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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
题型四　二次函数性质综合题
分层精讲本
2026湖北数学
类型一　通过“新定义”构造新函数
(省卷：2025.24)
1. (2025省卷24题)如图，抛物线y＝ x2－x＋c与x轴相交于点A
(－1，0)和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(1)求c的值；
解：(1)将A(－1，0)代入y＝ x2－x＋c，
得 ＋1＋c＝0，解得c＝－ ；
抛物线y＝ x2－x＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(2)若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求 的值；
解：(2)由(1)可知y＝ x2－x－ ＝ (x－1)2－2，
∴T(1，－2)，
∵P是抛物线上一动点，点P的横坐标为t，
∴P(t， t2－t－ )，
∵点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，
∴PH＝1－t，TH＝ t2－t－ ＋2＝ t2－t＋ ＝ (t－1)2
∴ ＝ ＝2；
抛物线y＝ x2－x＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点
C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN(含端点M
和N).过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最
低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物
线弧MN的特征矩形.若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的
周长为f.
①求f关于t的函数解析式；
解：(3)①当x＝0时，y＝－ ，
当y＝ x2－x－ ＝0时，x1＝－1，
x2＝3，
∴C(0，－ )，B(3，0)，
由(2)可知T(1，－2)，P(t， t2－t－ )，对称轴为直线x＝1，
∴点C(0，－ )关于对称轴的对称点为(2，－ )，
∵点P在第四象限，∴0＜t＜3，
当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为t，－ － t2＋t＋ ＝－ t2＋t，
∴f＝2(t－ t2＋t)＝－t2＋4t；
当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为t，－ －(－2)＝ ，
∴f＝2(t＋ )＝2t＋1；
当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为t， t2－t－ ＋2＝ t2－t＋ ，
∴f＝2(t＋ t2－t＋ )＝t2＋1.
综上所述，f＝ ；
抛物线y＝ x2－x＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点
C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN(含端点M
和N).过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最
低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物
线弧MN的特征矩形.若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的
周长为f.
②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合.记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g.若f＋g＝ ，直接写出PQ的长.
解：②PQ＝ 或 －2.
【解法提示】∵PQ∥x轴，∴点P，Q关于对称轴对称.∴Q(2－t， t2
－t－ )，当0＜t≤1时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时
特征矩形的两条邻边的长分别为2－t，－ －(－2)＝ ，
∴g＝2(2－t＋ )＝5－2t，
∵f＋g＝ ，∴－t2＋4t＋5－2t＝ ，
解得t＝1＋ (舍去)或t＝1－ ，
∴PQ＝2－t－t＝2－2t＝ ；
当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形
的两条邻边的长分别为2－t，－ －( t2－t－ )＝－ t2＋t，
∴g＝2(2－t－ t2＋t)＝－t2＋4，
∵f＋g＝ ，∴2t＋1－t2＋4＝ ，
解得t＝1＋ 或t＝1－ (舍去)，
∴PQ＝t－2＋t＝2t－2＝ ；
当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形
的两条邻边的长分别为t－2， t2－t－ －(－ )＝ t2－t，∴g＝
2( t2－t＋t－2)＝t2－4，∵f＋g＝ ，
∴t2＋1＋t2－4＝ ，解得t＝－ (舍去)或t＝ ，
∴PQ＝t－2＋t＝2t－2＝ －2.
综上所述，PQ的长为 或 －2.
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx－3与直线y＝x－3相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8.点P为抛物线上动点，其横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式及顶点坐标；
解：(1)把x＝8代入y＝x－3中，
得y＝5，故点A(8，5)，再把A(8，5)代入抛物线y＝ x2＋bx－3中，
得b＝－1，抛物线的解析式为y＝ x2－x－3，
对称轴为直线x＝－ ＝2，当x＝2时，y＝1－2－3＝－4，
故顶点坐标为(2，－4).
抛物线y＝ x2＋bx－3与直线y＝x－3相交，其中一个交点为A，点A的
横坐标为8.点P为抛物线上动点，其横坐标为m.
(2)这条抛物线在点P右侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为m－2，求
m的值；
解：(2)当m≤2时，P点右侧部分最低点为顶点，
即m－2＝－4，则m＝－2；
当m＞2时，P点右侧部分最低点为点P，设P(m， m2－m－3)，
即 m2－m－3＝m－2，
解得m＝4±2 (负值舍去)，
故m＝4＋2 ，
综上所述，m的值为－2或4＋2 .
