，设总费用为w元，
则w＝100x＋50(48－x)＝50x＋2 400，
由题意得x≥2(48－x)，
解得x≥32，
∵50＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w取得最小值，最小为50×32＋2 400＝4 000，
答：最少需要花费4 000元.
2. (2025武汉模拟)如图，用一段长为100 m的围栏，围成一边靠墙的三块
矩形区域种植花卉(靠墙部分不需要围栏)，墙长为15 m.矩形AEGD与矩
形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等.设AE长为x
m，BC长为y m，矩形ABCD的面积为z m2.
(1)直接写出y与x，z与x之间的函数关系式；
解：(1)∵矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，
∴AE＝BE＝DG＝GC＝HF，BC＝EG，
∴5x＋y＝100，即y＝ ＝50－ x，
∴z＝AB·BC＝2xy＝2x(50－ x)＝－5x2＋100x；
矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积
相等.设AE长为x m，BC长为y m，矩形ABCD的面积为z m2.
(2)当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？
解：(2)由(1)知z＝－5x2＋100x＝－5(x－10)2＋500，
∵0＜y≤15，
∴14≤x＜20，
∵－5＜0，对称轴当x＝10，
∴当x＝14时，z有最大值，最大值为420平方米；
矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积
相等.设AE长为x m，BC长为y m，矩形ABCD的面积为z m2.
(3)若需要对矩形AEFH和矩形BCGE区域进行装修改造，改造单价分别
为64元/m2和40元/m2.受资金投入限制，改造总费用不能超过11 520元，
请直接写出x的取值范围.
解：(3)16≤x＜20.
【解法提示】∵矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等，∴AH＝HD＝
EF＝FG＝ BC，∴S矩形AEFH＝AE·EF＝AE· BC＝x· y＝
x(25－ x)＝－ x2＋25x，S矩形BCGE＝BE·BC＝xy＝x(50－ x)＝
－ x2＋50x，设安装成本为w元，则w＝64(－ x2＋25x)＋
40(－ x2＋50x)＝－180x2＋3 600x，令w＝11 520，则－180x2＋
3 600x＝11 520，解得x＝16或x＝4，
∵改造总费用不能超过11 520元，14≤x＜20，
∴16≤x＜20，
∴当16≤x＜20时，安装成本不超过11 520元.
3. 科研人员计划利用现有墙体(墙体足够长)，在试验基地中用总长
为240 m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区(边界靠墙部分不需要围栏)，要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边AD靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边MQ靠着现有墙体，家禽养殖区
的部分边TM靠着现有墙体，墙体TM⊥MQ，且TM＝MN.
两种方案养殖区的总面积分别为y1 m2，y2 m2，回答下列问题：
(1)对于方案1，设BF＝x m.
①求BC的长度(用含x的代数式表示)；
解：(1)①由题可得，四边形ABCD和四边形BFEC都是矩形，
∴AB＝DC，BF＝CE，BC＝FE，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴AB·BC＝2BF·BC，
∴AB＝2BF，
∵BF＝x m，AB＋BF＋CE＋DC＋BC＋FE＝240 m，
∴2BC＋6x＝240，
解得BC＝120－3x，
∴BC的长度为(120－3x)m；
禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体TM⊥MQ，且TM＝MN.
两种方案养殖区的总面积分别为y1 m2，y2 m2，回答下列问题：
(1)对于方案1，设BF＝x m.
②求y1的最大值；
解：②由题意得y1＝AF·BC＝3x(120－3x)
＝－9(x2－40x)＝－9(x－20)2＋3 600，
∵－9＜0，
∴当x＝20时，y1有最大值，最大值为3 600；
禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体TM⊥MQ，且TM＝MN.
两种方案养殖区的总面积分别为y1 m2，y2 m2，回答下列问题：
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明
理由.
解：(2)两种方案任选其一即可，理由如下：
设方案2中的MN＝n m，
∵四边形STNR是矩形，TM＝MN，∴SR＝TN＝2n m，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴MN·NP＝2SR·RN，
∴NP＝4RN，∴4n＋2RN＋NP＝240，
即4n＋6RN＝240，
∴RN＝－ n＋40，∴PN＝4(－ n＋40)，
∴y2＝2n(－ n＋40)＋4n(－ n＋40)＝－4(n－30)2＋3 600，
∵－4＜0，
∴当n＝30时，y2有最大值，最大值为3 600，
∵3 600＝3 600，
∴两种方案养殖区总面积最大值相等，
∴选择两种方案均可.
