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第6章 实数
课题：平方根
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．为了美化校园，学校打算建一个面积为225 m2的正方形植物园，这个正方形植物园的边长应取多少？你能计算出来吗？
解：因为152＝225，所以正方形植
物园的边长为15 m．
225m
2．填空：(±2)2＝____；
(±)2＝____；
(±0.1)2＝______；
02＝____．
4
0
0.01
3．想一想，有没有数的平方为负数？
没有．
导入新课
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，用 4 块地砖正好铺 1m2，如图，
1块这种地砖的边长是多少
1
x
4 块
1m2
(单位:m)
问题1
平方根
1
x
设1块正方形地砖的边长为x m，
根据题意，有
x2=
已知一个数的平方，怎样求这个数呢
(单位:m)
x2 1 9 100 0.49
x
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作 a 的平方根，也叫作 a 的二次方根.
填一填:
+1与-1
+3与-3
+10与-10
+0.7与-0.7
±1
±3
±10
±0.7
这就是说，如果x2=a，那么 x 叫作 a的平方根.
1. 16 的平方根是什么
2. 0 的平方根是什么
3. －9 有没有平方根
0 的平方根 0 .
负数没有平方根.
±4.
平方根的个数和这个数的正负性有什么关系
① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
② 0的平方根是0；
③ 负数没有平方根.
什么是平方根？举例说明．
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根．
例如，因为102＝100，(－10)2＝100，所以100的平方根是＋10与－10(可以合写为±10).
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.
一个正数a的正平方根
一个正数a的负平方根
一个正数a的平方根
记作:
记作:
-
记作:
±
读作:
根号a
读作:
负根号a
读作:
正、负根号a
被开方数
根指数
根号
(通常省略不写)
(a为非负数)
正数a的算术平方根
注意:0的平方根和算术平方根都是0 .
x2
x
开平方
1
4
9
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
平方与开平方互为逆运算.
x
x2
平方
+1
-1
+2
-2
+3
-3
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根.
范例1.
16的平方根是什么？0的平方根是什么？－9有没有平方根？
解：因为(±4)2＝16，所以16的平方根是±4.
因为02＝0，所以0的平方根是0.
因为没有数的平方根为负数，所以－9没有平方根．
仿例1.下列说法正确的是 (　　)
A．25的平方根是5 B．5是25的平方根
C．9的平方根是－3 D．0没有平方根
B
仿例2.已知一个数的两个平方根分别是2x＋1与3－x，求这两个数．
解：由题意，得2x＋1＋3－x＝0，解得x＝－4，
这两数分别为－7和7.
归纳：
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根．
判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”)：
（1）4是16的算术平方根.
（2） 是 的一个平方根.
（3）(-5)2的平方根是-5
（4）0的算术平方根是0.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
√
×
√
练习
探究新知
算术平方根
25； ； 0.0169； -64.
例1. 判断下列各数是否有平方根，为什么？
正数和零都有平方根，负数没有平方根，-64没有平方根
（1）1；（2）81 ；（3）；（4）(-3)2.
例2. 求下列各数的平方根和算术平方根：
解: (1) 因为(±1)2=1，所以1的平方根是±1，
即±=±1；
1的算术平方根是1.
(2)因为(±9) 2=81，所以81的平方根是±9，
即±=±9；
81的算术平方根是 9.
（1）1；（2）81 ；（3）；（4）(-3)2.
(4)因为(±3)2=9=(-3)2，所以(-3)2的平方根是 ±3，
即 ±=±3；
(-3) 2的算术平方根是3.
(3)因为(±)2=，所以的平方根是± ，
即±=±；
的算术平方根是 .
（1）1；（2）81 ；（3）；（4）(-3)2.
平方根 算术平方根
式子表示
正数
0 负数 联系 辨析概念：
±
有两个，和为0
仅一个，值为正
0
没有
平方根里面包含算术平方根；如果知道一个数的算术平方根也可以立即知道它平方根.
什么叫算术平方根？如何表示？什么叫开平方？
正数a的正的平方根，叫作a的算术平方根，用符号来表示，其中a叫作被开方数.0的算术平方根是0.
求一个数的平方根的运算叫作开平方．
范例2.求下列各数的平方根和算术平方根．
(1)49；(2)；(3)0.000 9；(4)23.
解：(1)±=±7，算术平方根是7；
(2)±=±，算术平方根是；
(1)49；(2)；(3)0.000 9；(4)23.
(3)±=±0.03，算术平方根是0.03；
(4)±，算术平方根是；
仿例1.填空：
(1)4的平方根是____，4的算术平方根是____；
(2)平方根等于它本身的数有____个，是____，算术平方根等于它本身的数有____个，是_______；
(3)若x2＝100，则x＝_____，若－是y的一个平方根，则y的值为____．
±2
2
1
0
2
0和1
±10
±3
2.71
－0.58
±7.28
练习
求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示：
（1）49 ；
（2）25 ；
解:（1）±=±7 ，
= 7 .
= 5 .
（2）±=±5 ，
随堂检测
2. 下列各式中正确的是（ ）
A. =-2 B. ±= 3 C. = 8 D. = 2
1. 4的平方根是（ ）
A.16 B.2 C.±2 D.±
C
D
3. 若2m-4与3m-1是同一个正数的平方根，则m为（ ）
A.﹣3 B.1 C.﹣1 D.﹣3或1
D
4. 2x+1的平方根是±5. 则 5x+4 的算术平方根是______.
8
5. 判断下列说法是否正确.
① 是7的算术平方根；
② -6是36的算术平方根；
③ 0.1的算术平方根是0.01；
④ 的算术平方根是2；
⑤ 一定是正数.
√
×
×
×
×
6. 求下列各数的平方根和算术平方根.
（1）100； （2）0.64； （3）(-5)2.
解:（1）±=±10 ，
= 10 .
（2）±=±0.8 ，
= 0.8 .
（3）±=±5 ，
= 5 .
7.已知 2a+1 的平方根是±3，5a+2b-2 的算术平方根是 4，求 3a-4b 的平方根.
解:因为 2a+1 的平方根是±3，所以 2a+1=(±3)2=9，可得a=4. 所以 5a+2b-2=5×4+2b-2=2b+18.
因为 5a+2b-2的算术平方根是4，所以 2b+18=42=16，可得b=-1.
所以 3a-4b=3×4-4×(-1)=16.因为16 的平方根是±4，所以 3a-4b 的平方根是±4.
课堂小结
概念
表示方法
运算
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作 a 的平方根，也叫作 a 的二次方根.
非负数a的平方根表示为± .
平方与开平方互为逆运算.
正数a的平方根有两个，它们互为相反数.
0的平方根是0.
负数没有平方根.
特征
正数a的正平方根也叫作它的算术平方根.
0的算术平方根是0.

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