抛物线y＝ x2＋bx－3与直线y＝x－3相交，其中一个交点为A，点A的
横坐标为8.点P为抛物线上动点，其横坐标为m.
(3)过点P作y轴的平行线交直线y＝x－3于点Q，以PQ为边作矩形，称
该矩形是点P的“缩放矩形”.
①记点P的“缩放矩形”的面积为S，当0＜m＜8，
点P的“缩放矩形”中PQ的对边所在直线为x＝m＋2
时，求S关于m的函数解析式；
解：(3)①记点P的“缩放矩形”为矩形PQMN，则点N的横坐标为m
＋2，
∵P(m， m2－m－3)，Q(m，m－3)，
∴PQ＝m－3－( m2－m－3)＝－ (m－4)2＋4，
∴S矩形PQMN＝PN·PQ＝2×[－ (m－4)2＋4]＝－ (m－4)2＋8；
即S关于m的函数解析式为S＝－ (m－4)2＋8；
抛物线y＝ x2＋bx－3与直线y＝x－3相交，其中一个交点为A，点A的
横坐标为8.点P为抛物线上动点，其横坐标为m.
(3)过点P作y轴的平行线交直线y＝x－3于点Q，以PQ为边作矩形，称
该矩形是点P的“缩放矩形”.
②当点P的“缩放矩形”中PQ的对边所在直线为x＝
1－2m，抛物线在点P的“缩放矩形”内部的函数值
y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.
解：② ＜m＜8或－ ≤m＜0
【解法提示】记点P的“缩放矩形”为矩形PQMN，则点N的横坐标为1－2m，Ⅰ：当1－2m＞m时，即m＜ 时，即P点在N点左边，又当0＜m＜ 时，矩形PQMN内部无抛物线经过，则当m＜0时，
∵P(m， m2－m－3)，Q(m，m－3)，点N的横
坐标为1－2m，故点M的坐标为(1－2m，m－3)，
如解图①所示，当抛物线过点M时，满足物线在
矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小，
解图①
则m－3＝ (1－2m)2－(1－2m)－3，整理可得m2＝ ，从而可得m＝± (正根舍去)，故m＝－ ，即－ ≤m＜0；Ⅱ：当1－2m＜m时，即m＞ 时，即P点在N点右边，抛物线在矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小，如解图②所示，当m＝8时，无法构成矩形；
当m＞8时，在矩形PQMN内部包含了y随x的增大而
增大的图象，故不符合题意，∴ ＜m＜8，综上所述，
m的取值范围为 ＜m＜8或－ ≤m＜0.
解图②
3. 已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n经过点A(－4，0)和B(p，0)(p＞－4)，
与y轴交于点C.
(1)当p＝2时.
①求m，n的值；
解：(1)①当p＝2时，B(2，0)，
由题可知－ ＝－4＋2，
＝(－4)×2，解得m＝－1，n＝4，
∴m的值为－1，n的值为4；
已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n经过点A(－4，0)和B(p，0)(p＞－4)，与
y轴交于点C.
(1)当p＝2时.
②点M是抛物线第二象限上的点，连接BM，当∠MBA＝45°时，求点
M的坐标；
解：②由①知抛物线为y＝－ x2－x＋4，
∵点A，B在x轴上，点M在第二象限，∠MBA＝45°，
∴直线BM的解析式为y＝－x＋2，
∴设点M的坐标为(q，－q＋2)，其中－4＜q＜0，
∴－q＋2＝－ q2－q＋4，
解得q1＝2(舍去)，q2＝－2，∴点M的坐标为(－2，4)；
已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n经过点A(－4，0)和B(p，0)(p＞－4)，与
y轴交于点C.
(2)定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交
点坐标为(0，c)，那么我们把经过点(0，c)且平行于x轴的直线称为这条
抛物线的“最美分割线”.已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n的“最美分割
线”与抛物线的另一个交点为D，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交
抛物线的对称轴于点F. 直线MN与直线EF关于这条抛物线的“最美分
割线”对称，记抛物线的顶点为P，点P到直线MN的距离为d.