4. 为切实落实综合实践活动的开展，加强学生动手操作能力和解
决问题的能力，某校积极开展劳动实践活动，为此开辟了一块实践田供
学生种植应季蔬菜.如图为一块长为40 m，宽为20 m的矩形菜地ABCD，
E，F分别为AD，CD边上的点，连接BE，EF，将菜地ABCD分割成
甲、乙、丙3块种植不同的蔬菜，且满足AE＝CF，AE≥DE. 设AE＝x
m，甲、乙两块田的面积之和为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出
自变量的取值范围)；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝40 m，AD＝BC＝20 m，
∵AE＝CF＝x m，
∴DE＝AD－AE＝(20－x)m，DF＝CD－CF＝(40－x)m，
∴S甲＝ AB·AE＝20x，
S乙＝ DE·DF＝ (20－x)(40－x)＝ x2－30x＋400，
∴y与x之间的函数解析式为y＝S甲＋S乙＝
20x＋ x2－30x＋400＝ x2－10x＋400；
将菜地ABCD分割成甲、乙、丙3块种植不同的蔬菜，且满足AE＝CF，
AE≥DE. 设AE＝x m，甲、乙两块田的面积之和为y m2.
(2)当AE为何值时，甲、乙两块田的面积之和为350 m2？
解：(2)将y＝350代入y＝ x2－10x＋400中，得350＝ x2－10x＋400，
解得x1＝x2＝10，
∵AE≥DE，∴20－x≤x＜20，
∴10≤x＜20，
∴当AE为10 m时，甲、乙两块田的面积之和为350 m2；
将菜地ABCD分割成甲、乙、丙3块种植不同的蔬菜，且满足AE＝CF，
AE≥DE. 设AE＝x m，甲、乙两块田的面积之和为y m2.
(3)嘉佳同学说：“丙块田的面积一定大于甲块田的面积”，请你判断他
的说法是否正确，并求出甲、丙两块田面积差的最大值.
解：(3)由题意，得S丙＝S矩形ABCD－y＝40×20－( x2－10x＋400)
＝－ x2＋10x＋400，S甲＝20x，
∴设S＝S丙－S甲＝－ x2＋10x＋400－20x＝
－ x2－10x＋400＝－ (x＋10)2＋450，
又∵－ ＜0，10≤x＜20，对称轴为直线x＝－10，
∴当10≤x＜20时，S随x的增大而减小，
∴0＜S≤250，且当x＝10时，S取最大值，最大值为250，
∴S丙＞S甲，
∴嘉佳同学的说法正确，且甲、丙两块田面积差的最大值为250 m2.
类型二　利润问题
5. (2025宜昌模拟)某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下：
单位面积产量y(单位：kg/亩)与种植面积x(单位：亩)的关系为：y＝1
200－50x；
种植成本z(单位：万元)与种植面积x(单位：亩)的关系为：z＝84＋8x；
销售价格：0.08万元/kg.
(1)求总产量w与种植面积x的函数关系式；
解：(1)∵单位面积产量y(单位：kg/亩)与种植面积x(单位：亩)的关系
为：y＝1 200－50x，
∴w＝x(1 200－50x)＝－50x2＋1 200x；
单位面积产量y(单位：kg/亩)与种植面积x(单位：亩)的关系为：y＝1
200－50x；
种植成本z(单位：万元)与种植面积x(单位：亩)的关系为：z＝84＋8x；
销售价格：0.08万元/kg.
(2)求总产量为7 200 kg时的种植面积(总产量＝单位面积产量×种植面
积)；
解：(2)∵总产量为7 200 kg，
∴令w＝－50x2＋1 200x＝7 200，
解得x1＝x2＝12，
答：总产量为7 200 kg时的种植面积为12亩；
单位面积产量y(单位：kg/亩)与种植面积x(单位：亩)的关系为：y＝1
200－50x；
种植成本z(单位：万元)与种植面积x(单位：亩)的关系为：z＝84＋8x；
销售价格：0.08万元/kg.
(3)求该科研机构种植这种药材能获得的最大利润(利润＝销售额－种植成
本).
解：(3)设总利润为Q，
∴Q＝0.08(－50x2＋1 200x)－(84＋8x)＝－4(x－11)2＋400，
∵－4＜0，
∴当x＝11时，Q有最大值，最大值为400，
答：该科研机构种植这种药材能获得的最大利润为400万元.
6. (2025孝感模拟)民族要复兴，乡村要振兴.利民超市老板决定为家乡代
销某种农产品，该农产品的成本为20元/件.为了解市场情况，商定先进行
15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售
过程中统计发现：日销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足的函数关系为y
＝－2x＋76.设销售时间为t(天)(即第t天).
(1)请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
解：(1)x＝t＋20，y＝－2t＋36；
【解法提示】∵农产品的成本为20元/件，以后每天均涨价1元/件，∴x
＝t＋20，又∵y＝－2x＋76，∴y＝－2(t＋20)＋76，∴y＝－2t＋36，
在销售过程中统计发现：日销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足的函数
关系为y＝－2x＋76.设销售时间为t(天)(即第t天).
