资源简介

(共81张PPT)
专题八　综合与实践
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.
解题策略
例1 (2025·达州) 项目调研
类型一
统计与概率问题
项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员 数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
调研内容 　　阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A.张爱萍故居；B.王维舟纪念馆；C.万源保卫战纪念馆；D.广子村农业示范园；E.开江白宝塔.
　　数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告(每位学生只能选1个研学基地)
统计数据
请阅读上述材料，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是__________；
解：被调查参加研学的学生共有20÷10%
＝200(名)，其中参加D研学基地的有200×
15%＝30(名)，参加A研学基地的有200－
50－40－30－20＝60(名)，补图如图所示.　
90°
(2)若该校共有2 000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
解：2 000×＝600(名).
所以估计全校参加A研学基地的学生有600名.
(3)甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率.
解：画树状图如图所示.由图可知，共有6种等可能的结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果有2种，则两位同学选择相同研学基地的概率为.
1.(2025·遂宁) DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启我国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
针对训练
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识.
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集 与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89. 解：B组的人数为50×30%＝15.补全频数分布直方图如图所示.
数据分析 与应用 根据以上信息解决下列问题：
(1)本次共抽取了_________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是__________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为__________；
(2)请补全频数分布直方图；
50
83.5
144°
解：[1 200×＝720(人).]
数据分析 与应用 (3)估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的有__________人；
720
解：画树状图如图所示.由图可知，共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为.
数据分析 与应用 (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
例2 (2025·南充) 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并解决相关问题.
类型二
实际应用类问题
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆.
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动的师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
解：设A型客车每辆载客量是x人，则B型客车每辆载客量是(x－15)人.根据题意，得.解得x＝60.经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意.∴x－15＝60－15＝45(人).
答：A型客车每辆载客量是60人，B型客车每辆载客量是45人.
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少
解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10－m)辆.根据题意，得60m＋45(10－m)≥530.解得m≥.又m≤8，∴≤m≤8.设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8(10－m)＝－50m2＋800m＋24 000，其图象开口向下，对称轴为直线m＝－＝8.∴当m≤8时，w随着m的增大而增大.∵m取正整数，且≤m≤8，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为－50×62＋800×6＋24 000＝27 000(元).
答：本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元.
2.(2025·云南) 请你根据下列素材，完成有关任务.
针对训练
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元.根据题意，得
解得
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元.
任务 任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元
解：设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60－m)个排球.
根据题意，得w＝150m＋100(60－m)＝50m＋6 000.∵50＞0，∴w随m的增大而增大.
由60－m≤2m，解得m≥20.∴当m＝20时，w取得最小值，此时60－m＝60－20＝40(个).
答：最节省费用的购买方案是购买20个篮球和40个排球.
任务 任务二 给出最节省费用的购买方案.
3.(2025·新疆)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验 过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上)； 2.测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4.向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离； 5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG.
实验 图示 测量 数据 1.AD＝4 m；
2.BD＝10 m；
3.BH＝13.5 m；
4.∠EFG＝43°；
5.∠MNG＝21.8°.
备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AE，CD，FB，NH均与地面垂直. 参考数据：sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40； sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93. 请你根据以上实验过程和测量的数据，
计算校徽的高度EM.
解：由题意，得四边形FGAB，四边
形NHAG都是矩形.
∴FG＝AB＝AD＋BD＝4＋10＝14(m)，NG＝AH＝AD＋DB＋BH＝4＋10＋13.5＝27.5(m).
在Rt△EFG中，tan∠EFG＝，∴tan 43°＝≈0.93.∴EG≈14×0.93＝13.02(m).
在Rt△MNG中，tan∠MNG＝，
∴tan 21.8°＝≈0.40，∴MG≈
27.5×0.40＝11(m).
∴EM＝EG－MG≈13.02－11＝2.02(m).
答：校徽的高度EM约为2.02 m.
4.(2025·达高三诊) 为加快乡村振兴，提升人民幸福感.某村安装如图所示的户外太阳能路灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝120°，小娜同学想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：
测量项目 测量数据 图示
在D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝30°
在E处测得灯管支架C处仰角β β＝60° 点D到灯杆底A的水平距离 点E到灯杆底A的水平距离 AE＝6.00 m 求灯管支架BC的长度.(参考数据：≈1.732，结果保留到0.01 m)
解：根据题意，得AB⊥AD，α＝∠D＝30°，
AD＝9 m，tan D＝tan 30°＝.
∴AB＝AD＝×9＝9(m).
过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥CF于点G，则∠CFA＝∠CFE＝90°，∠BGF＝∠BGC＝90°.∴∠A＝∠AFG＝∠BGF＝90°.∴∠ABG＝90°，FG＝AB＝9 m，AF＝BG.
∴∠CBG＝∠ABC－∠ABG＝120°－90°＝30°.
设AF＝BG＝x m.∴EF＝AE－AF＝(6－x) m.在Rt△CFE中，β＝∠CEF＝60°，
∴∠ECF＝30°.∴CE＝2EF＝2(6－x) m.
∴CF＝EF＝(6－x) m.
∵∠CBG＝30°，∴CG＝x m.
∵CG＋GF＝CF，∴x＋9＝(6－x).∴x＝.
∴BG＝ m.
∵cos∠CBG＝cos 30°＝，
∴BC＝BG＝×
≈≈0.70(m).
答：灯管支架BC的长度约为0.70 m.
例3 (2023·达州) 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL＝2 Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
类型三
跨学科融合问题
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a＝__________，b＝__________；
2
1.5
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y＝(x≥0)，结合表格信息，探究函数y＝(x≥0)的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝(x≥0)
的图象；
解：对应函数的图象如图中曲线所示.　
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是__________；
不断减小
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为_________________.
x≥2或x＝0
5.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管倾斜角α为10°，AB＝30 cm，BE＝AB.
针对训练
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
解：过点E作EG⊥AC于点G，则CD＝GE.
∵AB＝30 cm，BE＝AB，∴BE＝10 cm，
AE＝20 cm.
∵∠AEG＝α＝10°，∴GE＝AE·cos α＝
20×cos 10°≈19.6(cm).∴CD≈19.6 cm.
答：CD的长度约为19.6 cm.
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F(点C，D，N，F在一条直线上)，测得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°.求线段DN的长度.(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
解：过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于
点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，则PD＝
BH，QH＝MN＝8 cm，BP＝DH，QM＝HN.
∵BP＝BE·cos α＝10×cos 10°≈9.8(cm)，
EP＝BE·sin α＝10×sin 10°≈1.7(cm)，
∴DH≈9.8 cm.∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE
－EP≈21.7－1.7＝20(cm).∴BH≈20 cm.
∵QH＝8 cm，∴BQ＝BH－QH≈20－8＝
12(cm).
∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－α－90°＝145°－10°－90°＝45°.
∴QM＝BQ≈12 cm.∴HN≈12 cm.∴DN＝DH＋HN≈9.8＋12＝21.8(cm).
答：线段DN的长度约为21.8 cm.
类型四
实践操作类问题
例4 (2025·眉山) 综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C
的直线折叠，使点B落在边AD上的点B'处，折痕
交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D
落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展
平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连接
B'E，B'C，D'F.
【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.
创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：
由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F＝∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB＝∠BCB'.
由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C＝∠BCB'.
∴①__________________.∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系
为②__________.
∠ECB'＝∠CB'F
BE＝CF
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论.
方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造
平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.
解：(答案不唯一)选择方法二：图1中，过点B作B'G∥AB交CE于点G，则B'G∥AB∥CD.
∵CE∥B'F，∴四边形CFB'G为平行四边形.
∴B'G＝CF.
∵AB∥B'G，∴∠B'GE＝∠BEC.由折叠可知
∠B'EC＝∠BEC，B'E＝BE.
∴∠B'GE＝∠B'EC.∴B'E＝B'G.∴B'E＝CF.∴BE＝CF.
【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB
＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G
∥AB交CE于点G，连接D'G.当△B'D'G为直角
三角形时，求出BE的长.
解：∵B'G∥AB，∴∠GB'D＝∠A＝90°.
由(2)可知B'E＝CF.易得CD'＝AB'，△AB'E≌△D'CF(AAS).∴D'F＝AE.
设BE＝x，则B'G＝B'E＝CF＝x，D'F＝AE＝AB－BE＝6－x.
∴CD'＝AB'＝.
当∠B'GD'＝90°时，△B'D'G为直角三角形.
∴∠GB'D＋∠B'GD'＝180°.
∴GD'∥AD∥BC.∴∠D'GC＝∠ECB.
又∵∠GCD'＝∠ECB，∴∠D'GC＝∠GCD'.
∴D'G＝D'C＝.
∵B'G∥AB∥CD，∴∠GB'D'＝∠FCD'.
∴在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中，tan∠GB'D'＝tan∠FCD'.
∴，即.
∴x(6－x)＝12x－36.
解得x＝3－3或x＝－3－3(舍去).
∴BE＝3－3；
当∠GD'B'＝90°时，如答图，∵∠B'D'F＝∠D＝90°，
∴∠GD'B'＋∠B'D'F＝180°.∴G，D'，F三点共线.∴B'C⊥GF.
∵四边形CFB'G是平行四边形，∴四边形CFB'G是菱形.
∴∠GCD'＝∠FCD'.∵∠GCD'＝∠GCB，
∴∠GCD'＝∠GCB＝∠FCD'＝30°.
∴CF＝2D'F.
设CF＝a，则DF＝D'F＝6－a.∴a＝2(6－a).
解得a＝4.∴BE＝CF＝4.
综上所述，BE的长为3－3或4.
6.某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长)进行探究活动.
针对训练
【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平.
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平.
第三步，连接GF.
【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形.　　　　
乙同学的结论：tan∠AFG＝.
(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
解：甲同学和乙同学的结论都正确.证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝
90°.由折叠，得∠D＝∠AEF＝90°＝
∠DAE.∴四边形AEFD是矩形.又AD＝AE，
∴四边形AEFD是正方形.故甲同学的结论正确.图2中，过点G作GK ⊥AF于点K.设AE＝2x，则AG＝EG＝x.∵四边形AEFD是正方形，∴∠EAF＝45°.∴AF＝2x，AK＝KG＝AG＝x.∴FK＝AF－AK＝x.∴tan∠AFG＝.故乙同学的结论也正确.
【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学
继续操作.如图3，第四步，沿点G所在直线
折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，
连接PM，把纸片展平.
第五步，连接FM交GP于点N.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN·AM＝GN·AD.
(2)请证明这个结论.
证明：图3中，过点G作GQ⊥PM交PM延长线于
点Q.由折叠，得FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，
∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ.∵AB∥CD，∴∠FPG
＝∠PGM.∴∠PGM＝∠MPG.∴PM＝GM.∴PF＝
GM＝PM＝FG.∴四边形FGMP是菱形.∴∠FNG＝
90°＝∠GQP.又∵∠FGN＝∠GPQ，∴△GFN∽
△PGQ.∴.∴FN·PQ＝GN·GQ.∵AM＝AG＋GM＝HF＋FP＝PH，∴AM＝PQ.∵GQ＝GH＝AD，∴FN·AM＝GN·AD.
[另法：图3中，连接DM，证△ADM∽△NFG也可.]
例5 (2025·达州) 综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系.
探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上
一点，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，过点A
作AF⊥BC于点F，连接CP，由图形面积分割法，得
S△ABC＝S△APC＋__________，则AF＝__________＋
__________；
类型五
探究迁移类问题
S△BPC
PD
PE
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，
G是AB边上一点，连接CG，将线段CG绕点C逆时
针旋转60°得CF，连接GF交BC于点P，过点P作
PD⊥CG于点D，PE⊥CF于点E，当AG＝1时，
求PD＋PE的值；
解：图2中，过点G作GM⊥AC于点M.
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°.
在Rt△AMG中，AG＝1，∴AM＝AG·cos 60°＝，
GM＝AG·sin 60°＝.
∵AC＝3，∴CM＝AC－AM＝.在Rt△CGM中，
CG＝.
∵将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，∴CG＝CF，∠GCF＝60°. ∴△CGF是等边三角形.∴GF＝CF＝CG＝，∠F＝60°.
图2中，过点G作GN⊥CF于点N.在Rt△GFN中，GN＝GF·sin 60°＝.
由探究发现可知PD＋PE＝GN＝.
拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，
AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，
PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，
BD＝4，求S△PAC＋S△PBE的值.
解：图3 中，延长AC，BE交于点Q，连接BC，
过点P作PM⊥BE于点M.
设CD＝x，则AC＝2＋x.∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵AB＝10，BD＝4，∴在Rt△ACB中，BC2
＝AB2－AC2＝102－(2＋x)2.
在Rt△BCD中，BC2＝BD2－CD2＝(4)2－x2.
∴102－(2＋x)2＝(4)2－x2.解得x＝4.
∴BE＝AC＝2＋x＝6.∴.∴
，即.∴∠ABE＝∠BAC.∴△ABQ为等腰三角形，AQ＝BQ.
∵PD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥BE，∴由探究发现
可知BC＝PD＋PM.
在Rt△ABC中，BC＝＝
8，∴PD＋PM＝8.∴S△PAC＋S△PBE＝AC·PD＋
BE·PM＝×6×PD＋×6×PM＝3(PD＋PM)
＝3×8＝24.
7.(2025·成都) 如图，在 ABCD中，点E在BC边上，
点B关于直线AE的对称点F落在 ABCD内，射线AF
交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD
边于点Q.
【特例感知】(1)如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
针对训练
证明：由轴对称的性质，得∠B＝∠AFE，BE＝FE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠B＝∠PCG.∴∠AFE＝∠PCG.∴∠EFP＝∠ECQ.
∵CE＝BE，BE＝EF，∴EF＝EC.
又∵∠FEP＝∠CEQ，∴△EFP≌△ECQ(ASA).
【问题探究】(2)在(1)的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；
解：∵△EFP≌△ECQ，∴EQ＝EP，∠CQE＝∠P.
∵EF＝EC，∴FQ＝CP.
∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，∴△FQG≌
△CPG(AAS).∴FG＝CG＝3，GP＝GQ＝5.
由折叠的性质，得AF＝AB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴△CPG∽△BPA.
∴，即.∴AB＝12.∴CD＝12.∴DQ＝CD－CG－QG＝4.
【拓展延伸】(3)如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边
上，若，求的值.(用含n的代数式表示)
解：图2中，延长AD，EQ交于点M.设CQ＝a，BE＝b.
∵，CE＝2BE，∴DQ＝an，CE＝2b.
∴AB＝CD＝(n＋1)a，AD＝3b.
∵△ABE与△AFE关于AE对称，
∴AF＝AB＝(n＋1)a.
∵AD∥BC，即DM∥EC，∴△DQM∽
△CQE.∴，即＝n.∴DM＝2nb.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＋
∠ECQ＝180°.
又∵△ABE与△AFE关于AE对称，∴∠AFE＝∠B.
∵∠AFE＋∠EFP＝180°，∴∠ECQ＝∠EFP.