①求d关于m的函数解析式；
解：(2)①∵点P为该抛物线的顶点，
∴点P的坐标为(－ ， )即P(m， m2＋n)，
∵抛物线与y轴交于点C(0，n)，
∴“最美分割线”的解析式为y＝n，
∵直线EF垂直平分OC，
∴OC中点E的坐标为(0， )，
又∵直线EF平行于x轴，∴yEF＝ ，
又∵直线MN与直线EF关于这条抛物线的“最美分割线”对称，
∴yMN＝ ，∴d＝｜ － m2－n｜，
将A(－4，0)代入抛物线y＝－ x2＋mx＋n得－ ×(－4)2－4m＋n＝
0，
解得n＝4m＋8，
将n＝4m＋8代入得d＝ ｜－m2＋4m＋8｜，
∴d关于m的函数解析式为d＝ ｜－m2＋4m＋8｜；
已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n经过点A(－4，0)和B(p，0)(p＞－4)，与
y轴交于点C.
(2)定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交
点坐标为(0，c)，那么我们把经过点(0，c)且平行于x轴的直线称为这条
抛物线的“最美分割线”.已知抛物线y＝－ x2＋mx＋n的“最美分割
线”与抛物线的另一个交点为D，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交
抛物线的对称轴于点F. 直线MN与直线EF关于这条抛物线的“最美分
割线”对称，记抛物线的顶点为P，点P到直线MN的距离为d.
②当点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离之比为3∶2时，求m
的值.
解：②由题知－4＋p＝－ ＝2m，
∴p＝2m＋4，∴点B的坐标为(2m＋4，0)，
∵p＞－4，
∴2m＋4＞－4，解得m＞－4，
由①知，yEF＝ ＝2m＋4，d＝ ｜－m2＋4m＋8｜，
∵点B在x轴上，
∴点B到直线EF的距离为2｜m＋2｜，∴ ＝
即 ＝ ，
∴｜－m2＋4m＋8｜＝6｜m＋2｜，
当－m2＋4m＋8＝6(m＋2)时，化简得－m2－2m－4＝0，
b2－4ac＝(－2)2－4×(－1)×(－4)＝－12＜0，无实根；
当－m2＋4m＋8＝－6(m＋2)时，化简得m2－10m－20＝0，
解得m＝5＋3 或m＝5－3 (均符合m＞－4)；
综上所述，m的值为5＋3 或5－3 .
类型二　通过“平移”构造新函数
(省卷：2024.24)
4. 在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝－x2－2x＋c与x轴交于
A(xA，0)，B(xB，0)两点，与y轴交于点C，xB－xA＝4.
(1)求c的值；
解：(1)∵抛物线L：y＝－x2－2x＋c与x轴交于A，B两点，抛物线
L：y＝－x2－2x＋c的对称轴为直线x＝－ ＝－1，
∴ ＝－1，即xB＋xA＝－2，
联立 ，解得 ，
∴A(－3，0)，B(1，0)，
将A(－3，0)代入y＝－x2－2x＋c中，得－9＋6＋c＝0，
解得c＝3；
在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝－x2－2x＋c与x轴交于A(xA，
0)，B(xB，0)两点，与y轴交于点C，xB－xA＝4.
(2)如图①，点D是第二象限内抛物线上一动点，连接OD交直线AC于点
E，求 的最大值；
解：(2)如解图①，过点D作DF∥y轴，
交AC于点F，
设D(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，
由(1)知，A(－3，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为y＝x＋3，
解图①
∴F(t，t＋3)，
∴DF＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t，
∵DF∥y轴，
∴△OCE∽△DFE，
∴ ＝ ＝ ＝－ ＋ ，
∵－ ＜0，－3＜t＜0，
∴当t＝－ 时， 取得最大值，最大值为 ；
解图①
在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝－x2－2x＋c与x轴交于A(xA，
0)，B(xB，0)两点，与y轴交于点C，xB－xA＝4.
(3)如图②，点H(0，1)，连接BH，将△BOH沿x轴向左平移得到
△B'O'H'，设平移距离为m(0＜m＜3)，△B'O'H'与△AOC重叠部分
的面积为S.
①求S关于m的函数解析式；
解：(3)①由(2)知，直线AC的解析式为y＝x＋3，
当y＝1时，x＝－2，
ⅰ.当0＜m＜1时，如解图②，设B'H'与y轴的交点为
M，重叠部分是四边形OMH'O'，
∵H(0，1)，B(1，0)，
∴易得△BOH为等腰直角三角形，
∵OO'＝m，OB'＝OM＝1－m，O'H'＝OH＝1，
∴S＝ (OM＋O'H')·OO'＝ (1－m＋1)·m＝－ m2
＋m.
