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第6章 实数
课题：实数的运算及大小比较
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．什么是无理数？
无限不循环小数叫作无理数．
2．什么是实数，实数如何分类？
有理数和无理数统称为实数.
探究新知
实数与数轴的关系
思考1:如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少
因为圆的周长为π，无理数π可以用数轴上的点来表示.
其他无理数可以在数轴上表示
A
A′
点A表示什么数
点A′
试一试
3
你能在数轴上找到表示的点吗
-2
-1
0
1
2
4
5
6
一般地，每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.
实数
数轴上的点
一一对应
即:
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
数轴上的每一个点都表示一个实数.
范例1.如图，数轴上的点P表示的数可能是(　　)
A． B．－ C．－3.8 D．－
B
仿例　下列说法不正确的是 (　　)
A．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
B．数轴上的任何一个点都可用一个实数来表示
C．数轴上的每一个点和有理数是一一对应的
D．实数包括有理数和无理数
C
练习
1.如图，已知一个实数a在数轴上的位置为点A，则下列说法错误的是( )
A. a的相反数是-a B. a的倒数是
C. a的绝对值是 a D. a的绝对值是-a
2
1
0
3
-1
-2
-3
A
C
例1 近似计算：
（1） + π（精确到0.01）；
解：（1） + π ≈ 1.732 + 3.142
= 4.874
≈ 4.87 ，
多保留一位
实数的性质与运算
解：（2）×≈ 2.23 × 2.64
= 5.8872
≈ 5.9 .
（2）×（精确到0.1）.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样.
1. a 是一个实数，它的相反数为____，绝对值为_____.
2. 如果 a ≠ 0，那么它的倒数为________.
3. 正实数的绝对值是________，0 的绝对值是_____，负实数的绝对值是___________.
﹣a
｜a｜
它本身
0
它的相反数
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需求出结果的近似值，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算.
在计算过程中，“舍去”的方法是比计算结果要求的精度多保留一位小数，最后对计算结果四舍五入.
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算.
实数的运算法则和运算律
1.交换律:
而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.
2.结合律:
3.分配律:
加法
加法
乘法
乘法
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
(a+b)c=ac+bc
实数的运算顺序
（1）先算乘方和开方；
（2）再算乘除，最后算加减；
（3）如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
范例2.下列各组数中，互为相反数的是 (　　)
A．－3与 B．|－3|与－
C．|－3|与 D．－3与
D
仿例1. －的相反数是________．
仿例2.计算：|1－|＝_______，－＝_____．
－
－1
－1
仿例3.计算：
(1)＋＋|3－|；　
解：(1)原式＝－2＋＋3－＝1；
(2)＋；(结果精确到0.01)
(2)原式≈1.414＋2.236＝3.65；
(3)×.(结果精确到0.1)
(3)原式≈1.73×2.64＝4.567 2≈4.6.
计算下列各式的值：
解： ( + ) -
（1） ( + ) - ；
（2） 3+2 .
= + - )
= + 0
=
3+2
= (3+2)
=5
练计算(精确到0.01)：
（1） + ；
解:（1） + ≈ 2.646 + 2.236
= 4.882
≈ 4.88
（2） × - 2 .
解: （2） × - 2 ≈ 0.25×2.449 -2×1.732
= 0.612 - 3.464
≈ - 2.85
= - 2.852
两个实数可以像有理数一样比较大小.
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小.
越来越大
O
-1
0
1
2
-2
-3
-4
-5
3
4
5
实数的大小比较
例2 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们.
-1， ，-2， ，||，5.
2
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
2
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
解：
由数轴上各点的位置，得
可以利用数轴进行大小比较
你会比较 与 的大小吗
因为7＜9 ，所以＜ .
-2=1， -2＜1 .
所以 ＜ .
利用有理数估计无理数大致范围
交流
正数____零，负数____零，正数____负数．两个正数，绝对值大的数较大．两个负数，绝对值大的数反而小．
大于
小于
大于
范例3：在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们．
解：－7＜－4＜－2＜0＜＜|－|，数轴表示略．
仿例　比较下列各组数的大小：
(1) 与 ；　　　　　　　(2)3与 .
解：＜；
解：3＞.
练习
比较下列各组数中两个数的大小:（1）- ，- ；
（2） ， ；
（3）， .
解：（1）- ＞- ；
（2） ＞ ；
（3） ＜ .
随堂检测
1. 下列说法不正确的是（ ）
A.互为相反数的两个实数的和是有理数
B.互为倒数的两个实数的积是有理数
C.绝对值相等的两个实数的差是有理数
D.两个无理数的和可能是有理数
C
2. 求下列各数的相反数和绝对值.
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1） 的相反数为 ，绝对值为 .
（2） 的相反数为 ，绝对值为
（3）π-3的相反数为3-π，因为π＞3，所以绝对值为｜π-3｜=π-3.
3. 计算：
（1） （精确到个位）；
（2） （精确到 0.01）.
11
2.58
4. 介于 和 之间的整数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 估计与0.5的大小关系是： ___ 0.5 .
（填“＞”“＝”或“＜”）
B
＞
课堂小结
相关的概念
实数
相反数
运算
大小比较
倒数
绝对值
加
减
乘
除
乘方
开方
运算法则
运算律
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小.
实数与数轴上的点一一对应

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