又∵∠FEP＝∠CEQ，∴△FEP∽△CEQ.∴，即.
∴PF＝a.
∵AD∥BC，∴△AMF∽△PEF.∴，
∴.∴PE＝b.
∴PC＝CE－PE＝2b－b＝b.
又∵PC∥AD，∴△GPC∽△GAD.∴.
8.(2025·广元) 综合与实践
(1)【初步感知】如图1，在△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE·AB＝AD·AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数；
解：∵∠CAD＝∠EAB，∴∠CAD＋∠DAB＝∠EAB
＋∠DAB，即∠BAC＝∠DAE.
∵AE·AB＝AD·AC，∴.∴△ABC∽△ADE.
∴∠C＝∠E.
∵∠C＝90°，∴∠E＝∠C＝90°.
(2)【深入探究】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，
BC＝4，E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE
上方作FA⊥EA，使S△AEF＝S矩形ABCD，连接DF，
请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距
离的最大值；
证明：∵FA⊥EA，S△AEF＝S矩形ABCD，
∴AF·AE＝AB·AD，即AF·AE＝AB·AD.∴.
∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，∴∠BAD＝
∠B＝90°，AD＝BC＝4.
∵FA⊥EA，∴∠FAE＝90°.∴∠FAD＝∠BAE＝
90°－∠DAE.∴△AFD∽△ABE.
∴∠AFD＝∠B＝90°.∴点F在以AD为直径的圆上
运动.
∵AB＝3，∴点F到BC的最大距离为AD＋AB＝×4＋3＝5.
(3)【学以致用】如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，E是线段AB的中点，F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG＝S梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长.
解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，
∴S△EFG＝S梯形ABCD＝×(AD＋BC)×AB＝×(8＋16)×8＝12.
∵GE⊥FE，∴GE·EF＝12，即GE·EF＝24.∵E是线段AB的中点，∴BE＝AB＝4.
如答图，在BC上截取BQ＝6，作矩形
BEPQ，则PE＝QB＝6，∠PEB＝∠B
＝90°，连接PG.
∴BE·PE＝4×6＝24.∴BE·PE＝
GE·EF.∴.
又∵∠GEF＝∠PEB＝90°，∴∠GEP
＝∠FEB＝90°－∠PEF.∴△PEG∽
△FEB.∴∠PGE＝∠FBE＝90°.
∴点G在PE为直径的圆上.∴当△ADG的面积最小时，点G在过点O且垂直于PE的直线上，此时△PGE是等腰直角三角形.∴EG＝PG＝PE＝3.
9.(2021·达州) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，
AD上的点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为
__________；
图1
1
(2)如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为__________；
图2　

【类比探究】
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD；
图3
证明：图3中，过点C作CH⊥AF交AF的延长
线于点H.
∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°.
∴四边形ABCH为矩形.
∴AB＝CH，∠FCH＋∠CFH＝∠DFG＋
∠FDG＝90°.
∵∠DFG＝∠CFH，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE.∴△DEA∽△CFH.
∴.∴.∴DE·AB＝CF·AD.
图3
【拓展延伸】
(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan ∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF.
图4
①求的值；
解：图4中，过点C作CG⊥AD于点G，连接
AC交BD于点H，CG与DE交于点O.
∵CF⊥DE，GC⊥AD，∠BAD＝90°，
∴∠FCG＋∠CFG＝∠CFG＋∠ADE＝90°，
∠DAE＝∠CGF＝90°.∴∠FCG＝∠ADE.∴△DEA∽△CFG.∴.
图4
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，∴AB＝3.
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴.
设AH＝a，则DH＝3a.∵AH2＋DH2＝AD2，
∴a2＋(3a)2＝92.
∴a＝(负值已舍去).∴AH＝，DH＝.
由翻折，得AD＝CD＝9，BD⊥AC.
∴AC＝2AH＝.∵S△ADC＝AC·DH＝AD·CG，
∴×××9×CG.∴CG＝.∴.
图4
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度.
解：BF＝.　[在Rt△ACG中AG＝
.
由①知，△CFG∽△DEA.∴.
又∵，AE＝1，∴GF＝.
∴AF＝AG－GF＝.
∴BF＝.]
图4
10.(2020·达州)
(1)【阅读与证明】如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分别交AM于点F，G.
①完成证明：
∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE
＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2.
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4.
在△ABE中，∠1＋∠2＋60°＋∠3＋∠4
＝180°，∴∠1＋∠3＝__________°.
在△AEG中，∠FEG＋∠3＋∠1＝90°，∴∠FEG＝__________°.
60
30
②求证：BF＝AF＋2FG.
证明：图1中，连接CF，在FB上取一点T，使
得FT＝CF，连接CT.∵C，E关于AM对称，
∴AM垂直平分线段EC.∴FE＝FC.∴∠FEC＝
∠FCE＝30°，FC＝2FG.∴∠CFT＝∠FEC＋
∠FCE＝60°.∵FC＝FT，∴△CFT是等边三
角形.∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT.∴∠BCT＝∠ACF.又∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF(SAS).∴BT＝AF.∴BF＝BT＋FT＝AF＋FC＝AF＋2FG.
(2)【类比与探究】把(1)中的“正△ABC”改为
“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2所示.
类比探究，可得：
①∠FEG＝__________°；
45
解：[图2中，连接BC.∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心.∴∠BEC＝∠BAC.∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°.]　
②线段BF，AF，FG之间存在数量关系为______________________.
解：[图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT
＝CF，连接CT.∵AM⊥EC，CG＝GE，∴FC＝
EF.∴∠FEC＝∠FCE＝45°，CF＝FG.
∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝90°.∵CF＝FT，
∴△CFT是等腰直角三角形.∴CT＝CF.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC.∴.∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF.∴△BCT∽△ACF.∴.∴BT＝AF.∴BF＝BT＋FT＝BT＋CF＝AF＋FG.]
BF＝AF＋FG
(3)【归纳与拓展】如图3，点A在射线BH上，
AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜180°)，在
∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称
点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分
别交AM于点F，G，则线段BF，AF，GF之
间的数量关系为_________________________.
BF＝2AF·sinα＋
解：[图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF.∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴＝sin.∴＝2sin.∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝∠BAC＝.∵sin∠BEC＝，∴EF＝.∵FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE＝.∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝α.易证△BCT∽△ACF.∴＝2sin.∴BT＝2AF·sin.∴BF＝BT＋FT＝
2AF·sin＋EF，
即BF＝2AF·sin.](共39张PPT)
专题二 一次函数与反比例函数的综合
类型一
一次函数与反比例函数比较大小及面积问题
例1 (2025·内江) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A(a，6)，B(－6，1)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
解：∵反比例函数y＝的图象经过点B(－6，1)，
∴k1＝－6×1＝－6.∴反比例函数的表达式为y＝－.
把A(a，6)代入y＝－，得6＝－.
∴a＝－1.∴A(－1，6).
∵一次函数y＝k2x＋b的图象经过A(－1，6)，B(－6，1)两点，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋7.
(2)当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集；
解：根据函数图象，得当x＜0时，关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集为－6≤x≤－1.
(3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图
象于点D.若点C的横坐标为－4，求△BOD的面积.
解：由于点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7，
得y＝－4＋7＝3.∴C(－4，3).
当y＝3时，3＝－.∴x＝－2.∴D(－2，3).
过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E.∵B(－6，1)，D(－2，3)，∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－(－6)＝4.
∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，∴S△BOD＝
S梯形BFED＝(DE＋BF)·EF＝×(3＋1)×4＝8.
1.(2025·通川区二模) 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(－1，6)，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D.
针对训练
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
解：设反比例函数的表达式为y＝.
∵点A(－1，6)在反比例函数图象上，
∴k＝－1×6＝－6.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
把B代入y＝－，得 a－3＝－.
∴a＝1.∴B(3，－2).
设一次函数的表达式为y＝mx＋b.
将A(－1，6)，B(3，－2)代入y＝mx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为 y＝－2x＋4.
(2)若x轴上有一点M，使得S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标.
解：对于y＝－2x＋4，当y＝0 时，0＝－2x＋4.解得x＝2.∴C(2，0). ∴OC＝2.
∴S△OAB＝S△OAC＋S△OBC＝×2×6＋×2×2＝8.
∵S△OAM＝S△OAB，∴OM×6＝8.∴OM＝.
∴点M的坐标为或.
2.(2014·达州) 如图，直线l：y＝－x＋3与两坐标轴分别相交于点A，B.
(1)当反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象在第一象限内与直线l至少有一个交点时，求m的取值范围；
解：由题意，得－x＋3＝，
即x2－3x＋m＝0有实数根.
∴Δ＝(－3)2－4m≥0，
解得m≤.
∴m的取值范围为0＜m≤.
(2)若反比例函数y＝(m＞0，x＞0)在第一象限内与直线l相交于点C，D，当CD＝2时，求m的值；
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则方程x2－3x＋m＝0的两根是x1，x2.
∴x1＋x2＝3，x1·x2＝m.
∵CD＝＝2，
∴＝2，
即2(9－4m)＝8，解得m＝.
(3)在(2)的条件下，请你直接写出关于x的不等式－x＋3＜的解集.
解：当m＝时，x2－3x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
由图象可知，关于x的不等式－x＋3＜的解集
为0＜x＜或x＞.
3.(2025·达州适应) 在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C(－2，6)，D两点，DE∥OC交x轴于点E，且.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：由条件可得k2＝－2×6＝－12.∴反比例函数的表达式为y＝－.
过点D作DM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N.
∵，∴.
∵DE∥OC，∴△ADE∽△ACO.
∴.∴CN＝3DM＝6.
∴DM＝2.∴D(－6，2).
将C(－2，6)，D(－6，2)代入y＝k1x＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋8.
(2)求四边形OCDE的面积；
解：设直线OC的函数表达式为y＝mx.
将C(－2，6)代入上式，得－2m＝6.解得m＝－3.
∴直线OC的函数表达式为y＝－3x.
由DE∥OC，设直线DE的函数表达式为y＝－3x＋n.
将D(－6，2)代入上式，得
－3×(－6)＋n＝2.解得n＝－16.
∴直线DE的函数表达式为y＝－3x－16.
当y＝0时，－3x－16＝0.解得x＝－.
∴E.∴OE＝.
在y＝x＋8中，当y＝0时，x＝－8.
∴A(－8，0).∴OA＝8.∴AE＝8－.
∴S四边形OCDE＝OA·CN－AE·DM＝×8×6－××2＝.
(3)直接写出－k1x－b＞0的x的取值范围：____________________.
x＜－6或－2＜x＜0
例2 (2024·达州) 如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(a，－2).
类型二
与几何的综合问题
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
解：将点A，B的坐标代入y＝，得
m＝2×3＝－2a.解得a＝－3，m＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝，B(－3，－2).
将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
(2)若C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标.
解：设C(x，0).由点A，B，C的坐标，得AB2＝50，AC2＝(x－2)2＋9，BC2＝(x＋3)2＋4.
∵∠BCA＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2，
即50＝(x－2)2＋9＋(x＋3)2＋4.
解得x＝3或x＝－4(舍去)，
即点C的坐标为(3，0).
4.(2021·达州) 如图，将一把矩形直尺ABCD和一
块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，
AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交
BC于点M，反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经
过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边
FG＝4，则k＝__________.
针对训练
－12
5.(2018·达州) 如图，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3.分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是边BC上一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与边AC交于点E.
图1　
图2　
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
解：∵OA＝3，OB＝4，
∴B(4，0)，C(4，3).
∵F是BC的中点，∴F.
∵点F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝.
∵点E的纵坐标为3，∴点E的坐标为(2，3).
图1　
(2)连接EF，求∠EFC的正切值；
解：∵点F的横坐标为4，∴F.
∴CF＝BC－BF＝3－.
∵点E的纵坐标为3，∴E.
∴CE＝AC－AE＝4－.
在Rt△CEF中，tan∠EFC＝.
图1　
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.
解：由(2)知，CF＝，CE＝.
过点E作EH⊥OB于点H，∴EH＝OA＝3，
∠EHG＝∠GBF＝90°.∴∠EGH＋∠HEG＝90°.
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝
∠C＝90°.∴∠EGH＋∠BGF＝90°.
图2
∴∠HEG＝∠BGF.∴△EHG∽△GBF.
∴.∴.∴BG＝.
在Rt△FBG中，FG2－BF2＝BG2，
即.∴k＝.
∴反比例函数的解析式为y＝.
图2
6.(2015·达州) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点B在x轴负半轴上，AO＝，tan∠AOB＝，一次函数y＝k1x＋b的图象过A，B两点，反比例函数y＝的图象过OA的中点D.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：连接AC交BO于点E，过点D作DF⊥OB于点F.
∵四边形ABCO是菱形，
∴AE⊥BO，且BO＝2EO.
∵tan∠AOB＝，∴.
设AE＝x，则EO＝2x.
∵AE2＋EO2＝AO2，AO＝，
∴x2＋(2x)2＝()2.
解得x1＝1，x2＝－1(舍去).
∴AE＝1，EO＝2.∴A(－2，1)，B(－4，0).
将A(－2，1)，B(－4，0)代入y＝k1x＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
∵DF⊥BO，AE⊥BO，
∴DF∥AE.∴△DFO∽△AEO.
∵D为AO的中点，
∴.∴D.
将D代入y＝，得k2＝－.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)平移一次函数y＝k1x＋b的图象得y＝k1x＋b1，当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，求b1的取值范围.
解：令x＋b1＝－，整理，得x2＋2b1x＋1＝0.
当(2b1)2－4×1×1＜0时，直线y＝x＋b1与双
曲线y＝－没有交点，此时－1＜b1＜1.
∴当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数
y＝的图象无交点时，－1＜b1＜1.
7.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3，0).
(1)求k的值；
解：∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)，
∴0＝－3＋b，解得b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3.
把A(a，2)代入y＝－x＋3，得2＝－a＋3，
解得a＝1，∴A(1，2).
把A(1，2)代入y＝，得k＝1×2＝2.
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
解：由(1)得反比例函数的表达式为y＝.
∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交
于点C，A(1，2)，∴C(－1，－2)，
∴AC2＝(1＋1)2＋(2＋2)2＝20.
设D，∴AD2＝(1－m)2＋，
CD2＝(－1－m)2＋.
∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2＋AC2.
∴(1－m)2＋＝(－1－m)2＋
＋20，解得m＝－4或－1(舍去).∴D.
设直线AD的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0).
把点，(1，2)代入上式，得
解得
∴直线AD的函数表达式为y＝x＋.
(3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标.
解：设E.设直线AE的函数表达式为y＝k2x＋b2.
把点，(1，2)代入上式，得
解得
∴直线AE的函数表达式为y＝－x＋.
当y＝0时，0＝－x＋，解得x＝t＋1.
∴P(t＋1，0).
∴BP＝|t＋1－3|＝|t－2|.
∴S△BEP＝×|yE|×BP＝××|t－2|.
