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第6章 实数
课题：实数的概念及分类
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．什么是有理数？如何分类？
答：整数和分数统称为有理数．　
整数
分数
正有理数
0
负有理数
有理数
或有理数
2．面积是200的正方形边长是多少？它是有理数吗？
答：；它不是有理数．
3.分数可以化成小数
2=2.0
= 0.5
- = -0.81
.
.
分数可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
思考:由此你可以得到什么结论
任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数.
任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式.
探究新知
无理数
如图所示，这些相邻的线之间的间距都是1，这些线相交得出的20个点(称为格点)中，选择4个格点作为顶点连接成一个正方形，这样的正方形叫作格点正方形.
（1）有面积分别是 1 ，4，9 的格点正方形吗
（2）有面积是 2 的格点正方形吗 它的边长是多少
还有与这些面积不相同的格点正方形吗
设这种正方形的边长为x，则x2=2.
因为 x ＞0，
所以 x = .
是一个怎样的数呢
（1） 是整数 如果不是，你知道在哪两个相邻整数之间
（2）能使 的取值更加精确
（3）你能算出 的近似值吗
探究
1 2
1.4 1.5
1.41 1.42
类似地，可得
1.414 1.415
······
12=1，()2=2 ，22=4
1.42=1.96，()2=2 ，1.52=2.25
1.412=1.9881，()2=2 ，1.422=2.0164
如此下去，可以得到的更精确的近似值.
像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到：
这种无限不循环小数叫作无理数.
=1.414 213 562 ···，
是一个无限不循环小数
还有哪些数是无理数
小数位数无限，且小数部分不循环
2.圆周率 π 及化简后含有 π的式子；
常见的无理数：
例如：π，2+π 等.
1.含开方开不尽的数；
例如：，， 等.
3.有特殊特征的数.
例如：1.212212221 ······等.
练习
1.在，，， 和 中，介于3和4之间的无理数有_________.
，
2.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”)
（1）无限小数都是无理数.
（2）无限不循环小数是无理数，
（3）无理数是带根号的数.
（4）分数是无理数
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
×
×
×
注意：
① 无理数一定是无限小数，但无限小数不一定是无理数；
②开方开不尽的数都是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，例如 π；
③带根号的数不一定是无理数，例如，等都是有理数.
无理数也有正负之分，例如：
负无理数：
正无理数：
，，π
-，-，-π
有理数和无理数统称为实数.
实数可以怎样进行分类
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
按照定义分类:
按照正负性分类:
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
1．为什么说有理数是有限小数或无限循环小数？
答：有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成
分数的形式，如：2＝＝2，＝0.5，－＝－0.，
任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数．
2．什么是无理数？举例说明．
答：无限不循环小数叫作无理数，例如：，，
π，0.101 001…(每两个1之间多一个0)等不属于有限小数或无限循环小数，所以是无理数．
范例1.下列各数中，哪些是无理数？
，－7，0，，，－3.141 592 6，，
－π，3，－3，3.15，3.020 020 002…
解：无理数有：，，－π ，3，－3 ，3.020 020 002…
仿例1.给出下列各数：π，－，0.，，，其中不是无理数的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
仿例2.下列说法正确的是 (　　)
A．无限小数都是无理数
B．无理数就是开方开不尽的数
C．无理数都是无限小数
D．带根号的数都是无理数
C
C
练习
1. 把下列各数分类填入横线上:
0，3，-1，-，，0.3，-0.25，3.14，π，，
，-， - ， ，0.181881888···(两个1之间依次增加一个8)
·
有理数:
无理数:
0，3，-1，-，，0.3，-0.25，3.14，，
·
π，， -， ，0.181881888···
0，3，-1，-，，0.3，-0.25，3.14，π，，
，-， - ， ，0.181881888···(两个1之间依次增加一个8)
·
实数
什么是实数？如何分类？
答：有理数和无理数统称为实数．
（1）有理数集合{ …}；
（2）无理数集合{ …}；
（3）整数集合{ …}；
（4）负实数集合{ …}；
－3.6，，0，－， ，3.14
，，，0.10100…，
5,0，－，
－3.6，， －，
仿例　在①3.141 4；②；③－；④；
⑤2. …中，属于有理数的有____________，属于无理数的有____，属于负实数的有____．(均填序号)
①③④⑤
②
③④
随堂检测
1. 有理数和无理数的区别在于（ ）
A.有理数都是有限小数，无理数都是无限小数
B.有理数能用分数表示，而无理数不能
C.有理数是正的，无理数是负的
D.有理数是正数，无理数是分数
B
2. 把下列各数填入相应的括号内：
－7,0.32，，46,0，，，，－
（1）有理数：{ }；
（2）无理数：{ }；
－7，0.32，， 46,0，
， ，－
－7,0.32，，46,0，，，，－
（3）正实数：{ }；
（4）实数：{ }.
0.32，，46, ，，
－7,0.32，，46,0，，，，－
3. 在 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这11个数中，
（1）__________的平方根和________的立方根是有理数；
（2）____________________的平方根和
_________________________的立方根是无理数.
0，1，4，9
0，1，8
2，3，5，6，7，8，10
2，3，4，5，6，7，9，10
4.若有理数a，b满足a+=3+b，求a，b的值.
解:因为 a+=3+b
所以a=3，b=1.
课堂小结
实数
有理数
按定义分类
按正负性分类
常见的无理数
分类
定义
无理数
无限不循环小数又叫作无理数

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