解图②
ⅱ.当1≤m≤2时，重叠部分是△B'O'H'，
∴S＝ ×1×1＝ ；
ⅲ.当2＜m＜3时，如解图③，设B'H'与直线AC交于
点M'，O'H'与直线AC交于点N，
重叠部分是四边形B'M'NO'，过点H'作H'P∥x轴交AC于点P，则H'P＝m－2，
∵H'P∥x轴，OA＝OC，
∴∠H'NM'＝∠H'PM'＝45°，
解图③
∴H'M'＝ ＝M'N，∴S△H'M'N＝ × ＝ ，
∴S＝S△B'O'H'－S△H'M'N＝ － ＝－ m2＋m－ ，
综上所述，S关于m的函数解析式为
S＝ ；
解图③
在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝－x2－2x＋c与x轴交于A(xA，
0)，B(xB，0)两点，与y轴交于点C，xB－xA＝4.
(3)如图②，点H(0，1)，连接BH，将△BOH沿x轴向左平移得到
△B'O'H'，设平移距离为m(0＜m＜3)，△B'O'H'与△AOC重叠部分
的面积为S.
②当S＜ S△BOH时，求平移距离m的取值范围.
解：②由①，画出S关于m的函数图象如解图④，
∵H(0，1)，B(1，0)，
∴易得S△BOH＝ ，∴ S△BOH＝ ，
将S＝ 代入S＝－ m2＋m(0＜m＜1)中，
得－ m2＋m＝ ，
解得m＝1＋ (舍去)或m＝1－ ，
结合图象得m的取值范围为0＜m＜1－ ，
解图④
将S＝ 代入S＝－ m2＋m－ (2＜m＜3)中，
得－ m2＋m－ ＝ ，
解得m＝2＋ 或m＝2－ (舍去)，
结合图象得m的取值范围为2＋ ＜m＜3，
∴当S＜ S△BOH时，平移距离m的取值范围为0＜
m＜1－ 或2＋ ＜m＜3.
解图④
5. (2024省卷24题)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴
交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(1)求b的值；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，
∴0＝－1－b＋3，解得b＝2；
在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；
解：(2)如解图①，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵b＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
令y＝0，则－(x－1)2＋4＝0，解得x＝－1或x＝3，
令x＝0，则y＝3，
解图①
∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴OC＝3.
设M(m，－m2＋2m＋3)，0＜m＜3，
∵∠MAB＝∠ACO，∠MNA＝∠AOC，
∴△MAN∽△ACO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得m＝ 或－1(舍去)，
∴点M的横坐标为 ；
解图①
在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N. 设L的顶点横坐标为n，NC的长为d.
①求d关于n的函数解析式；
解：(3)①∵二次函数沿水平方向平移，得到新抛物线L，
∴图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，
∴N(0，－n2＋4)，
当点N在点C的上方时，NC＝－n2＋1；
当点N在点C的下方时，NC＝n2－1.
令NC＝0，解得n＝1或n＝－1.
∴d关于n的函数解析式为d＝ ；
在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)和
点B，与y轴交于点C.
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点
N. 设L的顶点横坐标为n，NC的长为d.
②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域(不含边界)记
为W. 当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的
点时，直接写出n的取值范围.
解：②n的取值范围为－1≤n≤1－ 或 ≤n＜ .
解图②
【解法提示】作出函数图象如解图②，∵d随n的增大而增大，
∴－1≤n≤0或n≥ 1，△ABC中含(0，1)，(0，2)，(1，1)三个整数点
(不含边界)，当W内恰有2个整数点(0，1)，(0，2)时，如解图③，
解图③
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，∴ ，
∴－ ＜n＜ ，n≥ 1＋ 或n≤1－ ，∴－ ＜n≤1－ ，
∵－1≤n≤0或n≥ 1，∴－1≤n≤1－ ；当W内恰有2个整数点
(0，1)，(1，1)时，如解图④，
解图④
当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，
∴ ，∴－ ＜n≤－ 或
≤n＜ ，1－ ＜n＜1＋ ，∴ ≤n＜
，∵－1≤n≤0或n≥ 1，∴ ≤n＜ ；
当W内恰有2个整数点(0，2)，(1，1)时，此情况不存
在，舍去，综上所述，n的取值范围为－1≤n≤1
－ 或 ≤n＜ .
解图④
6. (2025十堰模拟)抛物线y＝x2－(m＋3)x＋3m与x轴交于点A和点B，
与y轴交于点C.
