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北师大版 数学 九年级上册综合实践 罗湖外语初中学校 校训：修身报国
猜想、证明与拓广
授课老师：罗湖外语初中学校 黄靖雯
（一） 导入：观看视频，感受七桥问题的解决过程。
（二） 前置探究：正方形的“倍增问题”
问题：任意给定一个正方形，是否存在一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和
面积的 2 倍？
周长 2
面积 2
思考：我们学过的其他图形是否也具有这样的性质呢？
（三） 探究活动：矩形的“倍增问题”
问题：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积
的 2 倍？
1.从特殊入手：
当已知矩形的长和宽分别为 2和 1时，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形
周长和面积的 2倍？
周长=12
周长=6 周长 2
1 面积=4
面积=2
面积 2
2
解决过程：（尝试不同方法）
周长=12
面积=4
1
北师大版 数学 九年级上册综合实践 罗湖外语初中学校 校训：修身报国
周长=12
面积=4
备用图
2.提出猜想
任意给定一个矩形， （“存在”或“不存在”）一个矩形，它的周长和面积分别是已
知矩形周长和面积的 2 倍。
3.证明
周长 2
b
面 积 2
a
4.结论：任意给定一个矩形， （“存在”或“不存在”）一个矩形，它的周长和面积
分别是已知矩形周长和面积的 2 倍。
（四）拓广研究: 矩形的“减半问题”
问题：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积
的一半？
2
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1.从特殊入手：
当已知矩形的长和宽分别为 2和 1时，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形
周长和面积的一半？
周 长
1 周长=
周长=6
1 2 面积=
面积=2
2 1面积
2
你发现了什么？
2.提出猜想
任意给定一个矩形， 一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的一半。
3.证明
1
周长
2
b 1
面 积
a 2
4.结论：
任意给定一个矩形， 一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的一半。
3
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（五）课外拓广
问题：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
k 倍？
4

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