∵△BEP的面积为2，
∴××＝2，
解得t＝或t＝－2.
∴点E的坐标为(－2，－1)或.(共66张PPT)
专题六 动态探究
例1 如图1，在矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P
从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，
垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函
数图象如图2，则AD的长为(　　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
类型一
动点问题(函数)
B
【解析】由图象，得CD＝2.当BD＋BP＝4时，PQ＝CD＝2.设AD－CD＝a，则BD＝4－a.在Rt△BCD中，BD2－BC2＝CD2，即(4－a)2－(a＋2)2＝22.解得a＝.∴AD＝a＋2＝.故选B.
1.(2019·达州) 如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是(　　)
针对训练
C
2.(2025·齐齐哈尔) 如图，在菱形ABCD中，∠A＝
60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，
运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过
程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E运动
的路程为x(x＞0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　)
A
A　　 B C　　 D
3.(2025·天津) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝10 cm，BC＝16 cm.动点M从点B出发，以2 cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t s.当t＝2 s时，点M，N的位置如图所示.有下列结论：
①当t＝6时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26 cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2.
其中，正确结论的个数是(　　)
A.0　　　 B.1　　　 C.2　　　 D.3
C
4.(2025·眉山) 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
点D在AC上，CD＝，动点P在Rt△ABC的边上沿
C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的
运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点
B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数.在3个
时刻t1，t2，t3(t1＜t2＜t3)对应的正方形DPEF的面积
均相等.下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2－16t
＋34；③AD＝4；④t1＋t2＝4.其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
图1　　 图2
B
5.(2020·达州) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝
6 cm，CD＝2 cm.P为线段BC上的一动点，且和B，C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
(1)通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明；
证明：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°.
∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°.
∴∠APB＋∠EPC＝90°.
又∠EPC＋∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC.
∴△ABP∽△PCE.
(2)利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不
同位置时，CE，BP的长度的对应值：
当BC＝6 cm时，得表1：
BP/cm … 1 2 3 4 5 …
CE/cm … 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 …
当BC＝8 cm时，得表2：
BP/cm … 1 2 3 4 5 6 7 …
CE/cm … 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 …
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制.
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，__________的长度为自变量，__________的长度为因变量；
BP
CE
②设BC＝m cm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围.
解：设BP＝x cm，CE＝y cm.
∵△ABP∽△PCE，∴.
∴.
∴y＝－x2＋mx＝－.
∵－＜0，∴当x＝m时，y有最大值.
∵点E在线段CD上，CD＝2 cm，
∴≤2，∴m≤4.∴0＜m≤4.
例2 (2022·达州) 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活
动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直
角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝
90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方
向旋转α(0°＜α＜90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
类型二
旋转问题
【初步探究】
(1)如图2，当ED∥BC时，则α＝__________；
45°
(2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关
系：____________________；
解：[∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CE＝CD，DF＝CF.
∴∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AF＝AE＝BD.∵BF＝BD＋DF，∴BF＝AF＋CF.]
BF＝AF＋CF
【深入探究】
(3)如图4，当点E，F不重合时，(2)中的结论是否仍然成
立 若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由；
解：当点E，F不重合时，(2)中的结论仍然成立.
理由：由(2)知，△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠CAF＝∠CBD.
图4中，过点C作CG⊥CF交BF于点G.
∵∠ACF＋∠ACG＝90°，∠ACG＋∠BCG＝90°，
∴∠BCG＝∠ACF.
又∵∠CBG＝∠CAF，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF(ASA).
∴CG＝CF，BG＝AF.
∴△GCF为等腰直角三角形.
∴GF＝CF.
∴BF＝BG＋GF＝AF＋CF.
【拓展延伸】
(4)如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE(m为常数).保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6.试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由.
解：BF＝mAF＋·CF.
理由：由(2)知，∠ACE＝∠BCD.
而BC＝mAC，CD＝mCE，即＝m，∴△BCD∽△ACE.∴∠CBD＝∠CAE.
图6中，过点C作CG⊥CF交BF于点G.
由(3)知，∠BCG＝∠ACF.
∴△BGC∽△AFC.∴＝m.
∴BG＝mAF，CG＝mCF.
在Rt△CGF中，GF＝
·CF.
∴BF＝BG＋GF＝mAF＋·CF.
6.(2025·兰州) 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制如图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG(AB＞BE)，点E，G分别在AB，BC上.根据图形提出问题：如图2，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系.
针对训练
【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
解：AH＝CH＋BH.理由：图3中，当点G，
H重合时，在正方形ABCD与正方形BEFG中，
AB＝CB，BE＝BH，∠ABC＝∠EBH＝90°，
∴EH＝BH，∠ABE＝90°－∠EBC＝∠CBG.∴△ABE≌△CBG(SAS).∴AE＝CG.
∴AH＝AE＋EH＝CH＋BH.
(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决如图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
解：AH＝CH＋BH.理由：图2中，在AE上截取AM＝CH，同(1)可得△ABE≌△CBG(SAS).∴∠BCH＝∠BAM.
又∵AB＝CB，∴△MAB≌△HCB(SAS).
∴∠ABM＝∠CBH，BM＝BH.
∴∠MBH＝∠EBM＋∠EBC＋∠CBH＝
∠EBM＋∠EBC＋∠ABM＝∠ABC＝90°.
∴△MBH是等腰直角三角形.∴MH＝BH.
∵AH＝AM＋MH，∴AH＝CH＋BH.
【拓展问题】(3)小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，将正
方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(180°＜α＜360°)，直线AE
与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系.
解：CH＝AH＋BH.
[如图，在CG上截取CM＝AH.同(1)可得△ABE≌
△CBG(SAS).∴AE＝CG，∠BCH＝∠BAH.
又∵∠BCH＝∠HAB，CB＝AB，
∴△CBM≌△ABH(SAS).
∴BH＝BM，∠CBM＝∠ABH.
同(2)可得△MBH是等腰直角三角形.
∴MH＝BH.∵CH＝CM＋MH，
∴CH＝AH＋BH.]
7.(2025·贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为线段AC上一动点，E为射线BP上的一点(点E与点B不重合).
【问题解决】(1)如图1，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝__________°，线段BP与线段AC的位置关系是__________；
30
BP⊥AC
【问题探究】(2)如图2，在点P的运动过程中，点E
在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探
究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；
解：CE＝2BE.理由：图2中，把△ABE绕点B顺
时针旋转60°得到△CBQ.∴BE＝BQ，∠EBQ＝
60°，∠AEB＝∠CQB.∴△BEQ为等边三角形.
∴∠BEQ＝∠BQE＝60°，BE＝EQ.
∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝
60°，∴∠AEB＝180°－30°＝150°，∠BEC＝180°－60°＝120°. ∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠CQB＝∠AEB＝150°.∴∠EQC＝150°－60°＝90°.∴∠ECQ＝90°－60°＝30°.∴EC＝2EQ＝2BE.
【拓展延伸】(3)在点P的运动过程中，将线段EB绕
点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于
点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长.
解：当点P在线段OA上，如答图1，设射线BP与AD
交于点H.
∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH.
∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°＝∠BEG.
∴△HAB∽△BEG.∴.
设FG＝x，则EF＝BE＝2x.∴EG＝3x.
∴.∴AH＝.
∵AD∥BC，∴△APH∽△CPB.
∴.
易得△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5.
∴AP＝5×＝2；
当点P在线段OC上时，如答图2，延长AD交BP于点H，同理可得∠AHB＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°.
∴△BAH∽△GEB.∴.
设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝
EG＝m.∴.∴AH＝2AB＝10.同理可得△APH∽△CPB，
则＝2，AP＝5×.
综上所述，AP的长为2或.
8.(2025·达高三诊) 在△ABC中，AC＝BC，AC＝6，∠ACB＝α，D是BC边上任意一点，E是直线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段BF，连接EF.
(1)如图1，当点F在射线AD上时，试探究∠CAE与∠ABE的数量关系；
解：∠CAE＝∠ABE.
理由：∵AC＝BC，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝.
图1
由旋转可得BE＝BF，∠EBF＝α.
∴∠BEF＝∠BFE＝.
∴∠CAB＝∠BEF.
∵∠CAB＝∠CAE＋∠BAE，∠BEF＝∠BAE＋∠ABE，∴∠CAE＝∠ABE.
图1
(2)如图2，BF∥AD，CG⊥AE于点G，2∠ABF－
3∠EBF＝4∠BAE，说明：EG＋BE＝CG；
解：∵AC＝BC，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝.
同理可得∠BEF＝∠BFE＝.
∵BF∥AD，∴∠ABF＋∠BAE＝180°，∠AEB＝∠EBF＝α.
∴∠ABF＝180°－∠BAE.
∵2∠ABF－3∠EBF＝4∠BAE，
∴∠ABF＝2∠BAE＋α.
∴2∠BAE＋α＝180°－∠BAE.
∴3∠BAE＝180°－α.∴∠BAE＝60°－α.
∴∠CAE＝∠CAB－∠BAE＝＝30°.
∵CG⊥AE，∴∠AGC＝90°.
∴AC＝2CG，cos∠CAE＝.
∴AG＝AC.
图2中，过点C作CH⊥BE，垂足为H，则∠H＝90°.
在△ACD和△BED中，∠ACD＝∠AEB＝α，∠ADC＝∠BDE，∴∠CBH＝∠CAG＝30°.
又∵BC＝AC，∠H＝∠AGC＝90°，
∴△BCH≌△ACG(AAS).
∴BH＝AG＝AC，CG＝CH.
又∵CE＝CE，∴Rt△CEG≌Rt△CEH(HL).
∴EG＝EH.
∵EH＝BH－BE，
∴EG＝BH－BE＝AC－BE＝×2CG－BE＝CG－BE，即EG＋BE＝CG.
(3)如图3，α＝60°，点F在射线AD上，P是BE上一点且满足AF＝3BP，在点D的运动过程中，求点P运动轨迹的长.
解：∵AC＝BC，BE＝BF，∠ACB＝∠EBF＝α＝60°，
∴△ABC和△BEF都是等边三角形.
∴∠BFE＝∠ACB＝∠CAB＝∠CBA＝60°.
∴点F在△ABC的外接圆上.
图3
如答图，作△ABC的外接☉O，连接OC，
并延长CO交AB于点H，则CH垂直平分
AB，作点F关于OC的对称点F'，则'
＝，连接AF'，BF'.
∴∠F'AC＝∠FBC.∴∠F'AB＝∠FBA.
又∵∠AF'B＝∠BFA，AB＝BA，
∴△ABF'≌△BAF(AAS).∴BF'＝AF.
答图
如答图，连接OF'，OB，在BF'上截取
BP'＝BF'，作P'M∥OF'，P'M交OB于
点M，则△BMP'∽△BOF'.∴
.
∴MB＝OB.∵OB＝OF'，∴MB＝MP'.
∵△ABC是等边三角形，☉O是△ABC的外接圆，AC＝6，
答图
∴BH＝AB＝3，∠OBH＝30°.
∴OB＝＝2.∴MB＝MP'＝.
∵BF'＝AF，AF＝3BP，∴.
∴点P在以点M为圆心，为半径的圆上，
点D在BC边上运动的过程中，当点D与点C
重合时，点P在边AB上(记为P″)，此时点F与点C也重合.
答图
∴BP″＝AF＝AC＝2；当点D与点B重合
时，点P与点B也重合.过点M作MG⊥AB于
点G.∴BG＝BP″＝1.
∴sin∠BMG＝.
∴∠BMG＝60°.∴∠BMP″＝120°.
答图
∴劣弧″的长为π.
∴优弧″的长为2π×π＝π，
即点P运动轨迹的长为π.
答图
例3 (2023·达州) (1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上的A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，CD＝
AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
由翻折性质，得AD＝A'D＝10，AE＝A'E.
在Rt△A'CD 中，A'C＝＝8.
类型三
折叠问题
∴A'B＝BC－A'C＝2.
设AE＝A'E＝x，则BE＝AB－AE＝6－x.
在Rt△A'BE 中，BE2＋A'B2＝A'E2，
即(6－x)2＋22＝x2.解得x＝.
∴AE＝，BE＝6－.∴.
(2)如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，
使点B落在DC的延长线上B'处，若BC·CE＝24，AB＝6，求BE的值；
解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，
AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°.
由翻折性质，得A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠A'＝
∠B＝∠BCD＝∠90°，A'D∥B'E.
∴∠EB'C＝∠B'DA'.∴△EB'C∽△B'DA'.
∴，即.
又BC·CE＝24，∴B'C＝＝4.
∴B'D＝B'C＋CD＝10.
在Rt△A'B'D中，A'D＝＝8.
∴BC＝AD＝A'D＝8.∴CE＝24÷8＝3.
∴BE＝BC－CE＝8－3＝5.
(3)如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为
点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连
接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD＋EF的值.
解：BD＋EF＝.　[∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC.∴△AEF∽△ADC.
∵AD＝10，AE＝6，
∴，ED＝4.∴CD＝EF.
∴BD＋EF＝BD＋CD＝BC.
设EF＝3k，CD＝5k.
过点D作DH⊥AC于点H，
则∠CHD＝∠ADC＝90°.
∴∠CDH＝90°－∠C＝∠DAC.
∵EF∥BC，∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH.∴∠CDH＝∠FDH.
又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，
∴△CHD≌△FHD(ASA).
∴DF＝CD＝5k.
在Rt△EFD中，EF2＋DE2＝DF2，
即(3k)2＋42＝(5k)2.解得k＝1.
∴EF＝3，DF＝CD＝5.
在Rt△ADC中，AC＝＝5.
过点B作BG⊥AC于点G，
则∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°.
∴BG∥DH.∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC.
∴sin∠CBG＝sin∠DAC＝，
cos∠CBG＝cos∠DAC＝.
∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，∴AG＝BG.
在Rt△BCG中，BG＝BC·cos∠CBG＝BC，CG＝BC·sin∠CBG＝BC.
∵AG＋CG＝BG＋CG＝AC，
∴BC＋BC＝5.∴BC＝.
∴BD＋EF＝BC＝.]
9.(1)如图1，△ABC为等边三角形，点D，E分别为边AB，AC上的一点，将图形沿线段DE所在的直线翻折，使点A落在BC边上的点F处.求证：BF·CF＝BD·CE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDF＋∠BFD＝180°－∠B＝120°.
由折叠知，∠DFE＝∠A＝60°.
针对训练
∴∠CFE＋∠BFD＝120°.
∴∠BDF＝∠CFE.
又∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDF∽△CFE.
∴.∴BF·CF＝BD·CE.
(2)如图2，按图1的翻折方式，CF＝，当DF∶EF＝3∶2时，求tan∠DFB的值；
解：图2中，设AB＝BC＝a，BD＝3x(x＞0)，则AD＝AB－BD＝a－3x.
过点D作DH⊥BC于点H，
则∠DHB＝∠DHF＝90°.
∵∠B＝60°，∴BH＝x，DH＝x.
由(1)知，△BDF∽△CFE.∴.