(1)若点A(－1，0)，求m的值；
解：(1)∵抛物线y＝x2－(m＋3)x＋3m与x轴交于点A和点B，将点
A(－1，0)代入得1＋(m＋3)＋3m＝0，
解得m＝－1；
抛物线y＝x2－(m＋3)x＋3m与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C. (2)如图，在(1)的条件下，点D(－3，t)是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，求四边形BDCM的面积为S最大值及此时点M的坐标；
解：(2)点D(－3，t)是抛物线y＝x2－2x－3上一点，
代入得t＝12，∴D(－3，12)，
抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A和点B，
与y轴交于点C.
当y＝0时，则x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
当x＝0时，得y＝－3，
∴B(3，0)，C(0，－3)，∴AB＝4，
设CD所在直线的解析式为y＝kx－3(k≠0)，
将点D的坐标代入得－3k－3＝12，
解得k＝－5，
∴CD所在直线的解析式为y＝－5x－3，
当y＝0时，则－5x－3＝0，解得x＝－ ，
∴S△BDC＝ ×(3＋ )×(12＋3)＝27，
如解图，过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，
设直线BC的解析式为y＝k1x＋b(k1≠0)，将点B，C的坐标分别代入得
，
解得 ，
∴y＝x－3，
解图
设M(a，a2－2a－3)，则Q(a，a－3)，0＜a＜3，
∴MQ＝－a2＋3a，
∴S△BCM＝ ×3×(－a2＋3a)＝－ ＋ ，
∴S四边形BDCM＝S△BDC＋S△BCM＝27－ ＋ ，
∵－ ＜0，0＜a＜3，
∴当a＝ 时，S有最大值，最大值为27＋ ＝ ，
此时M(，－ )；
解图
抛物线y＝x2－(m＋3)x＋3m与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
(3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为－9，作直线PC，
将直线PC向下平移n(n＞0)个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物
线有且仅有一个交点.
①直接写出n关于m的函数关系式；
解：(3)①n＝ (m－3)2；
【解法提示】y＝x2－(m＋3)x＋3m的对称轴为直线x＝ ，
∴P(，－9)，设直线PC的解析式为y＝k'x＋b'，将点P，C的坐标分
别代入得 解得 ，∴y＝－6x＋3m，
∴直线PC平移后的直线P'C'的解析式为y＝－6x＋3m－n，联立
，整理得x2－(m－3)x＋n＝0，
∵直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点，∴b2－4ac＝(m－3)2－4n＝0，∴n＝ (m－3)2；
抛物线y＝x2－(m＋3)x＋3m与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
(3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为－9，作直线PC，
将直线PC向下平移n(n＞0)个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物
线有且仅有一个交点.
②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围.
解：②当1≤n≤5时m的取值范围为－2 ＋3≤m≤1或5≤m≤2
＋3.
【解法提示】当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2 ＋3或m
＝－2 ＋3，∴－2 ＋3≤m≤1或5≤m≤2 ＋3.
类型三　通过“对称”构造新函数
7. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A
(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式；
解：(1)由题意，得 ，
解得 ，
∴y＝－x2＋3x＋4；
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B
(4，0)，与y轴交于点C.
(2)若点E为线段BC上任意一点(不与端点重合)，过点E
作y轴的平行线交抛物线于点F，作线段EF关于抛物线
对称轴的对称线段HG(点E的对应点为点H，点F的对
应点为点G)，连接EH，FG，设点E的横坐标为m，
四边形EFGH的周长为L.
①求L关于m的函数解析式；
解：(2)①抛物线y＝－x2＋3x＋4的对称轴为直线x＝ ，与y轴交于点
C(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，
易得直线BC的解析式为y＝－x＋4，
∴设E(m，－m＋4)，
∵线段EF与线段HG关于抛物线对称轴对称，
∴EH∥FG∥x轴，点G在抛物线上，
又∵EF∥y轴，
∴EF⊥EH，EF⊥FG，GH⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∴F(m，－m2＋3m＋4)，G(3－m，－m2＋3m＋4)，
∴EF＝yF－yE＝－m2＋4m，
分以下两种情况讨论：
当0＜m＜ 时，点E在点H左侧，如解图①，FG＝
3－2m，L＝2(EF＋FG)＝－2m2＋4m＋6，
解图①
当 ＜m＜4时，点E在点H右侧，如解图②，FG＝2m－3，L＝2(EF
＋FG)＝－2m2＋12m－6，
∴L＝ ；
解图②
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，
B(4，0)，与y轴交于点C.