(2)试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销
售单价；
解：(2)由题意得，日销售利润w＝(x－20)y＝t(－2t＋36)＝－2t2＋36t
＝－2(t－9)2＋162，
∵－2＜0，
∴当t＝9时，日销售利润w最大，最大值为162元，
∴此时单价x＝9＋20＝29(元/件)，
答：试销第9天日销售利润w最大，日最大利润是162元，此时的销售单
价为29元/件；
在销售过程中统计发现：日销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足的函数
关系为y＝－2x＋76.设销售时间为t(天)(即第t天).
(3)在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
解：(3)由(2)得w＝－2t2＋36t，
∴令w＝－2t2＋36t＝144，
解得t＝6或t＝12，
∵二次函数w＝－2t2＋36t的图象开口向下，且日销售利润不低于144
元，∴6≤t≤12，即共7天，
答：在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有7天.
7. 某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时
间后发现：该枇杷的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象如图
所示.
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)；
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，
根据题意得 ，解得 ，
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋160；
该枇杷的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象如图所示.
(2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为
多少元？
解：(2)设该枇杷的售价为x元/千克时，日销售利润为w元，
根据题意得w＝(－2x＋160)(x－20)＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2
＋1 800，
∵－2＜0，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为1 800元，
答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，
最大利润为1 800元；
该枇杷的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象如图所示.
(3)由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克(m＞0)，物价局规定
该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销
售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售最大利润是1 280元，
请求出m的值.
解：(3)根据题意得日销售利润w＝(x－20－m)
(－2x＋160)＝－2x2＋(200＋2m)x－3 200－160m，
∴对称轴为直线x＝ ＝50＋ m，
∵m＞0，∴50＋ m＞40，
∵－2＜0，
∴当x＜40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w有最大值，为1 280，
代入得－2×402＋40(200＋2m)－3 200－160m＝1 280，
解得m＝4，
∴m的值为4.
8. (2025武汉模拟)“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接
待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每
天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10
元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住
的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间(x为10的整数倍).
(1)若房间定价为300元时，则可租出去 个房间.此时，利润为
元；
38　
10 640
【解法提示】由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每
天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10
元时，就会有一个房间空闲，∴(300－180)÷10＝12，∴50－12＝38，
∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间，∴此时利润为300×38－
20×38＝10 640(元).
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间(x为10的整数倍).
(2)为了进一步提高服务质量，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？
解：(2)由题意，设利润为w元，
∴w＝(x－30)(50－ )
＝－ (x－355)2＋10 562.5
∵－ ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝355，
又∵x为10的整数倍，∴当x＝350或360时，民宿利润最大；
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居
住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房
间定价为x元/间(x为10的整数倍).
(3)在(2)的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10
360元，直接写出房间定价x的范围.
解：(3) 310≤x≤380，且x为10的整数倍.
【解法提示】由题意，令w＝－ (x－355)2＋10 562.5＝10 360，解得x
＝310或x＝400，又∵所获利润不低于10 360元，∴310≤x≤400，
∵该民宿空闲房间数不能超过20间，∴ ≤20，∴x≤380，
∴310≤x≤380，且x为10的整数倍.
类型三　抛物线型问题
9. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积
极地进行备赛训练.如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明
将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05
米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮
球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点O为原点，
建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)由题意，得抛物线顶点坐标为(2.5，3.25)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2.5)2＋3.25，
∵1.75＋0.25＝2(米)，
∴当x＝0时，y＝2，
把点(0，2)代入y＝a(x－2.5)2＋3.25，
解得a＝－0.2，
∴抛物线的解析式为y＝－0.2(x－2.5)2＋3.25；
已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米
时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线
的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸
到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚
才能在空中截住篮球？
解：(2)令y＝2.45，则2.45＝－0.2(x－2.5)2＋3.25，
解得x1＝4.5，x2＝0.5，
∵要在球上升的过程中截住篮球，∴x＝0.5，
∴在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米及
以内才能在空中截住篮球；
已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米
时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线
的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(3)已知小明在距篮筐中心水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情
况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？
解：(3)∵改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物
线形状不变，
∴设改变起跳高度后的抛物线解析式为y＝－0.2(x－2.5)2＋3.25＋k，
∵小明距篮筐中心水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米，
∴将点(3.8，3.05)代入，得3.05＝－0.2×(3.8－2.5)2＋3.25＋k，
解得k＝0.138，
∴小明要竖直起跳0.138米才能直接投中.
10. (2025武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实
践活动.
研究背景　羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
收集数据　某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离
x(单位：m)的对应值如表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
探索发现　数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描
点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2＋bx＋1.1的一
部分.
