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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
圆 内 接 正 多 边 形 有 关 的 计 算 名称 公式 图例
圆内接正多边形(正n边形的边长为a,周长为l ) 内角 正n边形的每个内角都等于
中心角 正n边形的每个中心角都等于
外角 正n边形的每个外角都等于
边心距
周长 l= n a
面积 正n边形的面积 (r为边心距)
注意 正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；正方形的边长等于其外接圆半径的倍； 正六边形的边长等于其外接圆的半径.
弧长、扇 形 面 积 有 关 的 计 算 如图，扇形OAB 的圆心角为n°，半径为R，l是弧长，则有下列计算公式： 计算公式图示弧长 周长C=2R+l面积 (可结合三角形的面积公式，l相当于三角形的底，R看作高)
注意：公式中的 n，180，360不带单位“°”.
圆柱、圆 锥 的 有 关 计 算 图示 侧面展开图 侧面积 全面积
圆柱 圆柱的侧面展开图是一个矩形
圆锥④ 圆锥的侧面展开图是一个扇形
注意 (1)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图(扇形)的弧长； (2)圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的半径； (3)在圆锥中，还有如下关系：
与圆有关的阴影部分面积计算 规则图形 直接利用面积公式求解
不规则图形 基本思路 转化为规则图形
转化方法 和差法 等积变换法
割补法 同底等高
图示 = 扇形DBC 扇形BOC 正方形ABCD中, = 已知CD∥AB, 则=扇形COD
■考点一　正多边与圆的有关计算
◇典例1：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 　 　．
【答案】3．
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝63，
故答案为：3．
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
◆变式训练
1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD＝　 　．
【答案】36°．
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝AE＝DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠CAB＝∠DAE（180°﹣108°）＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．
故答案为：36°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC＝AD，AB＝BC＝AE＝ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，即可求出∠CAD的度数．
2.两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则A点的坐标是 　 　．
【答案】（2，4）．
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中心为C，连接CD，过D作DH⊥BC于H，
则BD＝CB＝CD＝2，∠BDH＝30°，
∴DHBD，
∴A（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论．
■考点二 弧长有关的计算
◇典例2：如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵BC∥OA，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，
∵∠AOB＝130°，
∴∠OBC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴的长．
故选：C．
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC＝50°，然后根据弧长公式计算的长．
◆变式训练
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
【答案】C．
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，
∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，
∴的长是4π．
故选：C．
【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，根据圆周角定理得∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，再根据弧长公式计算即可．
2.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 　．
【答案】3π．
【解析】【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴的长的长的长π，
∴这个“莱洛三角形”的周长是3π．
故答案为：3π．
【分析】弧长的计算公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可求解．
■考点三 扇形面积的计算
◇典例3：若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（　　）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】C．
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴扇形的面积是：12π．
故选：C．
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
◆变式训练
1.在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】【解答】解：∵扇形所在圆的半径r6＝3cm，扇形的圆心角n＝120°，
∴扇形的面积3π（cm2）．
故选：C．
【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2，由此即可计算．
2.已知扇形的弧长为6πcm，半径为3cm，则扇形的面积为 　　 ．
【答案】9π．
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长为6π cm，半径为3cm，
∴扇形的面积6π×3＝9π（cm2），
故答案为：9π．
【分析】扇形的面积＝弧长与半径积的一半，根据以上内容求出答案即可．
3.如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　）
A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【答案】C．
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC12π（cm2），
故选：C．
【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可．
■考点四 与圆锥有关的计算
◇典例1：已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
【答案】A．
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π（cm）．
故选：A．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
◆变式训练
1.若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长
是 　 　cm．
【答案】2cm．
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，
根据题意得2π 2，
解得x＝6，
即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
【分析】设圆锥的母线长为x cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 2，然后解关于x的方程即可．
2.圆锥侧面展开图的半径为6cm，圆心角为120°，则该圆锥的底面半径长为 　 　．
【答案】2cm．
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得：，
解得：r＝2，
∴这个圆锥的底面半径长为2cm．
故答案为：2cm．
【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程求出r即可．
3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm
【答案】B．
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm，
设扇形的圆心角为n度，
∴20π，
解得n＝120，
∴∠ABA′＝120°，
作BC⊥AA′于点C，
∴∠BAA′＝30°，
∴AC＝AB×cos30°＝3015（cm），
∴AA′＝2AC＝30（cm），
∴这条彩带的最短长度是30cm．
故选：B．
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--公式法
◇典例1：如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】D．
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面积为，
故选：D．
【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
◆变式训练
1.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
【答案】C．
【解析】【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，
∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，
∵正五边形的边长为6，
∴S阴影π，
故选：C．
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--和差法
◇典例1：（2025·汕尾模拟）如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面为：，
故答案为：A．
【分析】先求出的值，根据矩形的性质得，然后利用勾股定理求出的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.