(2)若点E为线段BC上任意一点(不与端点重合)，过点E作y轴的平行线
交抛物线于点F，作线段EF关于抛物线对称轴的对称线段HG(点E的对
应点为点H，点F的对应点为点G)，连接EH，FG，
设点E的横坐标为m，四边形EFGH的周长为L.
②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的
位置，请直接写出t的取值范围.
解：②7.5＜t＜8.
【解法提示】L关于m的函数图象如解图③所示，当0＜m＜ 时，L＝－2m2＋4m＋6＝－2(m－1)2＋8，∴6＜L≤8；当m＝ 时，L＝－2× ＋4× ＋6＝7.5；当 ＜m＜4时，L＝－2m2＋12m－6＝－2(m－3)2＋12，∴7.5＜m≤12；当m＝4时，L＝－2×42＋12×4－6＝
10；由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围为7.5＜t＜8.
解图③
8. 如图，已知抛物线L：y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，
与y轴交于点C(0，－3).M是抛物线的顶点.
(1)求a，c的值；
解：(1)将点A(－1，0)，点C(0，－3)代入抛物线L，得
，
解得 ，
∴a的值为1，c的值为－3；
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已知抛物线L：y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C(0，－3).M是抛物线的顶点.
(2)连接MB，MC，求四边形BOCM的面积；
解：(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2－2x－3，
令y＝0，解得x＝－1或x＝3，
∵A(－1，0)，∴点B的坐标为(3，0)，
∵点M为抛物线的顶点，∴点M的坐标为(1，－4)，
如解图，连接OM，
∵S△BOM＝ ×3×4＝6，S△COM＝ ×3×1＝ ，
∴S四边形BOCM＝S△BOM＋S△COM＝6＋ ＝ ；
解图
已知抛物线L：y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交
于点C(0，－3).M是抛物线的顶点.
(3)作抛物线L关于直线y＝m的对称抛物线L'，L'的顶点为M'，设直线y
＝m与x轴的距离为h，记f＝h·MM'.
①求f关于m的函数解析式；
解：由(2)知，M(1，－4)，
∴点M关于y＝m的对称顶点M'的坐标为(1，2m＋4)，
∴MM'＝｜2m＋4－(－4)｜＝｜2m＋8｜，
∵直线y＝m与x轴的距离为h＝｜m｜，
∴f＝h·MM'＝｜m｜·｜2m＋8｜＝2｜m2＋4m｜，
∴f关于m的函数解析式为f＝ ；
已知抛物线L：y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交
于点C(0，－3).M是抛物线的顶点.
(3)作抛物线L关于直线y＝m的对称抛物线L'，L'的顶点为M'，设直线y
＝m与x轴的距离为h，记f＝h·MM'.
②点P是抛物线L上的动点，横坐标为m，点Q是抛物
线L上一点，点Q的横坐标为m＋2，当f随m的增大
而增大时，抛物线L在P，Q之间的部分的最大值
与最小值的差为2，求m的值.
解：②由题知，点Q的坐标为(m＋2，m2＋2m－3)，点P的坐标为
(m，m2－2m－3)，由①可得，
f＝ ，
∴当m≥0或－4＜m≤－2时，f随m增大而增大，
由(1)知，抛物线解析式为y＝x2－2x－3，
∴对称轴为直线x＝1，
当－4＜m≤－2时，－2＜m＋2≤0，点P，Q均在对称轴左侧，此时y
随x的增大而减小，
∴ymin＝yQ＝m2＋2m－3，ymax＝yP＝m2－2m－3，
∴ymax－ymin＝m2－2m－3－(m2＋2m－3)＝－4m＝2，解得m＝
－ (舍去)；
当0≤m≤1时，2≤m＋2≤3，点P，Q在对称轴两侧，
∴ymin＝－4，ymax＝yQ＝m2＋2m－3，
∴ymax－ymin＝m2＋2m－3－(－4)＝(m＋1)2＝2，解得
m＝ －1或m＝－ －1(舍)；
当m＞1时，m＋2＞3，点P，Q均在对称轴右侧，
∴ymax＝yQ＝m2＋2m－3，ymin＝yP＝m2－2m－3，
∴ymax－ymin＝m2＋2m－3－(m2－2m－3)＝4m＝2，解得m＝ (舍
去)；
综上所述，m的值为 －1.
类型四　通过“线段关系”构造新函数
(省卷：2025.24)
9. (2025黄冈模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)
在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交
点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m.