∵DF∶EF＝3∶2，∴.∴CF＝2x.
∵CF＝，∴2x＝，解得x＝.
∴BH＝，BD＝，DH＝，
∴HF＝BC－CF－BH＝a－＝a－.
由折叠的性质，得AD＝DF＝a－.
在Rt△DHF中，DH2＋HF2＝DF2，
∴.
解得a＝4.∴HF＝4－.
∴tan∠DFB＝.
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，D是AB边上的中点，射线BE与射线BA关于直线BC对称，点P是射线BE上一个动点，当∠DPC＝60°时，求BP的长.
解：图3中，在Rt△ABC中，AC＝，∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝2，AB＝AC＝3.
∵D是AB的中点，∴BD＝AB＝，
过点C作BC的垂线交BP的延长线于点Q，则∠BCQ＝90°.在Rt△BCQ中，∠CBE＝30°，
∴CQ＝＝2.∴BQ＝2CQ＝4.
∵∠CBE＝30°，∴∠Q＝90°－∠CBE＝60°.
∴∠DBP＝∠ABC＋∠CBE＝60°＝∠Q.
∴∠CPQ＋∠PCQ＝120°.
∵∠DPC＝60°，∴∠BPD＋∠CPQ＝120°.
∴∠BPD＝∠PCQ.∴△BDP∽△QPC.
∴，即.
∴BP＝1或BP＝3.
10.(2025·东安雄才学校一模) 学习完折叠之后，实践小组尝试对矩形纸片的折叠进行探究，折纸过程如下：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展开；
第二步：分别沿过点B，D的直线翻折，使点A，C分别落在EF边上的点M，N处，折痕BG，DH分别交EF于点P，Q.
实践小组通过对不同矩形纸片进行操作，发现当所用矩形纸片的长宽比变化时，点M，N的位置也随之变化.
(1)如图1，当点M，N重合时，
①请写出一个30°的角：_______________________________；
②猜想四边形BHDG的形状为__________；
∠ABG＝30°(答案不唯一)
菱形
图1
(2)如图2，当点M，N不重合时，可知四边形BHDG的形状是平行四边
形，不添加辅助线，请再写出一个平行四边形(不是矩形)，并给出证明；
解：四边形BPQH和四边形DGPQ都是平行四边形.证明：由折叠的性质，
得四边形BCFE和四边形ADFE都是矩形.
∴BC∥EF∥AD，BC＝EF＝AD.
∵四边形BHDG是平行四边形，∴BG∥DH.
∴四边形BPQH和四边形DGPQ都是平行四边形.
图2
(3)若BC＝3MN，直接写出的值.
解：设BE＝a.分两种情况讨论如下：
①当点M在点N的左侧时，如答图1，由折叠的性
质，得AE＝BE＝a，AB＝BM，EF⊥AB.
∴AB＝BM＝2a.在Rt△BME中，由勾股定理，
得EM＝a.同理可得FN＝a.
∴EF＝EM＋MN＋FN＝2a＋MN.
答图1
由(2)可知BC＝EF＝AD.∴BC＝2a＋MN.
∵BC＝3MN，∴3MN＝2a＋MN.
∴MN＝a.∴BC＝3MN＝3a.
∴；
答图1
②当点M在点N的右侧时，如答图2，同理可得AB＝2a，EM＝FN＝a.
∴EN＋MN＝MF＋MN.∴EN＝MF.
∴EF＝EN＋MN＋MF＝2EN＋MN.
∵BC＝EF＝3MN，∴3MN＝2EN＋MN.
∴MN＝EN＝MF.∴MN＝EM＝.
∴BC＝3MN＝.∴.
综上所述，的值为或.
　答图2(共139张PPT)
专题七　二次函数的综合
类型一
二次函数与线段及最值问题
此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关点的横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间线段最短”解决，有时还会用到“垂线段最短”.
解题策略
例1 (2024·渠县中学三模节选) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC.
(1)求该抛物线的解析式；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)，
∴
解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.
(2)Q为线段AC上方抛物线上的一动点(点Q不与点A，C重合)，过点Q作QE∥x轴交直线AC于点E，过点Q作QF⊥x轴交AC于点F，求△QEF周长的最大值及此时点Q的坐标.
解：如图，记△QEF的周长为C△QEF，
△OAC的周长为C△OAC.
∵y＝－x2－x＋2，
∴当x＝0时，y＝2.
∴C(0，2).∴OC＝2.
∵A(－4，0)，∴OA＝4，AC＝＝2.
∴C△OAC＝4＋2＋2＝6＋2.
设直线AC的解析式为y＝mx＋n.
∵A(－4，0)，C(0，2)，
∴ 解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋2.
设Q，则F.
∴QF＝－t2－t＋2－＝－t2－2t.
∵QE∥x轴，∴∠FEQ＝∠CAO.
∵QF⊥x轴，即QF∥y轴，
∴∠EFQ＝∠ACO.∴△QEF∽△OAC.
∴＝－t2－t.
∴C△QEF＝C△OAC＝×(6＋
2)＝－(t＋2)2＋6＋2.
∴当t＝－2时，△QEF周长的最大值为6＋2，
此时点Q的坐标为(－2，3).
1.(2024·开江县二模节选) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于 A(－2，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－6).
(1)求该抛物线的函数表达式；
解：由题意，得y＝a(x＋2)(x－3)＝a(x2－x－6).
∵C(0，－6)，∴－6a＝－6，则a＝1.
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－x－6.
针对训练
(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴
的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线交BC于点F，
求2PF＋PE的最大值及此时点P的坐标.
解：由B(3，0)，C(0，－6)，得直线BC的函数表达式为
y＝2x－6.
设P(t，t2－t－6)，则F.
∴2PF＋PE＝2－(t2－t－6)＝－2(t－1)2＋8≤8.∴2PF＋PE的最大值为8，此时t＝1，则点P的坐标为(1，－6).
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点D的坐标为(1，4)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且点B的坐标为(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线和直线AC的解析式；
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4.
把B(3，0)代入上式，得
0＝a(3－1)2＋4.解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为
y＝－(x－1)2＋4.
∵顶点D(1，4)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
又∵B(3，0)，∴A(－1，0).
令x＝0，则y＝－(0－1)2＋4＝3.∴C(0，3).
设直线AC的解析式为y＝kx＋3.
把A(－1，0)代入上式，得0＝－k＋3.
解得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使点M到B，C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值.
解：延长AC交对称轴于点M，连接MB.
∵点A和点B关于对称轴直线x＝1对称，
∴MA＝MB.∴点M到B，C两点的距离之差的绝对值为
|MB－MC|＝|MA－MC|＝|AC|，此时点M到B，C两点的
距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长.
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC＝.
∵点M在直线y＝3x＋3上，
∴当x＝1时，y＝3×1＋3＝6.
∴点M的坐标为(1，6)，最大绝对值为.
3.(2025·遂宁节选) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1，连接AC，BC.
(1)求二次函数的表达式；
解：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且与
x轴交于A(－1，0)，B两点，∴B(3，0).
∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.
(2)在x轴上方的二次函数图象上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BM，求BM＋MN的最小值.
解：如图，在OC上取点D，使AD＝CD，
则∠ADO＝2∠ACO.
∵∠BAQ＝2∠ACO，∴∠BAQ＝∠ADO.
易得C(0，－3)，∴OC＝3.设OD＝m，
则CD＝AD＝3－m.
在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2，
∴1＋m2＝(3－m)2.解得m＝.
∴OD＝，AD＝.
作点B关于直线AQ的对称点E，连接BE交AQ于
点F，过点E作EG⊥x轴于点G，则BM＝EM，
BF＝EF.∴BM＋MN＝EM＋MN≥EG.当E，M，
N三点共线时，BM＋MN的最小值为EG的长.
∵∠BAQ＝∠ADO，
∴sin∠BAQ＝sin∠ADO，即.
∴BF＝AB＝.∴BE＝2BF＝.
∵∠AGE＝∠AFE＝90°，
∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO.
∴cos∠BEG＝cos∠ADO，
即.∴EG＝BE＝.
∴BM＋MN的最小值为.
类型二
二次函数与图形面积问题
铅垂法：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水
平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫
△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内
部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一
种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝×水平宽×铅垂高，也就是三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.在平面直角坐标系中，水平宽为B，C两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为A，D两点纵坐标之差的绝对值.有时还可通过等底(同底)等高(同高)等方法进行转化.
解题策略
例2 (2020·达州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于另一点C(－1，0).
(1)求抛物线的解析式；
解：∵直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(4，0)，B(0，－2).
又C(－1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4).
将B点坐标代入上式，得－2＝－4a，即a＝.
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－4)，
即y＝x2－x－2.
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在.如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，P'.
∵OP∥AB，
∴△PAB和△OAB是等底等高的两个三角形.
∴S△PAB＝S△OAB.
∵OP∥AB，∴直线OP的解析式为y＝x.
联立
解得或
∴P(2－2，1－)，P'(2＋2，1＋)；
当点P″在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP″∥AB，交抛物线于点P″，连接AP″，BP″，
则AB∥EP″∥OP.
∵OB＝BE，∴E(0，－4).∴S△P″AB＝S△OAB.
∵EP″∥AB，且过点E(0，－4)，
∴直线EP″的解析式为y＝x－4.
联立解得
∴P″(2，－3).
综上所述，点P的坐标为(2＋2，1＋)或(2－2，1－)或
(2，－3).
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN＋ON的最小值.
解：如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于点F.
设M，则F.
∴MF＝m－2－＝－(m－2)2＋2.
∴△MAB的面积为×4×＝－(m－2)2＋4.
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
此时M(2，－3).
如图2，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于点
K，过点M作MP⊥OK于点P，延长MF交直线OK于点Q.
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON.
∴MN＋ON＝MN＋KN.
∴当M，N，K三点共线时，MN＋ON有最小值，即最小值为PM的长.
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK的解析式为y＝x.
当x＝2时，Q(2，2).∴QM＝2＋3.
∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠KOB＝30°.
∴PM＝QM＝.
∴MN＋ON的最小值为.
4.(2025·东安雄才学校三模) 如图1，抛物线y＝x2＋bx与x轴交于点A，与直线OB交于点B(4，4)，过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵抛物线y＝x2＋bx与直线OB交于点B(4，4)，
∴16＋4b＝4.解得 b＝－3.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x.
针对训练
图1
(2)D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴交直线OB于点E，交直线AC于点Q，过点Q作QF⊥OB于点F，连接DF，求△DEF面积的最大值及此时点D的坐标；
解：设直线OB的函数表达式为 y＝kx.
∵直线y＝kx 过点B(4，4)，∴4k＝4.
解得 k＝1.∴直线OB的函数表达式为y＝x.
∵OB∥AC，∴设直线AC的函数表达式为y＝
x＋n.当 y＝0时，x2－3x＝0.解得 x＝0或x＝3.
∴A(3，0).∴3＋n＝0.解得n＝－3.
∴直线AC的函数表达式为 y＝x－3.
∴直线AC与y轴的交点为G(0，－3).
设D(m，m2－3m)，则E(m，m).
图1中，过点F作FW⊥DE于点W，设AC交y轴于
点G.易得四边形OGQE是平行四边形.
∴EQ＝OG＝3.
∵QF⊥OB，DE⊥x轴交直线OB于点E，
∴QF⊥AC，即∠EFQ＝∠EWF＝90°.
易得∠BOA＝45°.∴∠OED＝45°.
∴∠EQF＝45°，即△EFQ 为等腰直角三角形.
∴FW＝EQ＝，则S△DEF＝DE·FW＝(m－
m2＋3m)×＝－m2＋3m＝－(m－2)2＋3≤3.
∴当 m＝2 时，△DEF面积的最大值为3，此时
点D的坐标为(2，－2).
(3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过(2)中△DEF的面积取得最大值时对应的点D，新抛物线与x轴交于点M，N(点M在点N的左侧)，请直接写出点M，N的坐标.
解：M(1，0)，N(4，0).　[设将原抛物线向右平移了
m个单位长度，则新抛物线的函数表达式为y＝
(x－m)2－3(x－m).
将D(2，－2)代入上式，得－2＝(2－m)2－3(2－m).
解得m＝0(舍去)或m＝1.
∴新抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3(x－1)＝
x2－5x＋4，令y＝0，则x＝1或x＝4，即M(1，0)，N(4，0).]
图2
5.(2019·达州) 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过
点A(1，0)，B(－3，0).
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
解：由A(1，0)，B(－3，0)，得
y＝－(x－1)(x＋3).
∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，
顶点C的坐标为(－1，4).
(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO＋∠CDO)＝4时，求点D的坐标；
解：∵抛物线顶点C的坐标为(－1，4)，
∴抛物线对称轴为直线x＝－1.
设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(－1，0).
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4.
∵∠COH＝∠CAO＋∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，tan (∠CAO＋∠CDO)＝tan∠COH＝4.
如图，当点D在对称轴左侧时.
∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠DAC，
∴△AOC∽△ACD.∴.
∵AC＝＝2，AO＝1，
∴.∴AD＝20.∴OD＝19.
∴D(－19，0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝－1的对称点D'的坐标为
(17，0).
∴点D的坐标为(－19，0)或(17，0).
(3)如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m，n，求m－n的最大值.
解：设P(a，－a2－2a＋3)，－3＜a＜0，
直线PA的解析式为y＝kx＋d.将P(a，－a2－2a＋3)，
A(1，0)代入y＝kx＋d，得
解得
∴直线PA的解析式为y＝(－a－3)x＋a＋3.
当x＝0时，y＝a＋3.∴N(0，a＋3).
∵S△BMP＝S△BPA－S四边形BMNO－S△AON，
S△EMN＝S△EBO－S四边形BMNO，
∴S△BMP－S△EMN＝S△BPA－S△EBO－S△AON＝
×4×(－a2－2a＋3)－×3×3－×1×(a＋3)＝－2a2－a＝
－2.
由二次函数的性质知，当a＝－时，
S△BMP－S△EMN有最大值，最大值为.
∵△BMP和△EMN的面积分别为m，n，
∴m－n的最大值为.
6.(2014·达州) 如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(5，0)，B(4，4).
(1)求过O，B，A三点的抛物线的解析式；
解：∵该抛物线经过点A(5，0)，O(0，0)，
∴可设过O，B，A三点的抛物线的解析式为y＝
a(x－0)(x－5)，即y＝ax(x－5).
∵点B(4，4)在该抛物线上，
∴a×4×(4－5)＝4.∴a＝－1.
∴过O，B，A三点的抛物线的解析式为y＝－x(x－5)，即y＝－x2＋5x.
(2)在第一象限的抛物线上存在点M，使以O，A，B，M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标；
解：以O，A，B，M为顶点的四边形中，△OAB的面积
固定，因此只要另外一个三角形面积最大，四边形面积
就最大.设M(x，－x2＋5x).
①当0＜x＜4时，点M在线段OB上方的抛物线上，
如图1所示.
由B(4，4)易知直线OB的解析式为y＝x.