◆变式训练
1.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D．
【解析】【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝2.25πm2．
故选：D．
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--等积转化法
◇典例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】A．
【解析】【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD＝S△AED，
∴S阴影＝S扇形OAD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
◆变式训练
1.如图，矩形ABCD中，AB＝3，以AB为直径作半圆O交CD于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 　 　.
【答案】．
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥CD，交CD于点G；过点E作EH⊥AB于点H．连接OB、BE．
∵OG⊥CD，
∴∠CGO＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GOB＝90°．
∵以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，
∴BE＝OB，
∵OB＝OE，
∴OB＝OE＝BE（设为R，R），
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝∠OBE＝60°，
∴∠GOE＝∠GOB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴∠GOE＝∠GOF＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴S扇形EOF＝S扇形OBEπR2πR2，
∵S阴影+S弓形OE＝S扇形EOF，S△OBE+S弓形OE＝S扇形OBE，
∴S阴影＝S△OBE，
∵EH＝OE sin∠BOER，
∴S△OBEOB EHR2（）2．
故答案为：．
【分析】过点O作OG⊥CD，交CD于点G；过点E作EH⊥AB于点H．连接OB、BE．由“以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O”可以证明△OBE是等边三角形，且以点O为圆心圆的半径与以点B为圆心圆的半径相等，从而可以证明S扇形EOF＝S扇形OBE，进而证明S阴影＝S△OBE，根据三角形的面积公式计算△OBE的面积即可．
1．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
2．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴，
，
∴，
∴的长
故答案为：
【分析】
先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可解答．
3．（2025·兴宁模拟）一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：这个圆锥的底面周长为
故答案为：C．
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可求解．
4．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
5．（2025·靖远模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接、，作于，如图：
六边形是正六边形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
的估计值为，
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的性质求出，再根据等边三角形的判定及性质求出，，最后利用割补法求正六边形的面积即可.
6．（2025·番禺模拟）如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
，
，则．
阴影部分面积
．
故答案为：A。
【分析】根据正切函数的定义：，代入数据求出的值，然后再根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据矩形的性质求出的度数，最后再根据阴影部分面积，利用三角形面积公式、扇形面积公式，求解即可。
7．（2025·惠城模拟）将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则　 　°．
【答案】54
【解析】【解答】解：因为多边形是正五边形，
所以，
∵，
∴，
，
故答案为：54．
【分析】
先求出正五边形的内角，再利用三角形内角和求解．
8．（2025·中山模拟）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得
故答案为： ．
【分析】根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得的长，再根据即可建立方程求解．
9．（2025·清城模拟）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得，即在中，，
∴由勾股定理，可得，
即此圆锥的高为．
故答案为：。
【分析】设此圆锥的母线长为R，观察图形，可知圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求出R的值，在中 ，根据勾股定理，即可求出OA的长。
10．（2025·深圳模拟）综合与实践
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
【答案】任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
，
任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．
任务三：分两种情况：
①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，
∵，，，
∴，，，
∵当与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为、；
②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；
由题意知，，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
同理：，
∴，
此时最小规格边长分别为；
综上，最小规格矩形边长为、或．
【解析】【分析】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点进行考查。任务一：过点O作，交于点，根据题意，可得，在直角三角形中所对边等于斜边一半，求得，再中，勾股定理求出，所以，
任务二：是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面；
任务三：分两种情况：
①当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，可进一步计算得到，，，当与矩形两边相切时，最小规格矩形的边长为、；
②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接，由题意可得，，在中根据勾股定理有进而算出，，所以，此时最小规格边长分别为。
1．（2025·赤坎模拟）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
2．（2025·金湾模拟）如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，即为，
∴阴影部分面积之和为．
故答案为：C．
【分析】先根据n边形的内角和等于（n-2）·180°可求得四边形ABCD的内角和，而四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，然后根据弧长公式“L=”计算即可求解．
3．（2025·肇庆模拟）如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径，
故选：．
【分析】根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长解答即可．
4．（2025·惠城模拟）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正五边形，
∴，
连接，
由题意，得：，
∴，
∴；
故选B．
【分析】根据正多边形内角和可得，连接，由题意，得：，再根据角之间的关系可得∠MON，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
5．（2025·澄海模拟）把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，，过点O作于点E，
由题意可得：，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接，，过点O作于点E，根据题意可得，由锐角三角函数和特殊角的三角函数值可得，根据垂径定理可得，然后根据弧长公式“l=”计算即可求解．
6．（2025·潮安模拟）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
7．（2025·东莞模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
∵是直径，
∴，
易证 ，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解．
8．（2025·天河模拟）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径是，
依题意，，
解得，
如图：过点分别作
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∴正方形的对角线的长
则正方形的边长是，
故选：B
【分析】设圆锥的底面圆的半径是，由题意建立方程，解方程可得，过点分别作根据正方形判定定理可得四边形是正方形，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·海珠模拟）如图，圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：底面圆的半径为3，母线长为8，
则侧面积，
故答案为：．
【分析】
圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长．
10．（2025·茂南模拟）如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，过D点作于F，
∵ 点C，D是半圆的三等分点，
∴，且每段弧所对的圆周角是，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
∵，
∴是等边三角形，
∵半圆的直径长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积；
故答案为： ．
【分析】 连接OD，过D点作DF⊥OB于F， 由圆心角、弧、弦的关系可得BD=AC，∠CAB=∠BOD=60°，从而用AAS判断出△ACE≌△BDF，由全等三角形面积相等得S△ACE=S△BDF，从而可推出S阴影=；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BOD是等边三角形，由等边三角形的三线合一得OF=BF=2，再利用勾股定理算出DF，最后根据扇形及三角形面积计算公式列式计算即可.