解：把(2，2.3)，(3，2.6)代入y＝ax2＋bx＋1.1，
得 ，
解得 ，
∴y与x的函数解析式为y＝－0.1x2＋
0.8x＋1.1＝－0.1(x－4)2＋2.7；
建立模型　求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围)；
某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
应用模型
(1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8 m？请说明理由；
解：(1)不能达到2.8 m，理由如下：对于抛物线y＝－0.1(x－4)2＋2.7，
∵－0.1＜0，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7，
∵2.8＞2.7，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度
不能达到2.8 m；
某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其
解析式变为y＝ax2＋kx＋1.1，发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛
球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1 m，且球的落地点与球网的水
平距离小于6 m.求k的取值范围.
解：(2)∵保持羽毛球飞行路线对应的
抛物线的形状不变，
∴a＝－0.1，
∴解析式为y＝－0.1x2＋kx＋1.1，
当x＝5时，y＝－0.1×52＋5k＋1.1＞2.1，
解得k＞0.7.
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当x＝11时，y＝－0.1×112＋11k＋1.1＜0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为0.7＜k＜1.
拓展类型　新考法“课题活动”综合与实践
11. (2025襄阳模拟)为了培养学生的劳动能力，落实五育并举，某学校准
备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地.在综合实践课上，数学兴趣
小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下：
活动课题 设计围篱笆的方案
活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆
活动
过程 【了解场地】用皮尺测出墙MN的长为19 m，墙的前面是一片空
旷的场地.
【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田ABCD，中间用
篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在BC边
上给每个小矩形区域各留一个1 m宽的门.
【准备材料】篱笆总长为33 m，三个门不用篱笆.
设BC＝x m，AB＝y m，矩形ABCD的面积为S m2，请你帮兴趣小组解
决以下问题：
(1)分别求出y与x，S与x的函数解析式；
解：(1)由题意得4y＋x－3＝33，
∴y＝－ x＋9(0＜x≤19)，
∴矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝xy＝－ x2＋9x(0＜x≤19)，
∴y与x，S与x的函数解析式分别是y＝－ x＋9(0＜x≤19)，S＝－ x2
＋9x(0＜x≤19)；
(2)若矩形实验田ABCD的面积为80 m2，求矩形实验田ABCD的边长；
解：(2)当S＝80时，－ x2＋9x＝80，
解得x1＝16，x2＝20，
∵墙MN的长为19 m，
∴x≤19，
∴BC＝x＝16，
当x＝16时，y＝－ ×16＋9＝5，
∴矩形实验田ABCD的边长BC＝AD＝16 m，AB＝CD＝5 m；
(3)当AB长为多少时，实验田ABCD的面积最大？最大面积是多少？
解：(3)∵S＝－ x2＋9x＝－ (x－18)2＋81，
该二次函数图象开口向下，对称轴是直线x＝18，
由题意可知0＜x≤19，
∴当x＝18时，Smax＝81，
此时AB＝y＝－ x＋9＝4.5(m)，
∴当AB长为4.5 m时，实验田ABCD的面积最大，最大面积是81 m2.
12. 一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.
知识
背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动(不考虑空气阻力)，设小球滚出
桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立
平面直角坐标系(小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标(x，y)，根据平抛运动的原理可
知x，y与时间t(s)的关系为 .
图①
方案
设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置(如图②)，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹(如图③)，已知桌面高度为1 m，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表：
t(s) 0.1 0.2 0.3
x(m) 0.1 0.2 0.3
y(m) －0.05 －0.2 －0.45
解决问题 任务 (1)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析
式；(不要求写出x的取值范围)
解：(1)∵x＝vt，将(0.1，0.1)代入x＝vt中，
解得v＝1，∵y＝－ gt2，
将(0.1，－0.05)代入y＝－ gt2中，解得g＝10，
∴v＝1，g＝10，∴x＝t，y＝－5t2，
∴y关于x的解析式，即小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的
解析式为y＝－5x2；
解决问题 任务 (2)当小球在竖直方向下落0.8 m时，则它在水平方向上前进了多
少？
解：(2)当小球在竖直方向下落0.8 m，即y＝－0.8时，
将y＝－0.8代入y＝－5x2中，
解得x＝0.4(负值已舍去)，
∴小球在竖直方向下落0.8 m时，它在水平方向上前进了0.4 m；
解决问题 任务 (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为0.2 m的正方体纸箱(纸箱
厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水
平距离L(m)的取值范围.
解：(3)∵桌面的高度为1 m，正方体纸箱的高度为0.2 m，小球要落入纸
箱，则小球要在y＝－0.8时进入纸箱，
∴将y＝－0.8代入y＝－5x2，
解得x＝0.4(负值已舍去)，
∵正方体纸箱的高度为0.2 m，
∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为0.4－0.2＝0.2 (m)，
∴纸箱左侧到桌子的水平距离L(m)的取值范围为0.2 m＜L＜0.4 m.
Thanks!
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