图1
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E(x，x).
∴ME＝(－x2＋5x)－x＝－x2＋4x.
∴S△OBM＝S△MEO＋S△MEB＝ME·(xE－0)＋ME·
(xB－xE)＝ME·xB＝ME×4＝2ME，
即S△OBM＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8.
∴当x＝2时，S△OBM的最大值为8；
图1
②当4＜x＜5时，点M在线段AB上方的抛物线上，易得
直线AB的解析式为y＝－4x＋20.
过点M作ME∥y轴，交AB于点E，
则E(x，－4x＋20).∴ME＝(－x2＋5x)－(－4x＋20)＝
－x2＋9x－20.
∴S△ABM＝S△MEB＋S△MEA＝ME·(xE－xB)＋ME·(xA－xE)＝ME·(xA－xB)＝ME×1＝ME，即S△ABM＝－x2＋x－10＝
图1
－.
∴当x＝时，S△ABM的最大值为.
比较①②可知，当x＝2时，四边形面积最大，
此时y＝－x2＋5x＝6.∴M(2，6).
图1
(3)作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值.
解：由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上，P(m，－m2＋5m)，Q(m，m)，0＜m＜4.
当△PQB为等腰三角形时，
①若BP＝BQ，如图2，过点B作BE⊥PQ于点E，
则点E为线段PQ的中点.
∴E.
∵BE∥x轴，B(4，4)，∴＝4.
解得m＝2或m＝4(舍去).∴m＝2；
图2　
②若PQ＝PB，如图3所示.
易知∠BOA＝45°.∴∠PQB＝45°，
则△PQB为等腰直角三角形.
∴PB∥x轴.∴－m2＋5m＝4.
解得m＝1或m＝4(舍去).∴m＝1；
图3　
③若QP＝QB，如图4所示.
∵P(m，－m2＋5m)，Q(m，m)，
∴PQ＝－m2＋4m.
又∵QB＝(xB－xQ)＝(4－m)，
∴－m2＋4m＝(4－m).
解得m＝或m＝4(舍去).∴m＝.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1或2或.
图4
7.(2025·东安雄才学校二模) 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，16)，且过点D(－6，c).
(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵C(0，c)，D(－6，c)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－3＝－，
则b＝－6，且c＝16.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－6x＋16.
图1
(2)如图2，P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF
∥y轴，交直线AC于点E，交x轴于点F，连接PC，BE，
BC，若，求点P的坐标；
解：令y＝－x2－6x＋16＝0，则x＝2或x＝－8，
即A(－8，0)，B(2，0).
由点A，C的坐标，得直线AC的函数表达式为y＝2x＋16.
当点P在AC的上方时，过点B作直线BM∥AC交y轴于点M，
图2
过点P作直线PN∥AC交y轴于点N，则直线BM的函数表
达式为y＝2(x－2)，则M(0，－4).∴CM＝16＋4＝20.
若，则CM∶CN＝5∶4.
∴CN＝16，即N(0，32).
∴直线PN的函数表达式为y＝2x＋32.
令2x＋32＝－x2－6x＋16，则x1＝x2＝－4.∴P(－4，24)；
当点P在AC的下方时，同理可得P(－4－4，－8－8).
综上所述，点P的坐标为(－4，24)或(－4－4，－8－8).
图2
(3)如图3，点M是抛物线的顶点，P为抛物线对称轴上的一个动点，连接AP，求AP＋PM的最小值.
解：过点M作直线MR，使直线MR
和PM的夹角为45°，交x轴于点R，
过点P作PH⊥MR于点H，则AP＋
MP＝AP＋PH，当A，P，H三
点共线时，AP＋MP＝AP＋PH＝AH最小.
图3
∵MR和PM的夹角为45°，∴△ARH为等腰直角三角形.由抛物线的函数表达式知，M(－3，25)，MR和x轴的夹角为45°，则直线MR的函数表达式为y＝－(x＋3)＋25.∴R(22，0)，则AR＝30.∴AP＋PM的最小值为AH＝AR＝30.
类型三
二次函数与角度问题
　　(1)特殊角问题：①利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；②遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°角构造等腰直角三角形，遇到30°，60°角构造等边三角形，遇到90°角构造直角三角形等.
　　(2)角的数量关系问题：①等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决；②二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解决；③角的和差问题：要善于转化.
　　(3)角的最值问题：利用辅助圆等知识来解决.
解题策略
例3 (2025·达州) 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，顶点为M.
备用图
(1)求抛物线的解析式；
解：把B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋3.
(2)连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线.交x轴于点E，交y轴于点F.
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
解：令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∴A(－1，0).
∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3.
∴△OBC是等腰直角三角形.∴∠OBC＝45°.
∵EF∥BC，∴∠FEA＝∠OBC＝45°.
∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，
且FA＝FE.∴EO＝AO＝FO＝1.
∴△AEF的外接圆直径是AE＝2，则其外接圆的半
径R＝1.
∵AF＝EF＝AE·sin 45°＝2×，
∴AF·r＋EF·r＋AE·r＝AE·FO，即(＋2)·r＝2.解得r＝－1.
∴－1.
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP＋BP的值最小时，求△BPE的面积.
解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M(1，4).
∴设直线x＝1与x轴交于点T(1，0).
如答图1，过点P作PQ⊥x轴于点P，则在Rt△BPQ
中，PQ＝BP·sin 45°＝BP.
答图1
∴MP＋BP＝MP＋PQ.
∴当M，P，Q三点共线，即MQ⊥x轴时，MP＋BP
的值最小，此时点Q，T重合.
当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上，即∠ACO
＝∠ECO时，如答图2，∵∠COA＝∠COE＝90°，
∴∠CAO＝∠CEO，∴CA＝CE.∴AO＝EO＝1.∴点E，T重合.
答图2
∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式是y＝－x＋3.当x＝1时，y＝2，∴P(1，2).
∴BE＝PE＝2.∴S△BPE＝×2×2＝2；
当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，如答
图3，过点F作FK⊥AC于点K，则OF＝KF.设OF＝
KF＝a，则CF＝3－a.
∵sin∠ACO＝，AC＝，
答图3
∴.∴a＝.∴OF＝.
∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OBC＝45°.
∴OE＝OF＝.
∴BE＝3－OE＝3－.
∴S△BPE＝××2＝；
答图3
当点E，F重合于点O时，点F在∠AEC的平分线上，
符合题意，则BE＝BO＝3.
∴S△BPE＝×3×2＝3.
综上所述，△BPE 的面积为2或或3.
答图3
8.(2024·东安雄才学校三模节选) 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意，得解得
∴抛物线的解析式为
y＝－x2＋2x＋3.
针对训练
(2)如图，若点M是抛物线上任意一点，且满足∠MAB＝2∠ACO，求点M的坐标.
解：设抛物线对称轴交x轴于点N，则ON＝OA.
∴∠ACN＝2∠ACO.
过点A作AH⊥CN于点H.
由点A(－1，0)，C(0，3)，N(1，0)，得AC＝CN
＝，AN＝2.
∴S△ACN＝AN×CO＝×AH×CN，
即AH×＝2×3，则AH＝.
∴sin∠ACN＝＝sin∠MAB.
∴tan∠MAB＝.
易得直线AM的解析式为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1).
令(x＋1)＝－x2＋2x＋3，
解得x＝－1(舍去)或x＝，∴M；
令－(x＋1)＝－x2＋2x＋3，
解得x＝－1(舍去)或x＝，∴M.
∴点M的坐标为或.
9.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴
交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，求点Q的坐标.
解：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴对称轴为直线x＝1.
如图，作△AOQ的外接圆H，作HG
⊥x轴，连接AH，OH，HQ.
∴AG＝GO＝，∠AQO＝∠AHO.
∴当∠OQA最大时，∠AHG最大.
∵AH＝HO＝HQ，∴当AH最小时，HQ最小，此时∠OQA最大，此时HQ垂直于对称轴，HQ＝1＋.
∴AH＝.在Rt△AHG中，HG＝
.
∴Q；
根据对称性，则存在另一点Q.
综上所述，点Q的坐标为或.
类型四
二次函数与特殊三角形问题
与特殊三角形问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类.若判断等腰三角形，可以对腰或底边进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.也会出现等边三角形、等腰直角三角形类问题，则综合以上方法，并结合其特殊性质进行探究.常借助勾股定理、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数等求点的坐标.
解题策略
例4 (2024·达州) 如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝ax2＋2ax－3a
＝ax2＋bx－3.解得a＝1.
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
解：由抛物线的解析式知，C(0，－3)，
D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1.
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上
方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BL∥AC
交抛物线于点P，则点P即为所求点.
由点A，C的坐标，得直线AC的解析式为y＝
－x－3.
∵DG∥AC，∴直线DG的解析式为y＝－(x＋1)－4＝－x－5.
∴G(0，－5)，则CG＝5－3＝2.
∴CL＝4，则L(0，1).
∴直线LP的解析式为y＝－x＋1.
令x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4.
∴点P的坐标为(1，0)或(－4，5).
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.设N(－1，m)，m＞－4.
由点A，C，N的坐标，得AC2＝18，AN2＝4＋m2，CN2＝1＋(m＋3)2.
当AC＝AN时，18＝4＋m2，解得m＝±.∴N(－1，±)；
当AC＝CN或AN＝CN时，18＝1＋(m＋3)2或4＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝－3＋或m＝－3－(舍去)，或m＝－1.
∴N(－1，－3＋)或N(－1，－1).
综上所述，点N的坐标为(－1，)或(－1，－)或(－1，－3＋)或(－1，－1).
10.(2017·达州) 如图1，点A的坐标为(2，0)，以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于点E.
(1)①直接回答：△OBC与△ABD全等吗
解：全等.
针对训练
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
解：∵△ABD≌△OBC，△OAB为等边三角形，
∴∠BAD＝∠BOC＝∠OBA＝60°.
∴AD∥OB.
∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行.
(2)当点C运动到使AC2＝AE·AD时，如图2，经过O，B，C三点的抛物线为y1.试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
解：存在.∵AC2＝AE·AD，∴.
又∠DAC＝∠CAE，∴△ACD∽△AEC.
∴∠ADC＝∠ACE.
由△ABD≌△OBC，得∠ACB＝∠BDE.
∴∠BDE＝∠ADC.
又△BDC是等边三角形，∴DE垂直平分BC.
∵AD∥OB，∴∠OBC＝90°.
在Rt△OBC中，∠BOC＝60°，OB＝OA＝2，
∴OC＝4.∴C(4，0).
∵yB＝2×sin 60°＝，xB＝2×＝1，
∴B(1，).
∵抛物线y1过点O，B，C，∴设y1＝ax2＋bx.
∴解得
∴y1＝－x2＋x.
∵AE⊥BE，∴当∠BEP＝90°时，点P为直线AE与y1的交点.
∵E是BC的中点，∴E.
设直线AE的解析式为y＝kx＋c.
∴解得
∴y＝x－2.
联立
解得
∴P(－2，－4)或P(3，)；
当∠PBE＝90°时，点P与点O重合，
∴P(0，0).
综上所述，点P的坐标为(－2，－4)或(3，)或(0，0).
(3)在(2)的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组
成的图形为M，函数y＝x＋m的图象l与M有公
共点.试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值.
解：m＝或0或－4或－.
11.(2025·达州适应) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－6)，连接BC.若点P在线段BC上运动(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F.设点P的横坐标为m.
备用图
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意，得y＝a(x＋2)(x－6)＝ax2－4ax－12a，
则－12a＝－6.解得a＝.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－6.
(2)若PF＝3PE，求m的值；
解：由B(6，0)，C(0，－6)，设直线BC的解析式为
y＝kx－6，则6k－6＝0.解得 k＝1.∴直线BC的解析
式为y＝x－6.
∵点P的横坐标为m，∴P(m，m－6)，F(m，0)，
E(0＜m＜6).
∴PF＝－(m－6)＝6－m，PE＝m－6－＝－m2＋3m.
∵PF＝3PE，∴6－m＝3.解得m＝或m＝6(不合题意，舍去).∴m＝.
(3)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形 若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.
解：存在m使得△CPE为等腰直角三角形，m的值为4或2.　[由(2)知P(m，m－6)，F(m，0)，E(0＜m＜6).
∵OC＝OB＝6，∴∠OCB＝∠OBC＝45°.
又∵PF⊥x轴，∴∠PFB＝90°，∠FPB＝90°－45°
＝45°.∴∠CPE＝∠FPB＝45°.
若△CPE是等腰直角三角形，分情况讨论：
①当∠CEP＝90°时，如答图1，∠CPE＝∠PCE
＝45°.∵∠FBC＝45°，∴∠PCE＝∠FBP.
∴CE∥x轴.∴FE＝OC＝6.
∴－＝6.
解得m＝4或m＝0(不合题意，舍去)；
答图1　　
②当∠PCE＝90°时，如答图2，CP＝CE，过点C作CK⊥PE于点K，则PK＝KE＝PE，且CK∥x轴.∴FK＝OC＝6.
∵PE＝－m2＋3m，∴PK＝－m2＋m.
∴FK＝FP＋PK＝6－m－m2＋m＝－m2＋m＋6＝6.
解得m＝2或m＝0(不合题意，舍去).
综上所述，m的值为4或2.]
答图2
类型五
二次函数与特殊四边形问题
此类题型结合特殊四边形的判定和性质，对对应边
进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存
在类问题用平移法求坐标较简便.如图，点A到点B的平移
方式与点D到点C的平移方式相同.若A(1，2)，B(0，0)，D(x，y)，则可设C(x－1，y－2).也可根据“平行四边形的对角线互相平分”来利用对角线的中点坐标求解，如在 ABCD中，xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.其他特殊的平行四边形结合其判定和性质还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破.
解题策略
例5 (2023·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意设抛物线的解析式为y＝
a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，
则－3a＝3.解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3.
过点P作y轴的平行线交CB于点H.
设P(m，－m2＋2m＋3)，则H(m，－m＋3).
∴S△PBC＝S△PHC＋S△PHB＝PH·OB
＝(－m2＋2m＋3＋m－3)＝－≤.
∴△PBC的最大面积为，此时P.
(3)若M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.点N的坐标为(4，)或(4，－)或(－2，＋3)或(－2，－＋3).
[∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∴设M(1，t)，N(x，y).已知B(3，0)，C(0，3).
①若BC为菱形BCMN的边长，
则BC2＝CM2，即32＋32＝12＋(t－3)2.
解得t1＝＋3，t2＝－＋3.
∵
∴N1(4，)，N2(4，－)；
②若BC为菱形BCNM的边长，
则BC2＝BM2，即32＋32＝(3－1)2＋t2.
解得t3＝，t4＝－.
∵
∴N3(－2，＋3)，N4(－2，－＋3).]
12.(2021·达州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A和C(1，0)，交y轴于点B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F.
针对训练
(1)求抛物线的解析式；
解：把C(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接AE'，BE'，求BE'＋AE'的最小值；
解：在OE上取一点D，使得OD＝OE，
连接DE'，BD.
