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第一章 整式的乘法
课题　平方差公式
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1.4a(5b－6a)＝_________________．
2．(3x＋1)(x－2)＝_____________．
3．(x＋5)(x－2)＝_______________．
4．(x＋y)(x－y)＝________________．
5．(x－2)(x＋2)＝________________．
填 空
20ab－24a2
3x2－5x－2
x2＋3x－10
x2－y2
x2－4
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事
和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，
你吃亏了!”他非常吃惊．
导入新课
你觉得张老汉是否吃亏了
探究新知
平方差公式
自主探究
(a＋1)(a－1)＝a2－a＋a－12＝__________；
(a＋2)(a－2)＝a2＋2a－2a－22＝__________；
(a＋3)(a－3)＝a2＋3a－3a－32＝__________；
(a＋4)(a－4)＝a2＋4a－4a－42＝__________．
算一算：看谁算得又快又准.
a2－12
a2－22
a2－32
a2－42
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
合作探究
(1)(a＋b)(a－b)；　　(2)(x＋y)(x－y)；　　(3)(m＋n)(m－n).
计 算
解：(1)原式＝a2＋ab－ab－b2
(2)原式＝x2＋xy－xy－y2
(3)原式＝m2＋mn－mn－n2
＝a2－b2；
＝x2－y2；
＝m2－n2.
(a + b )(a b) = a 2 b 2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a– b) (a + b) = a 2 b 2，
(b + a)( b + a ) = a 2 b 2.
平方差公式：
归 纳
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
相同为 a
相反为 b
适当交换
合理加括号
例 题
例1 运用平方差公式计算:
.
解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得
＝
＝.
例2 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a).
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b)
＝(4a)2－b2
＝16a2－b2.
方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式．
平方差公式的运用
如何找准“a”和“b”？
自主探究
两个括号中相同的数(或式子)相当于公式中的a，相反数(或式子)相当于公式中的b.
运用平方差公式进行计算．
1．(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)(x－4y).
合作探究
解：原式＝x2－4y2－x2＋16y2
2． (－ a ＋ b)(－ a －b) －(3a－2b)(3a＋2b).
解：原式＝a2－b2－9a2＋4b2
＝12y2.
＝－8a2＋b2.
例1 计算：(1) 1002×998；
解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
于是由平方差公式得
(1000＋2)(1000－2) = 10002－22
= 1000000－4
= 999996
因此 1002×998 = 999996.
例 题
例2 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了．
用平方差公式简化计算
运用平方差公式可以怎样简化计算？
某两数相乘时，若可化成满足(a＋b)(a－b)的形式，就可利用平方差公式进行计算．
2．10002－1001×999.
例1 计算： 1．403×397.
用平方差公式简化计算．
解：原式＝(400＋3)(400－3)
＝160000－9
＝159991.
解：原式＝10002－(1000＋1)(1000－1)
＝10002－10002＋1
＝1.
3．(a＋1)(a－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1).
解：原式＝(a2－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a4－1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a8－1)(a8＋1)
＝a16－1.
例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
当 x＝1，y＝2 时，
原式＝5×12－5×22
＝－15.
＝5x2－5y2.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
随堂检测
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
3. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
100－3
100 + 3
1002－32
x = 4
B
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= a2－9b2.
解：原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
4. 利用平方差公式计算：
= (2a)2－32
= 4a2－9.
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
解：原式 = (－2x2 )2－y2
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
= 4x4－y2.
解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)
(1) 51×49；
(2) 13.2×12.8；
5. 利用平方差公式计算：
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝502－12
＝2500－1
＝2499.
＝132－0.22
＝169－0.04
＝168.96.
解：原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)
(3) (3x + 4)(3x － 4 － (2x + 3)(3x － 2).
＝3x2－5x－10.

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