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第一章 整式的乘法
课题　积的乘方
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
(1)－a2·a6＝______；
(2)(－x)5·(－x)3＝____；
(3)(103)3＝____；
(4)－p(－p)4＝____．
计 算
－a8
x8
109
－p5
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中 m ，n 都是正整数
( am )n = amn
am · an = am+n
同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
导入新课
我们居住的地球
大约6.4×103 km
你知道地球的体积大约是多少吗？
球的体积计算公式：
地球的体积约为
探究新知
积的乘方法则
自主探究
1.(3x)2＝______＝____；
2.(ab)3＝___________＝___________＝____．
3x·3x
9x2
(ab)·(ab)·(ab)
(a·a·a)·(b·b·b)
a3b3
合作探究
下面两式有什么特点？
(1) (ab)
(2) (ab)
底数为两个因式相乘，积的幂的形式.
这种形式为积的乘方.
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
同理：
（乘方的定义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
根据乘方的定义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)n =
(ab) =(ab)·(ab)
= (a·a)·(b ·b)
= a b
(ab) =(ab)·(ab) ·(ab)
= (a·a·a)·(b ·b ·b)
= a b
(ab)n = (ab)· (ab)· … ·(ab)
n 个 (ab)
= (a · a · … ·a) · (b · b · … · b)
n 个 a
n 个 b
= anbn.
证明：
积的乘方 (ab)n =
猜想结论：
因此可得：(ab)n = anbn (n 为正整数).
(ab)n = anbn (n 为正整数).
推 理
01
思考：
02
03
(ab)n = anbn (n为正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn (n 为正整数).
方法总结
积的乘方法则
积的乘方的逆运算
1．计算：0.256×(－64)2的结果是( )
A．－　　　　　　B．　　　　　　
C．－1　　　　　　D．1
2．已知xn＝2，yn＝3，则x2n·y2n的值为____．
36
D
3．用简便方法计算．
(1)(－0.125)8×88；　　　　　　　　
(2) (－)2025 × (－3)2025.
解：原式＝0.1258×88＝(0.125×8)8＝1；
解：原式＝ (－3) 2025 ＝1.
方法总结：逆用积的乘方公式 an · bn＝(ab)n 时，要灵活运用，对于不符合公式形式的式子，应通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式进行简便运算．
归纳：anbn＝(ab)n(n是正整数)．
乘方的混合运算
自主探究
例1.－2x6＋(－3x3)2－[－(－2x)2]3.
解：原式＝－2x6＋9x6＋64x6
＝71x6.
计 算
例2 计算：
(1) (3x5)4－(2x4)5； (2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2.
解：(1) (3x5)4－(2x4)5 = 81x20－32x20
= 49x20.
(2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2 = －x6y6－16x6y6
= －17x6y6 .
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘
法，最后算加减，合并同类项．
合作探究
1．已知(xn+1·ym+1)4＝x12y16，求(2n)m的值．
解：由已知可得x4(n+1)·y4(m+1)＝x12y16，
所以4(n＋1)＝12，4(m＋1)＝16.
所以n＝2，m＝3.
所以(2n)m＝(22)3＝64.
2．当a＝，b＝4时，求代数式a3·(－b3)2＋(－ab2)3的值．
解：原式＝a3b6－a3b6＝a3b6.
当a＝，b＝4时，原式＝×（） ×46＝56.
课堂小结
幂的运算性质
性质
am·an = am+n (am)n = amn
(ab)n = anbn ( m，n 都是正整数)
逆用
am+n = am·an
amn = (am)n
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：公式中的 a，b 代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及公式的逆向运用技巧 (混合运算要注意运算顺序)
随堂检测
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x . x2 = x2 B. ( xy )2 = xy2
C. ( x2 )3 = x6 D. x2 + x2 = x4
C
1. 计算 (-x2y)2 的结果是（ ）
A. x4y2 B. -x4y2
C. x2y2 D. -x2y2
A
3. 计算：(1) 82025×0.1252024 = _____；
(2) _____；
8
-3
(1) (ab)8； (2) (2m)3； (3) (－xy)5；
(4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (－3×103)3.
4. 计算：
解：(1) 原式 = a8b8.
(2) 原式 = 23 · m3 = 8m3.
(3) 原式 = (－x)5 · y5 = －x5y5.
(4) 原式 = 53 · a3 · (b2)3 = 125a3b6.
(5) 原式 = 22×(102)2 = 4×104.
(6) 原式 = (－3)3×(103)3 = －27×109 = －2.7×1010.
(1) 2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7 ；
解：原式 = 2x6·x3－27x9 + 25x2 · x7
解：原式 = 9x2y4 + 4x2y4 = 13x2y4.
5.计算：
(2) (3xy ) + (－4xy ) · (－xy) ；
= 2x9－27x9 + 25x9 = 0.

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