∵OD＝OE＝OE'，抛物线对称轴为直线
x＝－＝－1，
∴E(－1，0)，OE'＝OE＝1，OD＝.
∵C(1，0)，∴A(－3，0)，OA＝3.
∴.又∵∠DOE'＝∠E'OA，
∴△DOE'∽△E'OA.∴DE'＝AE'.
∴BE'＋AE'＝BE'＋DE'.
当B，E'，D三点在同一条直线上时，BE'＋DE'最小为BD.
在Rt△BOD中，
BD＝.
∴BE'＋AE'的最小值为.
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在
一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形
若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说
明理由.
解：存在.点N的横坐标为或或－1或2.
[设N(n，－n2－2n＋3)，M(x，y).∵A(－3，0)，B(0，3)，∴AB2＝18，AN2＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2，BN2＝n2＋(n2＋2n)2.∵点A，B，M，N构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形.①若AB是斜边，则AB2＝
AN2＋BN2，即18＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＋n2＋(n2
＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－3(舍去)或n＝
或n＝；②若AN是斜边，则AN2＝AB2＋BN2，
即(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＝18＋n2＋(n2＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－1；③若BN是斜边，则BN2＝AB2＋AN2，即n2＋(n2＋2n)2＝18＋(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2.解得n＝－3(舍去)或n＝2.综上所述，点N的横坐标为或或－1或2.]
13.(2025·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，与x轴交于点 A(－1，0)和点B.
(1)求该抛物线的解析式；
解：把(2，3)，A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)点C，D在直线y＝x＋上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点.若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标；
解：过点F作FH⊥x轴于点H，设直线CD交y轴于点K.在y＝x＋中，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1.∴K，
直线y＝x＋与x轴交于点A(－1，0).
∴tan∠KAO＝.
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF∥CD，DE＝EF.
∴∠FEH＝∠KAO.∴tan∠FEH＝.
设FH＝t，则EH＝2t.
∴EF＝t.∴DE＝EF＝t.
∵∠ADE＝90°，∴tan∠KAO＝.
∴AD＝2DE＝2t.
∴AE＝＝5t.
∴AH＝AE＋EH＝5t＋2t＝7t.
∴OH＝AH－OA＝7t－1.∴F(7t－1，t).
把F(7t－1，t)代入y＝－x2＋2x＋3，得
t＝－(7t－1)2＋2(7t－1)＋3.
解得t＝0(舍去)或t＝.
∴点F的坐标为.
(3)设点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，
点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上，
当1≤x1≤2时，y2－y1的最小值为3，求m的值.
解：∵点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上，
∴y1＝－＋2x1＋3，y2＝－(4m－2)x1＋4m2＋2.∴y2－y1＝－(4m－2)x1＋4m2＋2－(－＋2x1＋3)＝2－4mx1＋4m2－1＝2(x1－m)2＋2m2－1.
①当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2－y1的
值为3，即2(1－m)2＋2m2－1＝3.
解得m＝(大于1，舍去)或m＝；
②当1＜m＜2时，若1≤x1≤2，
则x1＝m时，y2－y1的值为3，即2m2－1＝3.解得
m＝或m＝－(舍去)；
③当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2－y1的
值为3，即2(2－m)2＋2m2－1＝3.解得m1＝m2＝1
(舍去).
综上所述，m的值为或.
类型六
二次函数与三角形全等、相似问题
(1)抓住全等、相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等)；(2)找现成的等量关系，例如从相等的角度确定对应关系；(3)运用分类讨论的思想，几种不同的全等、相似情况逐一讨论；(4)充分运用全等、相似的性质，相似中利用相似比或者面积比等进行列式计算；(5)大胆设点的坐标，充分利用点在函数图象上从而代入函数表达式.
解题策略
例6 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D(4，m)在抛物线上.
(1)求抛物线的表达式及m的值；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点A(1，0)，
B(5，0)，∴解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5.
∵点D(4，m)在抛物线上，
∴m＝42－6×4＋5＝－3.
(2)如图2，连接AD，BD，CB，在线段CB上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形与△ABD相似(包括全等)，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：在.点Q的坐标为(2，3)或.
14.(2024·开江县二模改编) 如图，在平面直角坐标系
中，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于C(－2，0)，A(3，0)
两点，与y轴交于点B(0，－6).在抛物线的对称轴MN上
是否存在一点Q，使得△BGQ与△OAB相似 若存在，
请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
针对训练
解：存在.∵∠ABO＝∠MGA＝∠BGQ，
∴tan∠ABO＝tan∠MGA＝tan∠BGQ＝，
则sin∠BGQ＝＝sin α.
当∠GBQ＝90°时，BG＝.
∴BQ＝BG·tan α＝.
设Q.由点B，Q的坐标，得＋(m＋6)2＝.解得m＝
－(不合题意的值已舍去)，即Q；
当∠GQB＝90°时，点B，Q的纵坐标相同.
∴Q.
综上所述，点Q的坐标为或.
类型七
二次函数中的定值、定点问题
　　(1)定值问题：此类问题涵盖类型较多，面积(面积比)定值、线段(线段比)定值、线段和差倍分(定值)、线段乘积定值、横(纵)坐标定值等，常见做法是用代数式表示对应的线段、周长、面积的值后，通过代数运算，确定取值与参数无关.
解题策略
　　(2)图象过定点问题：常用方法为分离参数法，即先整理原函数表达式，对含有参数的项全部集中并把此参数用提公因式法提出来(即分离参数法).因为求出的顶点不受参数影响，所以只能令提出公因式后剩下的因式等于0，得到一个关于自变量的方程，方程的解就是定点的横坐标，将其解代入表达式得到的函数值就是定点的纵坐标，从而确定定点坐标.另外，方程的解有几个，定点就有几个.
例7 (2022·达州) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的表达式；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(3，0)，
∴解得
∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在.
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴.
∴点P与点C关于该二次函数图象的对称轴对称.
∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
∵C(0，2)，∴P(2，2)；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D(m，0)，
则OD＝m，DB＝3－m.
∵∠PCB＝∠ABC，∴CD＝BD＝3－m.
在Rt△COD中，OC2＋OD2＝CD2，
∴22＋m2＝(3－m)2.解得m＝.∴D.
设直线CD的函数表达式为y＝kx＋d，
则解得
∴直线CD的函数表达式为y＝－x＋2.
联立
解得∴P.
综上所述，点P的坐标为(2，2)或.
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM＋EN的值是否为定值 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解：EM＋EN的值是定值.
由(2)知，二次函数y＝－x2＋x＋2图象的对称轴为
直线x＝1.∴E(1，0).
设Q，且－1＜t＜3.
设直线AQ的函数表达式为y＝ex＋f，则
解得
∴直线AQ的函数表达式为y＝x－t＋2.
当x＝1时，y＝－t＋4，∴M.
同理，直线BQ的函数表达式为y＝x＋2t＋2，
当x＝1时，y＝t＋，∴N.
∴EM＝－t＋4，EN＝t＋.
∴EM＋EN＝－t＋4＋t＋.
故EM＋EN的值为定值.
15.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
解：将点A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.
针对训练
(2)P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ON是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
解：在点P运动过程中，OM＋ON为定值.设P(s，t)，
直线AP的表达式为y＝dx＋f，BP的表达式为y＝gx＋h.
∵A(－2，0)，B(4，0)，P(s，t)，
∴
解得
∴直线AP的表达式为y＝x＋，
BP的表达式为y＝x＋.
对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即M.对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即N.
∵P(s，t)在抛物线上，则t＝－s2＋s＋4＝
－(s－4)(s＋2)，
∴OM＋ON＝×
＝6.
∴OM＋ON为定值6.
16.(2024·宣汉县一模) 已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，顶点为P，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6.
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
解：把A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋c，得
a＋2a＋c＝0.∴c＝－3a.
∴y＝ax2－2ax－3a.
令y＝0，得0＝ax2－2ax－3a.
∵a≠0，∴x＝－1或x＝3.
∴A(－1，0)，B(3，0).
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4.
∵△ABC的面积为6，∴×4×yC＝6.
∴yC＝3.∴C(0，3).
把C(0，3)代入y＝ax2－2ax－3a，得
－3a＝3.解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
解：由(1)知P(1，4).设E(0，t).
∵AP是平行四边形的边，∴当点A向右平移2个单位长度、
向上平移4个单位长度得到点P，同样点E向右平移2个单
位长度、向上平移4个单位长度得到点Q，即Q(2，t＋4).
∴－22＋2×2＋3＝t＋4.解得t＝－1.∴Q(2，3).
∴平移后抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1.
(3)若过定点K(2，1)的直线交抛物线于M，N两点(点N在点M的右侧)，过点N的直线y＝－2x＋b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点.
证明：设M(p，－p2＋2p＋3)，N(q，－q2＋2q＋3)，
设直线MN解析式为y＝kx＋b.
∴解得
∴直线MN解析式为y＝(－p－q＋2)x＋pq＋3.
∵直线MN过定点K(2，1)，
∴2(－p－q＋2)＋pq＋3＝1.
∴pq＝2p＋2q－6.
∵直线y＝－2x＋b过点N(q，－q2＋2q＋3)，
∴－q2＋2q＋3＝－2q＋b.
∴b＝－q2＋4q＋3.
∴y＝－2x－q2＋4q＋3.
由－2x－q2＋4q＋3＝－x2＋2x＋3，得
x＝q或x＝－q＋4.∴G(－q＋4，－q2＋6q－5).
设直线MG的解析式为y＝k'x＋b'.
把M(p，－p2＋2p＋3)，G(－q＋4，－q2＋6q－5)代入上式，得
解得
∴直线MG解析式为y＝(－p＋q－2)x－pq＋4p＋3.
∵pq＝2p＋2q－6，∴直线MG解析式为y＝(－p＋q－2)x＋2p－2q＋9.
当x＝2时，y＝2(－p＋q－2)＋2p－2q＋9＝5.
∴直线MG必过定点(2，5).
17.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴
为直线x＝1，
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x.
(2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
解：当k＝1时，y＝x－1.∴当x＝0时，y＝－1；
当x＝2时，y＝1.∴D(0，－1)，E(2，1).
∵y＝(x－h)2－1，
∴顶点在直线y＝－1上移动.
∵抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，
∴令(x－h)2－1＝x－1，整理，得x2－(2h＋1)x
＋h2＝0.∴当Δ＝(2h＋1)2－4h2＝0，即h＝－时，
如图1，满足题意.
将抛物线y＝(x－h)2－1从h＝－开始向右
平移，直至抛物线与线段DE只有一个交点
为E(2，1)时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段
DE均有公共点，∴当抛物线y＝(x－h)2－1
过点E(2，1)时，如图2，(2－h)2－1＝1.解
得h＝2－或h＝2＋.
∴h的取值范围为－≤h≤2＋.
(3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1.
∴C(1，0).又∵抛物线的对称轴为直线x＝1.
∴点C在抛物线的对称轴上.
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的函数表达式为y＝－(x－1)，
即y＝－x＋.记A(xA，yA)，B(xB，yB).
令x2－2x＝kx－k，整理，得x2－(k＋2)x＋k＝0.∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k(xA＋xB)－2k＝k2.
∵M为AB的中点，∴M.
令x2－2x＝－x＋，
同理可得N.
如图3，过点M作MH⊥CT于点H，过点N作NF⊥CT于点F.
∵TC 平分∠MTN，∴∠MTH＝∠NTF.
∴tan∠MTH＝tan∠NTF.∴.
设T(1，t)，则.
∴t＝－.∴点T的坐标为.(共25张PPT)
专题三 数与代数的实际应用　
例1 (2025·资阳) 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包.购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元.
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元
解：设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元.
根据题意，得解得
答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元.
类型一
方程(组)、不等式(组)型
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份
解：设购买A款材料包m份，则购买B款材料包(50－m)份.
根据题意，得16m＋18(50－m)≤830.
解得m≥35.
∴m的最小值为35.
答：至少购买A款材料包35份.
1.(2025·成都) 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
针对训练
(1)求每个A种挂件的价格；
解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元.由题意，得
＋7.解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意.
答：每个A种挂件的价格为25元.
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
解：设该游客最多购买m个A种挂件，则购买(m＋5)个B种挂件.
又结合(1)每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20(元)，由题意，得25m＋20(m＋5)≤600.解得m≤.
∵m为整数，∴m的最大值为11.
答：该游客最多购买11个A种挂件.
2.(2025·淄博)某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生.现知共有200名师生参加了最近一次活动.
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门.已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
解：设大巴车的速度为x km/h，则中巴车的速度为1.25x km/h.根据题意，得
.解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意.
答：大巴车的速度为80 km/h.
(2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元.如果购买门票的费用共计2 200元，那么参加本次活动的学生人数是多少
解：设参加本次活动的学生人数是y，则教师人数是200－y.根据题意，得
10y＋30(200－y)＝2 200.解得y＝190.
答：参加本次活动的学生人数是190.
例2 (2025·东安雄才学校二模) 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套.
(1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝__________；(用含x的代数式表示)
类型二
方程(组)、不等式(组)与函数型
500－10x
(2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少
解：由(1)知，y＝500－10x.
∴w＝(x－20)(500－10x)＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
∵－10＜0，∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2 250.
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2 250元.
(3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食(m＞0)，要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2 112元，求m的值.
解：由题意，得x≥30，且500－10x≥160.
解得30≤x≤34.
此时销售该文具的日利润w＝(500－10x)(x－20－m)＝－10x2＋(10m＋700)x－10 000－500m，m＞0，其图象的对称轴为直线x＝m＋35＞35.
∵－10＜0，∴当x≤35时，w随x的增大而增大.∴当x＝34时，w取最大值.
∴(500－10×34)(34－20－m)＝2 112.
∴m＝0.8.
3.(2025·达高三诊) 2025年是“重塑大县荣光，建设美好竹乡”的冲刺之年、成势之年，为加快“三竹鼎立”现代竹产业格局构建，多个行业龙头企业落地大竹.某“竹缠绕”加工厂销售A，B两类竹产品.A类竹产品成本为50元/件，B类竹产品成本为60元/件，已知销售1件A类竹产品和1件B类竹产品总售价为140元，销售2件A类竹产品和1件B类竹产品总售价为200元.
针对训练
(1)A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是多少元
解：设A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是a元和b元.由题意，得
解得
答：A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是60元和80元.
(2)市场调查反映，A类竹产品按原价销售每天可售出60件，若每件A类竹产品涨价1元，每天就少售出2件，B类竹产品每天只能按原价销售100件.设每件A类竹产品涨价x元，每天销售完这两类竹产品的总利润为w元，求出每件A类竹产品涨价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元 (利润＝售价－成本)
解：由题意，得w＝(60＋x－50)(60－2x)＋100×(80－60)＝－2x2＋40x＋2 600＝－2(x－10)2＋2 800.
∵－2＜0，∴当x＝10时，w取最大值2 800.
答：每件A类竹产品涨价10元时，总利润w最大，最大利润是2 800元.