(1)求该抛物线的解析式；
解：(1)∵在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)在抛物线
y＝－x2＋bx＋c上，
∴把点A，点B的坐标代入，得 ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一
点，其横坐标为m.
(2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得∠ABO＝∠MDA，
MD交y轴于点F，求点M的坐标；
解：(2)当y＝0时，解得x＝－1或x＝3，
∵A(－1，0)
∴D点坐标为(3，0)，OA＝1，
∵B(0，3)，
∴OB＝OD＝3，
在△ABO和△FDO中， ，
∴△ABO≌△FDO(ASA)，
∴OF＝OA＝1，
∴F(0，1)，
设直线DF的解析式为y＝kx＋b，把点D，点F的坐标代入，
得 　解得 ，
∴直线DF的解析式为y＝－ x＋1，
联立，得 ，
解得 或 ，
∵D(3，0)，∴M点坐标为(－ ， )；
该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一
点，其横坐标为m.
(3)当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间(包含点B
和点P)的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为
d，n，设F＝d－n.
①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
解：F关于m的函数解析式为F＝ ；
【解法提示】由(1)知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点C为
(1，4)，设P点坐标为(m，－m2＋2m＋3)，如解图，过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴直线x＝1对称，∴E点坐标为
(2，3)，①(ⅰ)当点P在点B和点C之间，即0＜m＜1时，d＝－m2＋2m＋
3，n＝3，F＝d－n＝－m2＋2m；(ⅱ)②当点P在点C和点E之间，即1≤m≤2时，d＝4，n＝3，F＝d－n＝1；
(ⅲ)当点P在第一象限且在点E下方，即2＜m＜3时，
d＝4，n＝－m2＋2m＋3，F＝d－n＝4－
(－m2＋2m＋3)＝m2－2m＋1；
解图
(ⅳ)当点P在x轴及第四象限时，即m≥ 3时，d＝4，n＝｜－m2＋2m＋
3｜＝m2－2m－3，F＝d－n＝4－(m2－2m－3)＝－m2＋2m＋7；
综上，F＝ ；
解图
该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一
点，其横坐标为m.
(3)当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间(包含点B和点P)的部分的
最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，设F＝d－n.
②当F＝1时，直接写出m的取值范围.
解：②m的取值范围为1≤m≤2或m＝1＋ .
【解法提示】当0＜m＜1时，F＝－m2＋2m＝1，解得m＝1(舍去)；当
1≤m≤2时，F＝1都符合题意；当2＜m＜3时，F＝m2－2m＋1＝1，
解得m＝0(舍去)或m＝2(舍去)；当m≥3时，F＝－m2＋2m＋7＝1，解
得m＝1－ (舍去)或m＝1＋ ；综上所述，m的取值范围为1≤m≤2
或m＝1＋ .
10. (2025襄阳模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴
交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线
上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴将A，B坐标代入，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－4；
几何画板动态演示
温馨提示：点击查看原文件
抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于
点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标
为m.
(2)如图 ，连接PA，若∠PAB＝∠OCB，求m的值；
解：(2)如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，
∴∠AEP＝90°，
∵点P的横坐标为m，且在抛物线y＝ x2－ x－4的
图象上，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的动
点，
∴－1＜m＜3且m≠0，
∴点E的横坐标为m，P(m， m2－ m－4)，
解图①
当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4)，
∵A(－1，0)，B(3，0)
∴AE＝m＋1，PE＝－ m2＋ m＋4，OB＝3，OC＝4，
∵∠PAB＝∠OCB，∴tan∠PAB＝tan∠OCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理，得16m2－23m－39＝0，
解得m1＝ ，m2＝－1(舍去)，∴m的值为 ；
解图①
抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于
点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标
为m.
(3)过点P分别作x轴，y轴的平行线交直线BC于点M，
N，△PMN的周长记为l.
①求l关于m的函数解析式；
解：①如解图②，当点P在BC下方，即0＜m＜3时，
由(2)得，C(0，－4)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋n，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x－4，
解图②
设P(m， m2－ m－4)，
∵PM∥x轴，PN∥y轴，
∴M(m2－2m， m2－ m－4)，N(m， m－4)，
∴PM＝m－m2＋2m＝3m－m2，PN＝ m－4－( m2－ m－4)＝4m
－ m2，
＝
＝5m－ m2，
∴△PMN的周长l＝PM＋PN＋MN＝3m－m2＋
4m－ m2＋5m－ m2＝－4m2＋12m；
∴MN＝
解图②
如解图③，当点P在BC上方，即－1＜m＜0时，
由上可知，直线BC的解析式为y＝ x－4，
设P(m， m2－ m－4)，
∵PM∥x轴，PN∥y轴，
∴M(m2－2m， m2－ m－4)，N(m， m－4)，
∴PM＝m2－2m－m＝m2－3m，PN＝ m2－ m－4－( m－4)＝ m2
－4m，
解图③
∴MN＝
＝
＝ m2－5m，
∴△PMN的周长l＝PM＋PN＋MN＝m2－3m
＋ m2－4m＋ m2－5m＝4m2－12m，
∴l关于m的函数解析式为l＝
解图③
抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于
点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标
为m.
