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安徽寿县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D.
3.长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
4.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )
A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是
C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为
5.如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是等边三角形边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上，则( )
A. B. C. D.
7.如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，若的长为，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.如图，在中，，，，为上任意一点，为的中点，连接，在上且，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，反比例函数的图象上有两点和，横坐标分别是和，且，过点作轴平行线，过点作轴平行线，交于点，连接，若面积为，则 ．
12.如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段和线段表示两根电线杆，线段和表示两根拉紧的铁丝，和交于点测量得米，点距地面的高度为米，则的长为 米．
13.如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，则的正弦值是__________．
14.如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶海里到处，再从处向正东方向行驶海里到处，此时这艘船与出发点处相距 海里．
三、解答题：本大题共9小题，共90分。
15.．
16.本小题分
已知抛物线过，两点，且对称轴为直线：，求此抛物线的解析式．
17.本小题分
如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且求证：∽．
18.本小题分
足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行至与球门水平距离米处时，球达到最高点，此时球离地面米现以为原点建立如图所示直角坐标系．
求抛物线的函数表达式；
已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门忽略其他因素．
19.本小题分
如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．
求证：点是弧的中点；
若，，求的长．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
求抛物线和直线的函数表达式；
点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
连接和中求出的点，点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标．
21.本小题分
小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度，测量方案如图所示先从自家的阳台点处测得大楼顶部点的仰角的度数，大楼底部点的俯角的度数然后在点正下方点处，测得大楼顶部点的仰角的度数若，，，，求大楼的高度精确到，参考数据：，，，，，
22.本小题分
如图，在矩形中，是边上的一点，将沿折叠得到，点恰好落在边上．
证明：∽．
若，，作线段的中垂线，交于点，交于点，连结，．
求线段的长．
试判断的形状，并说明理由．
本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为。
求这条抛物线对应的函数关系式；
连结，试判断与的位置关系，并说明理由；
连结交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．安徽寿县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷答案
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.
12.
13.
14.
三、解答题：本大题共9小题，共90分。
15. 本小题分解：原式
．
16. 本小题分解：设抛物线的解析式为把，的坐标代入，得
，
解得．
则，
即这个二次函数的解析式为．
17. 本小题分 证明：在和中，边、交于点，平分，平分，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽．
18.本小题分 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，把点代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
当时，，
球能射进球门．
19. 本小题分证明：连接，
，
；
是的切线，
，
，
，
两直线平行，内错角相等，
，
，
点是弧的中点；
解：连接，
为的直径，
；
，
，
；
∽，
相似三角形的对应边成比例，
，，
，
舍去，
故．
20. 本小题分解：由题意得：，解得：，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，：
，
解得，
直线的函数表达式为；
过作轴交于，如图：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为；
直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图：
由知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
设：，
则，解得：，
：，
解，得：或，
的坐标为
21. 本小题分如图，过点作于点，
过点作于点，则四边形是矩形，
，．在中，，
设，则，
．在中，，
．，解得．
在中，，
．
．
答：大楼的高度约为

22.本小题分 解：证明：，
．
，
，
又，
∽．
连结，
设，则，
垂直平分，
．
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得，即．
是等腰直角三角形，理由如下：
连结，
根据题意可得，，
，
．
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
，
，
，
≌．
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
23. 本小题分解：点，，，
设函数解析式为，
则
解得
这条抛物线对应的函数关系式为．
．
交轴、两点，
，
为的中点，，，
，
，
，
，
三角形为直角三角形，
，
即．
，，
．
，
．
∽，即点符合条件，
．

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