4.(2025·通川区二模) 已知A，B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30 000元和34 000元将这两地的农产品全部购进.
(1)求该公司购进农产品的总质量；
解：设该公司从A地购进农产品m吨，则从B地购进农产品也是m吨.
由题意，得－100.解得m＝40.
经检验，m＝40是原方程的解，且符合题意.
∴2m＝2×40＝80.
答：该公司购进农产品的总质量为80吨.
(2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1 200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨.公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1 600元.则该公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润 最大利润是多少 (利润＝销售额－成本－支出费用)
解：设该公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元.
由题意，得解得0＜x＜40.
y＝(1 200＋200x)(80－2x)－1 600x－30 000－34 000＝－400x2＋12 000x＋32 000＝－400(x－15)2＋122 000.
∵－400＜0，
∴当x＝15时，y取最大值122 000.
答：该公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122 000元.
5.(2024·渠县中学三模)大竹东柳醪糟历史悠久，味道香甜，畅销国内外，小洋在网上开设东柳醪糟专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款醪糟的进货单价比B款醪糟少5元，花500元购进A款醪糟的数量与花750元购进B款醪糟的数量相同.
(1)问：A，B两款醪糟的进货单价分别是多少元
解：设A款醪糟的进货单价是x元，则B款醪糟的进货单价是(x＋5)元.根据题意，得.解得x＝10.
经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意.
∴10＋5＝15(元).
答：A款醪糟的进货单价是10元，B款醪糟的进货单价是15元.
(2)小洋在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
日期 A款醪糟/坛 B款醪糟/坛 销售总额
2月3日 20 35 940
2月4日 40 30 1 080
问：两款醪糟的销售单价分别是多少
解：设A款醪糟的销售单价是a元，B款醪糟的销售单价是b元.根据题意，得
解得
答：A款醪糟的销售单价是12元，B款醪糟的销售单价是20元.
(3)根据(1)(2)所给的信息，小洋要花费1 000元购进A，B两款醪糟若干坛，A款的数量不小于B款的一半，根据计算说明，当A，B两款各多少时，总利润最高，最高为多少
解：设购进B款醪糟m坛，则购进A款醪糟＝100－m(坛).根据题意，得
100－m≥m.解得m≤50.
设总利润为w元，则w＝(12－10)＋(20－15)m＝2m＋200.
∵2＞0，∴w随m的增大而增大.
∴当m＝50时，w取最大值，最大值为2×50＋200＝300，则100－m＝100－×50＝25.
答：购进A款醪糟25坛、B款醪糟50坛时，总利润最高，最高为300元.
6.(2024·开江县二模) “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
(1)当x＝60时，p＝__________；
解：[由题意，得p＝500－10(x－50)＝－10x＋1 000，即每天的销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p＝－10x＋1 000.当x＝60时，p＝－10×60＋1 000＝400.]
400
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润w(元)最大 最大利润是多少
解：由题意，得w＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000.
由题可知，每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.
∴即
解得50≤x≤65.
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝8 750.
答：当每盒售价定为65元时，日销售利润w(元)最大，最大利润是
8 750元.
(3)小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为小红的说法正确吗 若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
解：当日销售利润不低于8 000元，即w≥8 000时，结合函数图象可知60≤x≤80.
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.(共52张PPT)
专题四　圆的综合
例1 (2025·达州适应) 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作弦CD⊥AB于点E，F是上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于点M，HM＝FM，AC∥MG.
类型一
与锐角三角函数的综合
(1)求证：MF是☉O的切线；
证明：连接OF.
∵CD⊥AB，∴∠AEH＝90°，
∠HAE＋∠AHE＝90°.
∵OA＝OF，HM＝FM，
∴∠HAE＝∠OFA，∠MFH＝∠MHF＝∠AHE.∴∠OFA＋∠MFH＝90°，
即∠OFM＝90°.∴OF⊥MG.
又∵OF是☉O的半径，
∴MG是☉O的切线.
(2)延长AB，MF相交于点G，若tan M＝，AE＝3，求OG的长.
解：连接OC.∵AC∥MG，∴∠M＝∠ACE.
∵tan M＝，∴tan∠ACE＝.
∵AE＝3，∴CE＝4.
设☉O的半径为r，则OE＝OA－AE＝r－3.
在Rt△COE中，由勾股定理，得
OE2＋CE2＝OC2，即(r－3)2＋42＝r2.
解得r＝.∴OF＝.
由(1)，得∠OFG＝90°.
∵tan M＝，
∴设EG＝3a，则ME＝4a.
∴MG＝5a.∴sin G＝，即.
∴.∴OG＝.
1.(2025·通川区二模) 如图，已知△ABC，以AC为直径的☉O交AB于点D，E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC.
针对训练
(1)求证：BC是☉O的切线；
证明：连接AE.
∵AC是☉O的直径，
∴∠E＝90°.
∴∠EAD＋∠AFE＝90°.
∵BF＝BC，∴∠BCE＝∠BFC＝∠AFE.
∵E为的中点，∴∠EAD＝∠ACE.
∴∠BCE＋∠ACE＝90°.∴AC⊥BC.
∵AC为☉O的直径，∴BC是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为2，cos B＝，求CE的长.
解：∵☉O的半为2，∴AC＝4.
∵cos B＝，∴BC＝3，AB＝5.
∴BF＝3，AF＝5－3＝2.
∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E，
∴△AEF∽△CEA.∴.
∴CE＝2AE.可设AE＝x，则CE＝2x.
由勾股定理，得x2＋4x2＝16.
∴x＝(负值已舍去).∴CE＝.
2.(2025·达高三诊) 如图，在△ABF中，C为AF上一点，且AB＝AC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，若∠BAF＝2∠CBF.
(1)求证：直线BF是☉O的切线；
证明：连接AE.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴AE⊥BC.
∴∠BAE＋∠ABE＝90°.
∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC.
∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝∠BAE.
∴∠ABE＋∠CBF＝90°.∴AB⊥BF.
∵AB是☉O的直径，∴BF是☉O的切线.
(2)若AB＝15，sin∠CBF＝，求BF的长.
解：过点C作CG⊥BF于点G.
∵AB＝15，sin∠BAE＝sin∠CBF＝，
∴BE＝AB＝3.
∴AE＝＝6.
∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2BE＝6.
∵sin∠CBF＝，
∴CG＝BC＝6，BG＝＝12.
∵AB∥CG，∴△ABF∽△CGF.
∴，即.∴FG＝8.
∴BF＝BG＋FG＝12＋8＝20.
3.(2014·达州) 如图，直线PQ与☉O相交于点A，B，BC是☉O的直径，BD平分∠CBQ交☉O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E.
(1)求证：DE与☉O相切；
证明：连接OD.
∵BD平分∠CBQ交☉O于点D，
∴∠CBD＝∠QBD.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠QBD.∴OD∥PQ.
∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE.
又∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切.
(2)连接AD，已知BC＝10，BE＝2，求sin∠BAD的值.
解：连接CD.
∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°.
∵DE⊥PQ，∴∠BED＝∠BDC＝90°.
又∠CBD＝∠QBD，∴△BCD∽△BDE.
∴，即.∴BD＝2.
在Rt△BCD中，sin C＝.
∵∠BAD＝∠C，∴sin∠BAD＝.
例2 (2021·达州) 如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点(点C不与点A，B重合)，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交☉O于点F.
类型二
与几何图形面积结合
(1)求证：CE是☉O的切线；
证明：连接OC.
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
∵将△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC.
∴∠ACO＝∠EAC.
∴OC∥AE.∴∠E＋∠ECO＝180°.
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE.
又∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线.
(2)若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积.
解：连接OF，过点O作OG⊥AF于点G，则AF＝2AG.
∵∠BAC＝15°，∴∠BAF＝2∠BAC＝30°.
∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝.
∴AF＝2AG＝2.
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，
CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD＝OC＝1，OD＝.
∴AE＝AD＝AO＋OD＝2＋，CE＝CD＝1.
∴EF＝AE－AF＝2＋－2＝2－.
∵∠EAC＝∠BAC＝15°，
∴∠COF＝2∠EAC＝30°.
∴S阴影＝S梯形OCEF－S扇形COF＝×(2－＋2)×1－×π×22＝2－.
4.(2018·达州) 已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作☉O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证：DF是☉O的切线；
证明：连接CD，OD.
∵BC是☉O的直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB.
又∵△ABC是等边三角形，
针对训练
∴AD＝BD.
∵BO＝CO，∴DO是△ABC的中位线.
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD.
∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线.
(2)若等边△ABC的边长为8，求由，DF，EF围成的阴影部分面积.
解：连接OE，过点O作OG⊥AC于点G.
∴∠OGF＝∠DFG＝∠ODF＝90°.
∴四边形ODFG是矩形.
∴FG＝OD＝4.
∵OC＝OE＝OD＝OB，且∠OCE＝∠B＝60°，
∴△OBD和△OCE均为等边三角形.
∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4.
∴EG＝CE＝2，
DF＝OG＝OC·sin 60°＝2，∠DOE＝60°.
∴EF＝FG－EG＝2.
∴S阴影＝×(2＋4)×2
＝6.
5.(2025·内江) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，☉O恰好经过点D，交AB于点E.
(1)求证：直线AC是☉O的切线；
证明：连接OD.
∵∠C＝90°，∴BC⊥AC.
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠OBD＝∠CBD.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C＝90°.∴OD⊥AC.
又∵OD是☉O的半径，
∴直线AC是☉O的切线.
(2)若E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
解：设☉O的半径为R.
∴OD＝OE＝OB＝R.
∵E是AO的中点，∴AE＝OE＝R.
∴AO＝2R.
由(1)可知OD⊥AC.
∴在Rt△AOD中，sin A＝，
∴∠A＝30°.∴∠AOD＝60°.
∵AD＝3，∴OD＝AD·tan A＝3×tan 30°
＝.∴S△AOD＝AD·OD＝×3×，
S扇形OED＝.
∴阴影部分的面积为S△AOD－S扇形OED＝.
(3)连接DE，若sin∠DBA＝，求cos A的值.
解：∵BE是☉O的直径，∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，sin∠DBA＝.
设DE＝a，BE＝5a.∴OD＝BE＝2.5a.
由勾股定理，得BD＝＝2a.
∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDE∽△BCD.
∴，即.
∴BC＝4a，CD＝2a.
由(1)可知OD∥BC.∴△AOD∽△ABC.
∴，即.∴AD＝.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
AO＝.
∴cos A＝.
例3 (2024·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF.
类型三
与相似三角形的综合
(1)求证：BC·DF＝BF·CE；
证明：∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠BFD＝∠C.
∵，∴∠BEC＝∠BDF.
∴△BCE∽△BFD.∴.
∴BC·DF＝BF·CE.
(2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径.
解：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H.
∵∠C＝90°，tan∠BFC＝，
∴.∴BC＝CF.
∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，即∠ABC＝∠BFC.
∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴.
∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF.
∵AC－CF＝AF＝4，
∴5CF－CF＝4.∴CF＝.
∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5.
∴AB＝＝5.
由(1)知，△BCE∽△BFD.
∴∠CBE＝∠DBF.
∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE，
即∠CBF＝∠EBA.
∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA.
∴AE＝BE.∴BH＝AH＝AB＝.
∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝.
∴，即.∴EH＝.
∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°.
∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH.
∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝.
∴，即.∴DH＝.
∴BD＝DH＋BH＝＝3.
∴☉O的直径为3.
∴CF的长为，☉O的直径为3.
6.(2019·达州) 如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交☉O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC.
针对训练
(1)判断直线DF与☉O的位置关系，并说明理由；
解：直线DF与☉O相切.
理由：连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴.∴OD⊥BC.
∵DF∥BC，∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半径，∴直线DF与☉O相切.
(2)若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长.
解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC.∴.
∴.∴BD＝.
7.(2016·达州) 如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证：AE·BC＝AD·AB；
证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠C＝90°.
∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°，
∠ADE＝∠C＝90°.
∵AE是半圆O的切线，∴OA⊥AE.
∴∠E＋∠AOE＝90°.∴∠E＝∠CAB.
∴△EAD∽△ABC.
∴EA∶AB＝AD∶BC.
∴AE·BC＝AD·AB.
(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长.
解：过点D作DM⊥AB于点M，
则DM∥AE.
∵半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB·sin∠BAC＝6.
∴AC＝＝8.
∵OD⊥AC，∴AD＝AC＝4.
∵sin∠BAC＝sin∠MAD＝，∴DM＝.
∴在Rt△AMD中，
AM＝.
∴BM＝AB－AM＝.
∵DM∥AE，∴，即.
∴AF＝.
8.(2015·达州) 如图，在△ABC的外接圆☉O中，△ABC的外角平分线CD交☉O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E.
(1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
解：DB＝DA.理由：
∵CD平分∠ACM，
∴∠MCD＝∠ACD.
∵∠MCD＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠DAB＝
180°，∴∠MCD＝∠DAB.
∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DAB＝∠DBA.
∴DB＝DA.
(2)求证：△BCD≌△AFD；
证明：∵，∴BC＝AF.
又∵∠DAB＝∠DBA，∴.
∴.∴CD＝DF.
又∵DB＝DA，∴△BCD≌△AFD(SSS).
(3)若∠ACM＝120°，☉O的半径为5，DC＝6，求DE的长.
解：过D，O作☉O的直径DN，连接AN.
∵∠DCA＝∠ACM＝60°，
∴∠DNA＝∠DCA＝60°.
∵DN为☉O的直径，∴∠DAN＝90°.
∴DA＝DN·sin∠DNA＝2×5×sin 60°＝5.
在四边形ABDF中，∠DBA＋∠AFD＝180°.
又∵∠DAB＋∠DAE＝180°，且∠DBA＝∠DAB，∴∠AFD＝∠DAE.
又∠FDA＝∠ADE，∴△DAF∽△DEA.
∴，即DA2＝DE·DF.
由(2)知，DF＝DC＝6.
∴DE＝.
9.(2025·东安雄才学校三模)如图，☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AB＝4，D是☉O上一点，连接AD，BD，延长BD至点F，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD.
(1)试判断AF与☉O的位置关系，并说明理由；
解：AF与☉O相切.
理由：∵☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是☉O的直径.
∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠DAF＝∠ABD，∴∠BAD＋∠DAF＝90°.
∴∠BAF＝90°，即AF⊥AB.
∴AF与☉O相切.
(2)若AF＝3，∠AFB＝∠CBD，求AC的长.
解：在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，AF＝3，AB＝4，∴BF＝＝5.
∵S△ABF＝AD·BF＝AF·AB，
∴AD＝.
∴BD＝.
∴DF＝BF－BD＝5－.
连接CD，OC，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠ADF＝90°.
又∵∠AFB＝∠CBD，∴△AFD∽△DBH.
∴，即.∴BH＝.
∵∠AFB＋∠DAF＝∠DAB＋∠DAF＝90°，
∴∠AFB＝∠DAB.