11．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【解析】【解答】连接B'D'，交AC'于点O，如图所示：
由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=，
∴B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，
∴△D'AB'是等边三角形，
∴B'D'=，AO=AB'·sin60°=3，
∴OB'=，AC=6，
∴==.
故答案为：．
【分析】连接B'D'，交AC'于点O，由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=由菱形的性质可知B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，△D'AB'是等边三角形，由等边三角形的性质可得OB'=，AC=6，再根据即可得出答案．
12．（2025·广东模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若BE＝4，CD＝8，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，CECD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，AFAC，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS），
∴AF＝CE，
∴AC＝CD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CECD＝4，
设OC＝r，则OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8，
连接OD，如图，
在Rt△OEC中，OE＝4OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
84
π﹣16．
【分析】（1）根据AAS证明△AFO≌△CEB即可判断；
（2）根据S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD计算即可．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
圆 内 接 正 多 边 形 有 关 的 计 算 名称 公式 图例
圆内接正多边形(正n边形的边长为a,周长为l ) 内角 正n边形的每个内角都等于
中心角 正n边形的每个中心角都等于 .
外角 正n边形的每个外角都等于 .
边心距
周长 l= .
面积 正n边形的面积 (r为边心距)
注意 正三角形的边长等于其外接圆半径的 .倍；正方形的边长等于其外接圆半径的 .倍； 正六边形的边长等于其外接圆的半径.
弧长、扇 形 面 积 有 关 的 计 算 如图，扇形OAB 的圆心角为n°，半径为R，l是弧长，则有下列计算公式： 计算公式图示弧长 周长C=2R+l面积 (可结合三角形的面积公式，l相当于三角形的底，R看作高)
注意：公式中的 n，180，360不带单位“°”.
圆柱、圆 锥 的 有 关 计 算 图示 侧面展开图 侧面积 全面积
圆柱 圆柱的侧面展开图是一个
圆锥④ 圆锥的侧面展开图是一个
注意 (1)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图(扇形)的弧长； (2)圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的半径； (3)在圆锥中，还有如下关系：
与圆有关的阴影部分面积计算 规则图形 直接利用面积公式求解
不规则图形 基本思路 转化为规则图形
转化方法 和差法 等积变换法
割补法 同底等高
图示 = 扇形DBC 扇形BOC 正方形ABCD中, = 已知CD∥AB, 则=扇形COD
■考点一　正多边与圆的有关计算
◇典例1：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 　 　．
◆变式训练
1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD＝　 　．
2.两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则A点的坐标是 　 　．
■考点二 弧长有关的计算
◇典例2：如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
2.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 　．
．
■考点三 扇形面积的计算
◇典例3：若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（　　）
A．2π B．4π C．12π D．24π
◆变式训练
1.在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
2.已知扇形的弧长为6πcm，半径为3cm，则扇形的面积为 　　 ．
3.如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　）
A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
■考点四 与圆锥有关的计算
◇典例1：已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
◆变式训练
1.若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长
是 　 　cm．
2.圆锥侧面展开图的半径为6cm，圆心角为120°，则该圆锥的底面半径长为 　 　．
3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--公式法
◇典例1：如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．2π
◆变式训练
1.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--和差法
◇典例1：（2025·汕尾模拟）如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
■微专题六 与圆有关的阴影部分面积求法--等积转化法
◇典例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π
◆变式训练
1.如图，矩形ABCD中，AB＝3，以AB为直径作半圆O交CD于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 　 　.
1．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·兴宁模拟）一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·靖远模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（　　）
A．3 B． C． D．
6．（2025·番禺模拟）如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·惠城模拟）将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则　 　°．
8．（2025·中山模拟）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数　 　．
9．（2025·清城模拟）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为　 　．
10．（2025·深圳模拟）综合与实践
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
1．（2025·赤坎模拟）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·金湾模拟）如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·肇庆模拟）如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·惠城模拟）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·澄海模拟）把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·潮安模拟）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·东莞模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·天河模拟）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·海珠模拟）如图，圆锥的侧面积为　 　．
10．（2025·茂南模拟）如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为　 　．
11．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
12．（2025·广东模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若BE＝4，CD＝8，求阴影部分的面积．
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