(3)过点P分别作x轴，y轴的平行线交直线BC于点M，
N，△PMN的周长记为l.
②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，
它们的横坐标分别为m1，m2(m1＜m2)满足m1＋m2＝2，
请求出此时l的值.
解：②由①得，l＝ ，
∵m1＋m2＝2，m1＜m2，
∴m2＝2－m1，
当－1＜m＜0时，2＜2－m1＜3，
∴12(2－m1)－4 ＝4 －12m1，
整理，得 －2m1－1＝0，
解得m1＝1± ，
由题意，舍去正值，则m1＝1－ ，
∴m2＝1＋ ，
此时l＝4 －12(1－ )＝4(3－2 )－12＋12 ＝12－8 －
12＋12 ＝4 ；
当0＜m1＜3时，2－m1＞m1，
∴0＜m1＜1，1＜2－m1＜2，
∴12(2－m1)－4·(2－m1)2＝12m1－4 ，
解得m1＝1(舍)；
综上，l的值为4 .
11. (2025咸宁模拟)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A
(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，连接AC，作直线BC.
(1)直接写出结果：b＝ ，c＝ ，直线BC的解析式为
；
3　
4　
y＝－x＋4
【解法提示】∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，
B两点，与y轴交于点C(0，4)，∴ ，解得
∴y＝－x2＋3x＋4，令y＝0，－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，
∵A(－1，0)，∴B(4，0)，
∵C(0，4)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4；
抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点
C(0，4)，连接AC，作直线BC.
(2)如图①，D是y轴上一点，且满足∠BAD＋∠ACO＝∠BAC，求点D
的坐标；
解：(2)当点D在y轴正数轴时，
∵C(0，4)，A(－1，0)，∴OC＝4，OA＝1，
∵∠BAD＋∠ACO＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠ACO，且点D在点C下方，
∴DA＝DC，
设D(0，t)，则DA＝DC＝4－t，OD＝t，
在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2，
∴1＋t2＝(4－t)2，解得t＝ ，
∴D(0， )；
当点D在y轴负半轴时，由对称性可知，D(0，－ )；
∴D(0， )或D(0，－ )；
抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点
C(0，4)，连接AC，作直线BC.
(3)如图②，若P是点A(含点A)右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为
m，PM平行于y轴交直线BC于点M，PN平行于x轴交直线BC于点N.
记d＝PM＋PN.
①求d关于m的函数解析式；
解：①∵B(4，0)，
∴OB＝OC＝4，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∵PM∥y轴，PN∥x轴，
∴∠PMN＝∠BCO＝45°，∠PNM＝∠OBC＝45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝PN，
∵点P的横坐标为m(m≥－1)，
∴P(m，－m2＋3m＋4)，则M(m，－m＋4)，
当－1≤m≤0时，PM＝－m＋4－(－m2＋3m＋4)＝m2－4m，
∴d＝PM＋PN＝2PM＝2m2－8m，
当0＜m≤4时，PM＝－m2＋3m＋4－(－m＋4)＝－m2＋4m，
∴d＝2PM＝－2m2＋8m，
当m＞4时，PM＝－m＋4－(－m2＋3m＋4)＝m2－4m，
∴d＝2(m2－4m)＝2m2－8m，
∴d＝
抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点
C(0，4)，连接AC，作直线BC.
(3)如图②，若P是点A(含点A)右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为
m，PM平行于y轴交直线BC于点M，PN平行于x轴交直线BC于点N.
记d＝PM＋PN.
②结合图象，直接写出当d随m的增大而增大时自变量
m的取值范围.
解：②0≤m≤2或m≥4.
【解法提示】d关于m的函数图象如解图，
∴由图象得，当d随m的增大而增大时自变量m的取值范围为0≤m≤2
或m≥4.
解图
Thanks!
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