∵∠DAB＝∠BCD，∴∠AFB＝∠BCD.
∵∠AFB＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CBD.
∴BD＝CD.∴DH垂直平分BC.
∵OC＝OB，∴点O在BC的垂直平分线上.
∴D，H，O三点共线.
∴BC＝2BH＝2×.
∴AC＝，
即AC的长为.(共38张PPT)
专题五　新定义与阅读理解问题
例1 对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为(　　)
A.2－4 B.2
C.2 D.20
类型一
新定义运算、法则或图形
B
例2 我们用[a]表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数.下列说法：
①[2.5]＝2，<－2>＝－1；
②如果＝4，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③若x，y满足方程组则x，y的取值范围为－1＜x＜0，2＜y＜3.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
C
例3 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”.
(1)如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于__________；
图1　
2
(2)如图2，四边形DGHI是(1)中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接
正方形，依此类推……则第n个内接正方形的边长an＝_________.(n为正整数)
图2

1.(2024·开江县二模) 对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2－b，若关
于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围(　　)
A.k＞－ B.k＞－且k≠0
C.k≥－且k≠0 D.k＜－
针对训练
B
2.(2025·泸州) 对于任意实数a，b，定义新运算：a※b＝给出下列结论：
①8※2＝8；②若x※3＝6，则x＝6；③a※b＝(－a)※(－b)；④若(2x－4)※2＜5x，则x的取值范围为x＞.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
3.(2015·达州) 对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算.例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是_____________.
4≤a＜5
4.(2025·新疆)对多项式A，B，定义新运算“ ”：A B＝2A＋B；对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：k A＝(按从左到右的顺序依次做“ ”运算).已知正整数m，n为常数，记M＝m (x2＋31xy)，N＝n (y2－14xy)，若M N不含xy项，则mn＝__________.
15
5.(2025·乐山) 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫作“单位圆点”.
(1)下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是________(填序号)；
①y＝x＋2；②y＝；③y＝x2＋1.
(2)若一次函数y＝x＋m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围
为____________________.
③
－≤m≤
6.(2025·河南) 定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P为边BC上一点.若
△APC为“反直角三角形”，则BP的长为__________.
或
例4 (2015·达州) 阅读与应用：
阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a－2＋b≥0，从而a＋b≥2(当a＝b时取等号).
阅读2：若函数y＝x＋(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：
x＋≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x＋的最小值为2.
类型二
阅读理解
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2，当x＝__________时，周长的最小值为__________.
问题2：已知函数y1＝x＋1(x＞－1)与函数y2＝x2＋2x＋10(x＞－1)，当x＝__________时，的最小值为__________.
2
8
2
6
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4 900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低 最低费用是多少元 (生均投入＝支出总费用÷学生人数)
解：设学校学生人数为x，学校每天的支出总费用为y元，
则y＝4 900＋10x＋0.01x2.
每天的生均投入为＋10＋0.01x，
当＝0.01x时，的值最小.
即x＝700(负值已舍去)时，每天生均投入费用最低，最低费用为＋10＋0.01×700＝24(元).
例5 (2024·达州) 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线长等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线长和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1，
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝_______________.
化简、整理，得AC2＋BD2＝__________.
AC2＋BD2
4AB2
【类比探究】
(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线长的数量关系.
解：图2中，过点D作DE⊥AB于点E，过
点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
则∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC.
∴∠DAE＝∠CBF.∴△DAE≌△CBF(AAS).
∴AE＝BF，DE＝CF.
在Rt△DBE中，
DB2＝DE2＋BE2＝DE2＋(AB－AE)2.
在Rt△CAF中，
AC2＝CF2＋AF2＝CF2＋(AB＋BF)2.
∴AC2＋BD2＝DE2＋(AB－AE)2＋CF2＋(AB＋BF)2＝2DE2＋AB2－2AB·AE＋AE2＋AB2＋2AB·AE＋AE2＝2(DE2＋AE2)＋2AB2＝2AD2＋2AB2，
即AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2.
【拓展应用】
(3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF.若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度.
解：EF的长度为. 　[提示：由(2)可得AC2＋BD2＝
2AB2＋2AD2，推出AD＝2.过点E，O分别作BC的垂
线，垂足分别为M，G.连接OF，易知OF＝AB＝4＝OB.
∴BG＝GF＝BF＝BC＝.∴CG＝.∴OG＝
.由EM∥OG，得MG＝CG＝，
MF＝.由△COG∽△CEM，得EM＝OG＝，
进而运用勾股定理即可求解.]
7.(2025·安徽) 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则m＝；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n＋1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8＋1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3.
针对训练
(1)对正整数15进行三次变换，得到的数为__________；
(2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为__________.
2
11
8.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的每个顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a，多边形边界上的格点数为b，格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数.
(1)在右面的两张方格纸中各有一个格点多边形，依次为△ABC，正方形DEFG.认真数一数：△ABC内的格点数是__________，正方形DEFG边界上的格点数是__________；
3
12
(2)利用(1)中的两个格点多边形确定m，n的值；
解：∵S△ABC＝×3×4＝6，S正方形DEFG＝3×3＝9，
∴解得
(3)现有一张方格纸共有110个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40，若该格点多边形外的格点数为c.
①填空：若b＝c，则a＝__________；
解：[∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，c是多边形外的格点数，总格点数为110，∴a＋b＋c＝110.
∵b＝c，∴a＋2b＝110.
由(2)知，40＝a＋b－1.∴a＝18.]
18
②若3a＋c＜b＜2c，求a的值.(写出解答过程)
解：依题意，得解得
∵3a＋c＜b＜2c，
∴3a＋(28＋a)＜82－2a＜2(28＋a).
解得＜a＜9.∴整数a＝7或8.
9.(2024·甘孜州) 【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a(x－b)2＋c和y＝－a(x－p)2＋q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C1.
定义：若抛物线C1的顶点Q(p，q)在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P(b，c)在C1上.
【理解与运用】
(1)若二次函数y＝－(x－2)2＋m和y＝－(x－n)2＋的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝__________，n＝__________；
2
±1
【思考与探究】
(2)设函数y＝x2－2kx＋4k＋5的图象为抛物线C2.
①若函数y＝－x2＋dx＋e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
解：∵y＝x2－2kx＋4k＋5＝(x－k)2－k2＋4k＋5，
∴抛物线C2的顶点为(k，－k2＋4k＋5).
∵C2始终是C0的伴随抛物线，∴可令k＝0，C2的顶点为(0，5)；令k＝1，C2的顶点为(1，8).
∴∴d＝4，e＝5.
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，请直接写出x1的取值范围.
解：2＜x1＜5或x1＜－1.　[由①知，函数y＝－x2＋4x＋5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，∴C2的顶点(k，－k2＋4k＋5)在y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9的图象上滑动，C0的顶点为(2，9).
当－x2＋4x＋5＝0时，x＝－1或x＝5.∴抛物线C0与x轴交于(－1，0)，(5，0)两个点.
∵抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，开口向上，
∴当抛物线C2的顶点在(－1，0)下方时，抛物线C2与x轴有两个交点，则x1＜－1.
∵C2是C0的伴随抛物线，∴C0也是C2的伴随抛物线，即C0的顶点(2，9)在C2上.当抛物线C2的顶点在(5，0)下方时，2＜x1＜5.
综上所述，x1的取值范围为2＜x1＜5或x1＜－1.]
10.(2017·达州) 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2＝；他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x，y)的坐标公式：x＝，y＝.
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
解：∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴Q1Q2＝OQ2－OQ1＝x2－x1，
∴Q1Q＝，
∴OQ＝OQ1＋Q1Q＝x1＋.
易得P1Q1＝HQ＝GQ2＝y1，P2G＝y2－y1，PH为△P1P2G的中位线.
∴PQ＝PH＋HQ＝＋y1＝，
即线段P1P2的中点P(x，y)的坐标公式为x＝，y＝.
运用：
(2)①已知点M(2，－1)，N(－3，5)，则线段MN的长度为_________；
解：[∵M(2，－1)，N(－3，5)，
∴MN＝.]

②直接写出以点A(2，2)，B(－2，0)，C(3，－1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：_______________________________；
解：[∵A(2，2)，B(－2，0)，C(3，－1)，
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为(0，1).
设D(a，b)，则a＋3＝0，b＋(－1)＝2.
解得a＝－3，b＝3.此时D(－3，3)；
当AC为对角线时，同理可得D点坐标为(7，1)；
当BC为对角线时，同理可得D(－1，－3).
综上可知，点D的坐标为(－3，3)或(7，1)或(－1，－3).]
(－3，3)或(7，1)或(－1，－3)
拓展：
(3)如图3，点P(2，n)在函数y＝x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL，x轴上分别找出点E，F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.
解：设点P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，连接PE，PF.
由对称性可知EP＝EM，FP＝FN.
∴PE＋PF＋EF＝ME＋EF＋NF＝MN.
∴此时△PEF周长的最小值即为MN的长.
设R.由题意可知OR＝OS＝2，PR＝PS＝n.∴＝2.
解得x＝－(舍去)或x＝.∴R.
∴＝n.解得n＝1.
∴P(2，1).∴N(2，－1).
设M(s，t)，则.
解得s＝，t＝.∴M.
∴MN＝，
即△PEF周长的最小值为.(共27张PPT)
　专题一 规律探索
类型一
数式规律探索
数式规律探索问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一般性的结论.解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，及变化部分与序号的关系.
解题策略
常用数列 规律
1，3，5，7，9，11，… 2n－1(从1开始的连续奇数)
2，4，6，8，10，12，… 2n(从2开始的连续偶数)
常用数列 规律
1，4，9，16，25，36，… n2(正整数的平方)
2，4，8，16，32，64，… 2n(2的正整数次幂)
－1，1，－1，1，－1，1，… (－1)n或(－1)n＋2等(奇负偶正)
1，－1，1，－1， 1，－1，… (－1)n＋1或(－1)n－1等(奇正偶负)
例1 观察下列数据：－2，，－，－，…，它们是按一定规律
排列的，依照此规律，第11个数据是__________.
【解析】根据题意可知，这列数中可以看出分母为从1开始的连续正整数，分子是连续正整数的平方加1，且符号呈现“奇负偶正”的规律，即第n个数为(－1)n·，进而得出答案.
∵－2＝－，－，－，…，
∴第11个数是－＝－.
－
1.观察依次排列的一串单项式x，－2x2，4x3，－8x4，16x5，…，按你
发现的规律继续写下去，第8个单项式是(　　)
A.－128x7 B.－128x8
C.－256x7 D.－256x8
针对训练
B
2.(2025·西藏) 观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，….
按此规律，第n个数是(　　)
A.2n－0.1n B.2n＋1－0.1n
C.2n－1＋0.9n D.2n－1－0.1n
A
3.(2024·绵阳) 如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数，为2，第二行有2个数，为4，6……第n行有n个数……探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能
是(　　)
A.36
B.96
C.226
D.426
C
4. (2019·达州) a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝－1，－1的差倒数为.已知a1＝5，a2是a1的
差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2 019的值
是(　　)
A.5 B.－
C. D.
D
5.有一列按规律排列的数：－，－，－，…，则第17个数是__________.
6.观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3；
……
按照以上规律，第n个等式为_________________________________.
－
n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2(n－1)
7.观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，….通过观察，用你所发现的规律确定2 0232 023的个位数字是__________；31＋32＋33＋…＋32 025的个位数字是__________.
7
3
8.(2025·成都) 分子为1的真分数叫作“单位分数”，也叫“埃及分
数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，
如：.将拆分成两个单位分数相加的形式为_____________；
一般地，对于任意奇数k(k＞2)，将拆分成两个不同单位分数相加的形
式为________________________.

类型二
图形规律探索
图形规律探索问题主要观察图形的组成、分拆等过程中的特点，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想.
解题策略
例2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面.请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中，第一横行共有__________块瓷砖，第一竖列共有__________块瓷砖；(均用含n的代数式表示)
(n＋3)
(n＋2)
(2)在铺设第n个图形时，共用___________________________块瓷砖；
(3)若黑瓷砖每块15元，白瓷砖每块12元，当白瓷砖共有10横行时，共需花__________元购买瓷砖.
(n＋3)(n＋2)(或n2＋5n＋6)
2 010
9.(2025·乐山) 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中 代表碳原子， 代
表氧原子， 代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子……按照这
一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　　)
A.18 B.20
C.22 D.24
B
针对训练
10.如图是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此
规律继续摆下去，第_________个“小屋子”中图形“ ”的个数是图
形“ ”个数的3倍.
12
11.(2023·达州) 如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线
DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，
的圆心为A，半径为AD；
的圆心为B，半径为BA1；
的圆心为C，半径为CB1；
的圆心为D，半径为DC1，…，
，
，
，
，…的圆心依次为A，B，C，D循环，则
的长是(　　)
A. B.2 023π
C. D.2 022π
A
12.(2017·达州) 如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图
②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次.若AB＝4，AD＝3，则顶点
A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)
A.2 017π
B.2 034π
C.3 024π
D.3 026π
D
13.(2016·达州) 如图，将一张等边三角形纸片沿中位
线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中
的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到
7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形
按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是
(　　)
A.25 B.33
C.34 D.50
B
14.(2014·达州) 《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完.如图所示.
由图易得：＋…＋＝__________.
1－
15.将边长分别为1，2，3，4，…，19，20的正方形置于直角坐标系第
一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积
之和为__________.
210
16.古希腊的毕达哥拉斯学派对
整数进行了深入的研究，尤其
注意形与数的关系，“多边形
数”也称为“形数”，就是形与数的结合物.用点排成的图形如下：
其中，图①的点数叫作三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…；
图②的点数叫作正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，…；
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是__________.
45
17.(2025·自贡) 如图，在△ABC中，AC＝BC，CD
⊥AB于点D，AB＝DC＝2.以点B为圆心，DB的长
为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的
长为半径画弧，交DC于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，
交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画
弧，交AC于点F2，以点C为圆心，CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心……重复以上操作，
则D2 025F2 025＝________________.

类型三
坐标规律探索
坐标规律探索问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律.解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行对照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决.
解题策略
例3 (2025·达州) 定义：在平面直角坐标系中，
一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺
时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形
的γ(a，θ)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形
ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1，180°)变换
后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ(2，180°)变换得△A2B2C2
为第二次变换……经γ(n，180°)变换得△AnBnCn，则点C2 025的坐标是
___________________.

18.(2021·达州) 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1，0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到
△A2OB2，…，依次类推，则点A2 021的坐标为(　　)
A.(－22 020，－×22 020)
B.(22 021，－×22 021)
C.(22 020，－×22 020)
D.(－22 021，－×22 021)
针对训练
C
19.(2024·内江) 如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，
将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在
直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，
使点O1的对应点O2也落在直线y＝－x上，如此下去……若点B的坐标
为(0，3)，则点B37的坐标为(　　)
A.(180，135) B.(180，133)
C.(－180，135) D.(－180，133)
C

展开更多......

收起↑