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第6章 实数
第6章小结与复习
沪科版 七年级 数学（下）
知识结构
自学互研
平方根、立方根的概念及计算
概念
表示方法
运算
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作 a 的平方根，也叫作 a 的二次方根.
非负数a的平方根表示为± .
平方与开平方互为逆运算.
正数a的平方根有两个，它们互为相反数.
0的平方根是0.
负数没有平方根.
特征
一、平方根、算式平方根
正数a的正平方根也叫作它的算术平方根.
0的算术平方根是0.
概念
表示方法
运算
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作 a 的立方根，也叫作 a 的三次方根.
立方与开立方互为逆运算.
正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0 的立方根是 0 .
特征
二、立方根
算术平方根 平方根 立方根
表示方法
被开方数
性质 正数
0
负数
是本身
±
a≥0
a≥0
a为任意数
正数(一个)
互为相反数(两个)
正数(一个)
0
0
0
无
无
负数(一个)
0、1
0
0、1、-1
知识点辨析：
习题练习
范例1.的平方根是 (　　)
A．±4 B．4 C．±2 D．2
仿例1.下列各式中，正确的是 (　　)
A．＝－3 B．－＝－3
C．＝±3 D．＝±3
C
B
仿例2.－64的立方根是_____．
仿例3.若|m－2|＋＝0，则m－3n的立方根是____．
仿例4.已知一个正数x的平方根是a＋1和a－9，则a＝____，x＝____．
－4
2
4
25
1. （1）设数轴上点A和点B分别表示数-和哪些整数所表示的点介于A，B之间
解: -1，0，1，2.
练习
2.比较下列各组数的大小：
（1） - 和- ；
解：（1） ＞ ，所以 -＞0 .
因为- ＜0，所以 - ＞-；
解： （2）因为3.42=11.56＜12，
所以 ＞ 3.4 ；
（2） 和 3.4；
3.求下列各数的立方根:
（1）-；
（2）-0.001；
（3）；
（4）26 .
解:（1） = -；
（2） = -0.1；
（3） = ；
（4） = 4 .
4.求下列各数的算术平方根及平方根:
（2）；
（1）0.16；
解：（1） ±=±0.4， = 0.4；
（2） ±=± ，= ；
（4）()2 .
（3）34；
解： （3） ±=±9， = 9；
（4） ±=± ， = .
5.计算(精确到 0.01):
（1）| - |+2 ；
解：（1）| - |+2
= - +2
≈1.732-1.260+2×1.414
=3.30
（2） ×π÷ .
解： （2） ×π÷
≈ 1.817×3.142÷2.236
≈ 2.55
实数的有关概念及性质应用
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或
________小数
__________小数
实数按定义分类:
无限循环
无限不循环
三、实数的概念及分类
实数按正负性分类:
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
相关的概念
实数
相反数
运算
大小比较
倒数
绝对值
加
减
乘
除
乘方
开方
运算法则
运算律
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小.
四、实数的性质、运算及大小比较
实数与数轴上的点一一对应
例1 把下面各数填在相应的括号里：
0，，－，，－，－2，，0.，，
0.616616661…（每两个1之间依次多一个6）.
0，，－，，－，－2，，0.，，
0.616616661…（每两个1之间依次多一个6）.
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }.
0，－，， －2，0.
，－，，，0.616616661…
【分析】对实数进行分类，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行回答，不能只看表面形式.
范例2.在实数，5，－π，3.141 592 6，，
2.010 101…，中，无理数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
仿例1. 2－的绝对值是________；－27的立方根的相反数是____．
仿例2. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为 (　　)
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
－2
3
C
1.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a＞-2
B. |a|＞b
C. a+b＞0
D. b-a＜0
B
练习
2. 把下列各数填入相应的集合里：
－, , ，3.14，－，0，－5.12345…，，－， －5.
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
－, , ，3.14，－，0，－5.12345…，，－， －5.
－, 3.14，－，0，， －5.
, ，－5.12345…，－
正实数集合：{ }
负实数集合：{ }
－, , ，3.14，－，0，－5.12345…，，－， －5.
, ，3.14，，，
－, －，－5.12345…，－， －5.
实数的大小比较及简单运算
例2 已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为2的算术平方根，求 + - m .
【分析】由a、b互为倒数可得ab=1，
由c、d互为相反数可得c+d=0，
由m为2的算术平方根可得m= .
解 由题意得：ab=1，c+d=0，m= ，
原式= + - =1- .
例3 计算：
解：（1）原式 =
-8× + (-4)÷2 +
= -2-2 +
= -4 +
解：（2）原式 =
0.5- + -
= -
范例3.给出四个数0，，，－1，其中最小的是 (　　)
A．0 B． C． D．－1
仿例1.与无理数最接近的整数是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
D
C
仿例2.将实数，π，0，－6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_________________．
仿例3.若x，y为实数，且|x－2|＋＝0，则(x＋y)2 025的值为____．
－6＜0＜＜π
－1
变例1.自由落体运动的公式是h＝gt2(g为重力加速度，g＝9.8 m/s2)．若物体下落的高度h为88.2 m，则下落的时间为______s.
变例2.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为____．
3
练习
1.计算：
（1）-12+ -(-2)2× ；
（2） - - | - 2| - .
解：原式= -1+(-2) - 4×
= -1-2-2
= -5 .
解：原式= 4- 6 +-2-
= -4 .
2.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高 3cm，如果容器的底面直径是 20 cm，求正方体铁块的棱长.(精确到0.1 cm)
解：设正方体铁块的棱长为x cm，
答：正方体铁块的棱长约为9.8 cm .
解得 x ≈ 9.8
则V=π×102×3≈3.14×100×3 = 942 (cm3).
则 x3≈ 942，
3.已知 2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+10b的平方根.
解：由题意得 解得
因为a+10b=25.
所以a+10b的平方根为±5.
4.已知的整数部分为a，2+的小数部分为b，求 a + b 的值.
解：因为 3＜ ＜4，4＜2+ ＜5 ，
所以a=3，b=2+ -4= -2 ，
所以a+b=3+-2= +1.
1. 和 分别介于哪两个相邻的整数之间
解: 因为25＜35＜36，
所以 ＜＜，
即 5＜＜6；
又因为64＜99＜125，
所以＜＜，
即 4＜＜5.
随堂检测
2.如图，直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上与原点重合的一点O到达点 O'，点 O'表示什么数
解: 点O'表示数π.
3.把两个半径分别是3，5的铅球熔化后做成一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少 (精确到 0.1，球的体积公式是 V = πr3 ，其中 r是球半径)
解：设这个大铅球的半径是r .
答：这个大铅球的半径是 5.3.
π×33+ π×53= π×r3
解得 r ≈ 5.3
根据题意，有

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